【成才之路】高中数学人教B版必修四练习:2.3.1向量数量积的物理背景与定义(含答案解析)

第二章 2.3 2.3.1 一、选择题 1.若 a· c=b·c(c≠0),则( A.a=b B.a≠b C.|a|=|b| D.a 在 c 方向上的正射影的数量与 b 在 c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D [解析] ∵a· c=b· c, ∴|a|· |c|cos<a,c>=|b|· |c|cos<b,c>, 即|a|cos<a,c>=|b|cos<b,c>,故选 D. 2.已知 a、b 为两个单位向量,则下列说法正确的是( A.a=b C.a· b=1 [答案] D [解析] ∵a、b 为两个单位向量, ∴|a|=|b|=1. ∴a2=|a|2=1,b2=|b|2=1, ∴a2=b2,故选 D. → → 3.在△ABC 中,AB· CB<0,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] C → → → → [解析] ∵AB与CB的夹角与角 B 相等,又AB· CB<0, ∴cosB<0,又∵0≤B≤π, ∴B 为钝角,故选 C. 4.若|a|=4,|b|=2,a 和 b 的夹角为 30° ,则 a 在 b 方向上的投影为( ) 导学号 34340699 A.2 C.2 3 B. 3 D.4 B.直角三角形 D.不能确定 ) 导学号 34340698 B.如果 a∥b,那么 a=b D.a2=b2 ) 导学号 34340697 ) 导学号 34340696 [答案] C [解析] a 在 b 方向上的投影为|a|cos<a,b>=4× cos30° =2 3. 5.|m|=2,m· n=8,<m,n>=60° ,则|n|=( A.5 C.7 [答案] D m· n [解析] ∵ =cos<m,n>, |m|· |n| ∴ 8 1 = ,∴|n|=8. 2|n| 2 ) B.6 D.8 ) 导学号 34340700 6.向量 a 的模为 10,它与 x 轴的夹角为 150° ,则它在 x 轴上的投影为( 导学号 34340701 A.-5 3 C.-5 [答案] A [解析] a 在 x 轴上的投影为|a|· cos150° =-5 3. 二、填空题 7.已知 a· b=16,若 a 与 b 方向上的射影数量为 4,则|b|=________. 导学号 34340702 [答案] 4 [解析] 设 a 与 b 的夹角为 θ, ∵a· b=16,∴|a||b|cosθ=16. 又∵a 在 b 方向上的射影的数量为 4, ∴|a|cosθ=4,∴|b|=4. → → 8.若等腰△ABC 的底边 BC 长为 4,则BA· BC=________. 导学号 34340703 [答案] 8 [解析] 如图, B.5 D.5 3 取 BC 的中点 D,连接 AD,∵AB=AC, ∵AD⊥BC.∴ABcosB=BD=2. → → → → ∴BA· BC=|BA|· |BC|cosB =2× 4=8. 三、解答题 9.已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 的边长为 2,求下列向量的数量积.导学号 34340704 → → (1)P1P2· P1P3; → → (2)P1P2· P1P4; → → (3)P1P2· P1P5; → → (4)P1P2· P1P6. π → → → [解析] (1)∵<P1P2,P1P3>= ,|P1P3|=2 3. 6 π → → → → ∴P1P2· P1P3=|P1P2|· |P1P3|cos 6 =2× 2 3× 3 =6. 2 π → → → (2)∵<P1P2,P1P4>= ,|P1P4|=4, 3 π → → ∴P1P2· P1P4=2× 4× cos =4. 3 π → → (3)∵<P1P2,P1P5>= , 2 → → ∴P1P2· P1P5=0. 2π → → (4)∵<P1P2,P1P6>= , 3 2π → → ∴P1P2· P1P6=2× 2× cos =-2. 3 一、选择题 1.对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中真命题是( A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a· b=a· c,则 b=c [答案] B [解析] A 中,若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,故 A 错;C 中,若 a2=b2,则|a|= ) 导学号 34340705 |b|,C 错;D 中,若 a· b=a· c,则可能有 a⊥b,a⊥c,但 b≠c,故只有选项 B 正确. 2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( ) 导学号 34340706 π A. 6 π C. 3 [答案] C [解析] cos<a,b>= a· b 2 1 = = , |a|· |b| 4 2 π B. 4 π D. 2 π 又∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>= . 3 3.有下列四个式子: ①0· a=0; ②0· a=0; → → ③0-MN=NM; ④|a· b|=|a||b|, 其中正确的个数为( A.4 个 C.2 个 [答案] D → → [解析] 0· a=0,故①错;0· a=0,故②错;0-MN=NM,故③正确;|a· b|=|a||b|cos〈a, b〉 ,故④错, ∴选 D. → → → → → → → 4.已知平面上三点 A、B、C,满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB· BC+BC· CA+ → → CA· AB的值等于( A.-7 C.28 [答案] D [解析] 由题意可知,A、B、C 三点不共线, → ∴|CA|2=|AB|2+|BC|2, ∴∠B 为直角,∴cosB=0, 3 4 cosA= ,cosC= . 5 5 ) 导学号 34340708 B.7 D.-28 ) 导学号 34340707 B.3 个 D.1

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