创新课堂2013高考总复习数学 第9节 离散型随机变量的均值与方差_图文

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第十单元

第十单元 计数原理、概率、随机变量及 其分布

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第九节

离散型随机变量的均值与方差

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知识汇合

1.一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, X x 1 x2 ? xi ? xN P P1 P2 ? Pi ? PN 则称E(X)= x1P1+x2P2+?+xiPi+?+xNPN 为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .

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n i=1

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(2)方差称 D(X)= ??xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差, 它刻画了随机变量 X 与 其均值 E(X)的平均偏离程度 2. 均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aE(X)+b . (2)D(aX+b)=
a2D(X).(a,b 为实数)

.其算术平方根 D?X?为随机变量 X 的标准差.

3. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)= p ,D(X)= p(1-p) . (2)若 X~B(n,p),则 E(X)= np,D(X)= np(1-p) . nM (3)离散型随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,则 E(X)= . N

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典例分析
考点一 离散型随机变量期望与方差的计算 【例1】 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工 程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总 数的

1 1 1 .现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设. , , 2 3 6

(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求X的 分布列及数学期望.

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解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai、Bi、Ci,i=1,2,3.由题意知 A1,A2,A3 相互独立,B1,B2,B3 相互独立,C1,C2, 1 1 C3 相互独立,Ai,Bj,Ck(i、j、k=1,2,3 且 i、j、k 互不相同)相互独立,且 P(Ai)= ,P(Bj)= ,P(Ck)= 2 3 1 . 6 (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 1 1 1 1 P=3!P(AiBjCk)=6P(Ai)P(Bj)P(Ck)=6× × × = . 2 3 6 6 1 (2)设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 η,由已知,η~B?3, 3?,且 X=3-η, ? ? 1 1 所以 P(X=0)=P(η=3)=C3?3 ?3= , 3 ? ? 27 1 2 2 P(X=1)=P(η=2)=C2?3?2?3?= , 3 ? ?? ? 9 1 2 4 P(X=2)=P(η=1)=C1?3??3?2= , 3 ? ?? ? 9 2 8 P(X=3)=P(η=0)=C0?3?3= . 3 ? ? 27 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27 X 的数学期望 E(X)=0× 1 2 4 8 +1× +2× +3× =2. 27 9 9 27

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点拨 离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律,随机变量的均值 反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的 理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

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考点二 期望与方差性质的应用 1 设随机变量X满足分布P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,求 5

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【例2】

E((X+2)2),D(2X-1), D?X-1?.
1 1 1 1 1 15 ∵E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = =3. 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 E(X2)=1× +22× +32× +42× +52× =11. 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 D(X)=(1-3)2× +(2-3)2× +(3-3)2× +(4-3)2× +(5-3)2× = (4+1+0 5 5 5 5 5 5 +1+4)=2. ∴E((X+2)2)=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27. D(2X-1)=4D(X)=8, 解 D?X-1?= D?X?= 2.

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考点三 期望与方差的综合应用 【例3】 已知某人工养殖观赏鱼的池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼, 且只养殖这两种鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从池塘中捕出 了红鲫鱼与中国金鱼各1 000条,给每条鱼做上不影响其存活的记号,然后放 回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼,分类记录下 其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次.并将 记录获取的数据做成以下的茎叶图.
(1)根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数 目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼 的数量; (2)假设随机地从池塘逐一有放回地捕出5条鱼中的 红鲫鱼的数目为X,求X的分布列与数学期望.

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解 (1)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的 平均数均为20, 故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同, 40 2 000 设池塘中两种鱼的总数是x,则有 = , 1 000 x 2 000×1 000 即x= =50 000, 40 ∴可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25 000.

?5,1?, (2)显然,X~B ? 2? ?1?i?1?5-i(i=0,1,2,3,4,5)得其分布列为 由P(X=i)=Ci5 2 2 ? ?? ?

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X P 0 1 32 1 5 32 2 5 16 3 5 16 4 5 32 5 1 32

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1 5 数学期望E(X)=5× = . 2 2

高考体验
从近两年的高考试题来看,离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,属 中档题.常与排列组合、概率等知识综合命题,既考查基本概念,又注重考 查基本运算能力和逻辑推理能力. 预测2013年高考,离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点,同时应 特别注意均值与方差的实际应用.

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练习巩固
1. 若随机变量X的分布列如下表,则E(X)=( X 0 1 2 3 ) 4 5

P

2x

3x

7x

2x

3x

x

1 A. 18

1 B. 9

20 C. 9

9 D. 20
1 , 18

解析:由分布列的性质,可得 2x+3x+7x+2x+3x+x=1,x= ∴E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x= 答案:C

20 . 9

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2. 已知随机变量X的分布列为 X P 则在下列式子中: 1 23 1 ①E(X)=- ;②D(X)= ;③P(X=0)= . 3 27 3 正确的个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3 -1 1 2 0 1 3 1 1 6

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1 1 1 ?-1+1?2×1 + 解析:E(X)=(-1)× +1× =- ,故①正确.D(X)= 3? 2 2 6 3 ? ?0+1?2× 1+?1+1?2×1=5,故②不正确.③显然正确.应选 C. ? 3? 3 ? 3? 6 9 答案:C

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3. 已知随机变量X的分布列为 X P 则D(X)=( A. 0.7 -1 0.5 ) B. 0.61 0 0.3 C.-0.3 1 0.2 D. 0.2

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解析:E(X)=(-1)×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3, D(X)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.61. 答案:B 4. 设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( )

A. n=8,p=0.2
C. n=5,p=0.32

B. n=4,p=0.4
D. n=7,p=0.45

?n=8, 解析: ∵X~B(n, E(X)=np=1.6, p), D(X)=np(1-p)=1.28, ? ∴ ?p=0.2.
答案:A

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5. 一个袋子里装有5只白球5只黑球,从中任意取出4个,其中含有白球个数 的期望是________.
nM 4×5 解析:E(X)= = =2.答案:2 N 10
6.若随机事件 A 在一次试验中发生的概率为 p(0<p<1),用随机变量 X 表 示 A 在一次试验中发生的次数. (1)求方差 D(X)的最大值; 2D?X?-1 (2)求 的最大值. E?X?

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解析:随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,且有 P(X=0)=1-p,P(X=1)=p, 从而 E(X)=0×(1-p)+1×p=p, D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p) 2×p=p-p2, 1 1 (1)当 p= 时,D(X)取得最大值 . 2 4 2D?X?-1 2?p-p2?-1 1 (2) = =2- ?2p+ p?. p ? ? E?X? 1 ∵0<p<1,∴2p+ ≥2 2, p 1 2 当且仅当 2p= ,即 p= 时取等号, p 2 2 2D?X?-1 故当 p= 时, 取得最大值 2-2 2. 2 E?X?

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7.随机变量 X 的分布列如下: X -1 P a

1 c 1 其中,a,b,c 成等差数列,若 E(X)= ,求 D(X)的值. 3
解析:由题意得

0 b

? ? ?a+b+c=1, ?2b=a+c, ?

1 -1· a+0· b+1· c= , 3

? ? 1 解得?b= 3, 1 ?c=2, ?
1 a= , 6

1 1 1 1 1 1 5 ∴D(X)=?-1- 3?2× +?0-3?2× +?1-3 ?2× = . ? ? 6 ? ? 3 ? ? 2 9

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8. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量 也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列 分别为: X1 0 1 2 3 甲保护区:

P

0.3

0.3

0.2

0.2

乙保护区:

X2 P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定两个保护区的管理水平.

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解析:甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差为:E(X1)=0×0.3+1×0.3+
2×0.2+3×0.2=1.3, D(X1)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21,

乙保护区的违规次数X2的数学期望和方差为E(X2)=0×0.1+0.5+2×0.4=1.3.
D(X2)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41, 因为E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),所以两个保护区内每季度发生的违规事件的

平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区
的违规事件次数相对分散.

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9. (2010· 湖北改编)某射手射击所得环数X的分布列如下: X P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

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已知X的期望E(X)=8.9,则y的值为________.

?x+0.1+0.3+y=1, 解析:由 ? 解得 y=0.4. ?7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9,
答案:0.4
10. (2010·山东)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问 题,规则如下: ①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、 2分、3分、6分,答错任一题减2分.

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②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘 汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四 题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局. ③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为 , , , ,且各题 4 2 3 4 回答正确与否相互之间没有影响. (1)求甲同学能进入下一轮的概率; (2)用X表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求X的分布列和数学期望 E(X).
解析:设 A、B、C、D 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题, A 、 B 、 C 、 D 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误, 它们是对立事件,由题意得: 3 1 1 1 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= , 4 2 3 4 1 1 2 ∴P( A )= ,P( B )= ,P( C )= , 4 2 3 3 P( D )= . 4

3 1 1 1

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(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q,则 Q=ABC+A B CD+AB C D+ A BCD + A B C D. ∵每题结果相互独立, ∴P(Q)=P(ABC+A B CD+AB C D+ A BCD+ A B C D) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P( B )P(C)P(D) + P(A)P(B)P( C )· P(D) + P( A )P(B)P(C)· P(D) + P( A )P(B)P( C )P(D) 3 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = × × + × × × + × × × + × × × + × × × = . 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 (2)由题意知,随机变量 X 的可能取值为 2,3,4, 1 1 1 则 P(X=2)=P( A B )= × = , 4 2 8 3 1 1 3 1 2 3 P(X=3)=P(ABC+A B C )= × × + × × = , 4 2 3 4 2 3 8 1 3 1 P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=1- - = . 8 8 2 因此 X 的分布列为 X 2 3 4 1 3 1 P 8 8 2 1 3 1 27 所以 E(X)=2× +3× +4× = 8 8 2 8

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11.(2012 年高考天津卷理科 16)(本小题满分 13 分)现有 4 个人去参加某娱乐 活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择.为增加[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷 出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机 变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

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