0018v.cc:教案——直线方程的概念与直线的斜率

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题目

§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

年级

高一

上课地点

理化楼 A210

课型

新授课

教 具

多媒体

教学方 法

讲解法

教 学 目 标

知识技能: (1) 理解直线的方程和方程的直线的概念, 以及方程的解与其图像上 的点存在一一对应的关系。 (2)理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念,会根据两点坐标求直线的 斜率。。 (3)掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系。 过程与方法: 学生通过学习直线方程的概念,提高观察、分析、比较、总结、概括的 数学能力,在学习求直线的斜率的过程中,体会数形结合的思想,培养抽 象思维能力。 情感,态度与价值观: 通过学习用直线方程求直线斜率的方法,将几何问题用代数方法解决, 运用数形结合的思想,培养学生周密思考,主动学习、合作交流的意识 和勇于探索的良好品质。

重 点

直线方程的概念、直线斜率和直线倾斜角的概念,求直线斜率的方法。

难 点

理解直线方程的概念, 掌握斜率的几何意义,即直线的斜率和倾斜角的 相互关系。

1

教学过程 教学环节 教学内容 师:我们已经学习过一元一次函数 y=kx+b(k≠0) ,知道所 有一元一次函数的图像是一条直线。 例如函数 y=2x+1 的图像是通过点(0,1)和点(1,3)的一 条直线 l。 直线 l 是函数 y=2x+1 的图像,所表达的意义是: 如果点 P 在 l 上,则它的坐标 x,y 满足关系 y=2x+1, (*) 反之,如果点 P 的坐标(x,y)满足关系式(*)式,则点 P 一定在 l 上。 于是,函数式 y=2x+1,可作为描述直线 l 的特征性质,因 设计意图

复 习 引 入 (6min)

通过复习一 元一次函数 的图像,举 具体的一次 函数的例 子,描述图 像的意义, 引出图像上 的点和满足 该函数关系 此 l=( |y ? 2x ?1? 。 ? x,y) 的方程的解 我们再看看 k=0 的特殊情况。 存在一一对 例如方程 y=2,无论 x 取何值,y 始终等于 2,虽然它已不 应的关系, 是一次函数,但方程 y=2(常值函数)的图像是一条通过点 (0,2)且平行于 x 轴的直线 师:一元函数的解析式,仅是方程的特例,在函数关系中, 我们已经指出,哪一个字母是自变量,哪一个字母是因变 量。但方程表达的是,两个变量之间的某种关系。他们之 间并不一定存在函数关系。例如方程 x 2 +y2 =1 所表达的变 量 x 与 y 之间的关系,在实数范围内,就不是函数关系。 由于函数 y=kx+b(k≠0)或 y=b 都是二元一次方程,且图 像都为一条直线。因此,我们可以说,方程 y=kx+b 的解与 其图像上的点存在一一对应关系。 下面我们就来具体描述这种方程的解和图像上的点一一对 应的关系,并给出像这种直线方程的概念。 师: 那么我们如何来刻画这种一一对应的关系呢? 1. 直线方程的概念 师:如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程 叫做这条直线的方程,这条直线叫做方程的直线。 由于方程 y=kx+b 的图像是一条直线,因此以后常说直线 y=kx+b。 师:那么怎样求直线的 k 值呢? 生:取两个点。

讲 授 新 课

2

教学过程 教学环节 教学内容 设计意图

2.直线的斜率 师:我们知道直线 y=kx+b 被其上的任意两个不同的点所唯 通过直线上 一确定(如图) 。 任意两点, ( x , y ) ( x , y ) 如果点 A 1 1 ,点 B 2 2 是这条直线上任意两点,其 求出直线的 斜率,进而 中 x1 ? x 2 ,则由这两点的坐标可以计算出 k 的值。 讨论斜率存 在的条件。

讲 授 新 课 由于 x1 、 y1 和 x 2 、 y2 是直线方程的两组解,方程

y1 ? kx1 ? b
y2 ? kx2 ? b
两式相减,得: 因此 k ?

y1 ? y2 ? kx2 ? kx1 ? k ( x2 ? x1 )
y2 ? y1 (x1 ? x2) (*) x2 ? x1 y1 ? y2 x1 ? x2

由直线上两点的坐标,求这条直线的斜率 k 与这两点在直 线上的顺序无关,于是 k ?


如果令 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? y2 ? y1 , 则 ?x 表示变量 x 的改变量,
?y (?x ? 0) 。 ?x 通常, 我们把直线 y=kx+b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率。

?y 表示相应的 y 的改变量。于是 k ?

3

教学过程 教学环节 教学内容 师:请同学思考一下,斜率在任何情况下都存在么? 生:不是。 师:那在什么情况下不存在斜率呢? 生:垂直于 x 轴的直线不存在斜率。 师: 同学们想一想为什么垂直于 x 轴的直线不存在斜率呢? 生:垂直于 x 轴的直线 x 为定值, ?x =0,又因为 ?y k? (?x ? 0) ,所以斜率不存在。 ?x 师:那么我们根据以上的求解过程,总结一下根据两点求 直线斜率的方法: 3. 根据两点求直线斜率的方法: ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) (1)已知两点的坐标: 讲 授 新 课 (2)计算 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? y2 ? y1 , (3)如果 ?x =0,则斜率不存在; ?y (4)如果 ?x ? 0 ,计算 k ? 。 ?x 4.直线的倾斜角 师:我们知道方程 y=kx+b(k≠0)的图像是通过点(0,b) 且斜率为 k 的直线。对一次函数所确定的直线,它的斜率 等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值。直观上 可使我们感知到斜率 k 的值决定了这条直线相对于 x 轴的 倾斜程度。 师:那么我们可以用什么来描述直线的倾斜程度呢? 生:倾斜角。 师:对,我们可以用倾斜角来描述直线相对于 x 轴的倾斜 程度,下面给出倾斜角的概念。 x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜 角。我们规定,与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度 角。 5.斜率和倾斜角的关系: 由斜率 k 的定义可知: k=0 时,直线平行于 x 轴或与 x 轴重合; k>0 时,直线的倾斜角为锐角;k 值增大,直线的倾斜角也 随着增大; k<0 时,直线的倾斜角为钝角;k 值增大,直线的倾斜角也 随着增大。 垂直于 x 轴的直线的倾斜角等于 90°。 关于直线的斜率与倾斜角之间的具体关系, 我们将在数学 4 中再进行讨论。
4

设计意图

通过求解过 程,总结出 根据两点求 直线斜率的 方法。

教学过程 教学环节 教学内容 例 1: 求经过A(?2,、 0) B(?5,两点的直线斜率 3) k。 设计意图

通过例题, 使同学理解 ?y 并掌握根据 (?x ? 0) 题中已知两点, 解:我们知道求直线的斜率需要用 k ? 两点求直线 ?x x1 ? ?2, x2 ? ?5, y1 ? 0, y2 ? 3; 斜率的方 ?x ? ?5 ? (?2) ? ?3, 法。 ?y ? 3 ? 0 ? 3;

?y ?3 :k ? ?x ? 3 ? ?1.
例 2: 画出方程3x ? 6 y ? 8 ? 0的图像.
解:

已知方程解出y, 得

讲 授 新 课

1 4 y ?? x? 2 3 这是一次函数的表达式,它的图像是一条直线。 4 1 当x =0时,y ? ; 当x ? 2时,y ? . 3 3 4 1 在坐标平面内作点A(0, ), B(2, ). 3 3 作直线AB, 即为所求方程的图像。

5

巩 固 练 习 (5min)

练习: (10min) 1、 把满足下列条件的直线方程写成一次函数的形式: 通过练习, (1) 斜率 k=5,且过点(0,-3) ; 强化学生对 (2) 斜率 k=-3,且过点(3,-1) 。 (提示用待定系数法) 直线斜率概 念的理解, 解: 和求斜率方 (1) 解: 法的应用, 师:设一次函数解析式 y=kx+b,k=5,过点(0,-3) ,代入 做到理论联 得-3=b,所以一次函数的解析式为 y=5x-3 系实际。 (3) 解: 师:设一次函数解析式 y=kx+b,k=-3,过点(3,-1) ,代 入得-1=-3*3+b,b=8,所以一次函数的解析式为 y=-3x+8

2、 经过下列两点的直线斜率是否存在?如果存在, 求其斜 率: (1) (1,-1) , (-3,2) ; (2) (1,-2) , (5,-2) ; (3) (3,4) , (-2,-5) ; (4) (3,0) , (3, 3 ) 解: 师:如何判断直线在斜率存不存在啊? 生: ?x ? 0 ,斜率存在。 师: (1) ?x ? ?3 ? 1 ? ?4 ? 0 ,所以斜率存在。根据 ?y k? (?x ? 0) 求直线斜率。 ?x x1 ? ?1, x2 ? ?3, y1 ? ?1, y2 ? 2;

?x ? ?3 ? 1 ? ?4, ?y ? 2 ? (?1) ? 3; k? ?y 3 3 ? ?? . ?x ?4 4

(2) ?x ? 5 ? 1 ? 4 ? 0 ,所以斜率存在。根据 ?y k? (?x ? 0) 求直线斜率。 ? x x ? 1, x ? 5, y ? ?2, y ? ?2;
1 2 1 2

?x ? 5 ? 1 ? 4, ?y ? ?2 ? (?2) ? 0; k? ?y 0 ? ? 0. ?x 4

6

(3) ?x ? ?2 ? 3 ? ?5 ? 0 所以斜率存在。根据 ?y k? (?x ? 0) 求直线斜率。 ?x x1 ? 3, x2 ? ?2, y1 ? 4, y2 ? ?5;

?x ? ?2 ? 3 ? ?5, ?y ? ?5 ? 4 ? ?9; k? ?y ?9 9 ? ? . ?x ?5 5

(4) ?x ? 3 ? 3 ? 0 ,所以斜率不存在。

引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法。 本 课 总 结 (2min) 1.本节课所学的主要内容 (1)直线方程的概念 (2)直线的斜率 (3)根据两点求直线斜率的方法: (4)直线的倾斜角 (5)斜率和倾斜角的关系: 2.本节课所用的数学思想方法 数形结合

布 置 作 业 (1min)

82 页练习 B1、2、3 注意体会求直线斜率的方法。

教 学 后 记

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板书设计 一. 黑板布局

版左

版中

版右

二.板书内容 版左 1.直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条直线上的店的坐标都是这 个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做方程的直线。 2.直线的斜率——k(垂直于 x 轴的直线不存在斜率) A ( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是直线 y=kx+b 上任意两点,其中 x1 ? x 2 ,

y1 ? kx1 ? b
y2 ? kx2 ? b
两式相减,得:

y2 ? y1 ?y ? x2 ? x1 ?x 。 (x1 ? x2) (?x ? 0) k?

y1 ? y2 ? kx2 ? kx1 ? k ( x2 ? x1 )

8

版中 3.根据两点求直线斜率的方法:

( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )(2)计算 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? y2 ? y1 , (1)已知两点的坐标:
(3)如果 ?x =0,则斜率不存在; (4)如果 ?x ? 0 ,计算 k ?
?y 。 ?x

4.直线的倾斜角:x 轴正向与直线向上的方向所成的角。 零度角:与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角。 5. 斜率和倾斜角的关系: k=0 时,零度角; k>0 时,直线的倾斜角为锐角;k 值增大,直线的倾斜角也随着增大; k<0 时,直线的倾斜角为钝角;k 值增大,直线的倾斜角也随着增大。 垂直于 x 轴的直线的倾斜角等于 90°,k 不存在。 版右: 一、 例题: 例 1: 求经过A(?2,、 0) B(?5,两点的直线斜率 3) k。
解: x1 ? ?2, x2 ? ?5, y1 ? 0, y2 ? 3;

?x ? ?5 ? (?2) ? ?3, ?y ? 3 ? 0 ? 3; ?y ?3 ? ? ?1. ?x 3 例 2: 画出方程3x ? 6 y ? 8 ? 0的图像.
:

k?

1 4 已知方程解出y, 得y ? ? x ? 2 3 这是一次函数的表达式,它的图像是一条直线。
解:

4 1 当x =0时,y ? ; 当x ? 2时,y ? . 3 3 4 1 在坐标平面内作点A(0, ), B(2,).作直线AB, 即为所求方程的图像。 3 3

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