2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章专题二_图文

数学 北(文)
专题二 高考中的三角函数 的综合问题
第五章 平面向量

考点自测
题号
1 2 3 4 5
考点自测

答案
A B
B D
10 10

自我检测 查缺补漏
解析

高考题型突破

练出高分

高考题型突破

题型一

三角函数的图像和性质

【 例 1 】 已 知 函 数 f(x) =

sin(ωx



π 6

)



sin(ωx



π 6

)



2cos2ω2x,x∈R(其中 ω>0).

思维启迪

(1)求函数 f(x)的值域;

(2)若函数 y=f(x)的图像与直

线 y=-1 的两个相邻交点间 的距离为π2,求函数 y=f(x)

的单调增区间.
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解析

思维升华

练出高分

高考题型突破

题型一

三角函数的图像和性质

【 例 1 】 已 知 函 数 f(x) =

sin(ωx



π 6

)



sin(ωx



π 6

)



2cos2ω2x,x∈R(其中 ω>0).

(1)求函数 f(x)的值域;

(2)若函数 y=f(x)的图像与直

线 y=-1 的两个相邻交点间 的距离为π2,求函数 y=f(x)

思维启迪

解析

思维升华

对三角函数的性质的讨论,首 先要化成 y=Asin(ωx+φ)+ k(一角、一次、一函数)的形 式;根据(2)中条件可确定 ω.

的单调增区间.
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题型一

三角函数的图像和性质

【 例 1 】 已 知 函 数 f(x) =

sin(ωx



π 6

)



sin(ωx



π 6

)



2cos2ω2x,x∈R(其中 ω>0).

思维启迪

解析

思维升华



(1)f(x)=

3 2 sin

ωx+

1 2cos

ωx+

3 2 sin

ωx-12cos

ωx

(1)求函数 f(x)的值域;

-(cos ωx+1)

(2)若函数 y=f(x)的图像与直
线 y=-1 的两个相邻交点间 的距离为π2,求函数 y=f(x) 的单调增区间.

=2(

3 2 sin

ωx-12cos

ωx)-1

=2sin(ωx-π6)-1.

由-1≤sin(ωx-π6)≤1,

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题型一

三角函数的图像和性质

【 例 1 】 已 知 函 数 f(x) =

sin(ωx



π 6

)



sin(ωx



π 6

)



2cos2ω2x,x∈R(其中 ω>0).

(1)求函数 f(x)的值域;

(2)若函数 y=f(x)的图像与直

线 y=-1 的两个相邻交点间 的距离为π2,求函数 y=f(x)

思维启迪

解析

思维升华

得-3≤2sin(ωx-π6)-1≤1, 所以函数 f(x)的值域为[-3,1].

(2)由题设条件及三角函数图像 和性质可知,y=f(x)的周期为 π,

所以2ωπ=π,即 ω=2. 所以 f(x)=2sin(2x-6π)-1,

的单调增区间.
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题型一

三角函数的图像和性质

【 例 1 】 已 知 函 数 f(x) =

sin(ωx



π 6

)



sin(ωx



π 6

)



2cos2ω2x,x∈R(其中 ω>0).

(1)求函数 f(x)的值域;

(2)若函数 y=f(x)的图像与直

线 y=-1 的两个相邻交点间 的距离为π2,求函数 y=f(x)

思维启迪

解析

思维升华

再由 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2 (k∈Z),
解得 kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).
所以函数 y=f(x)的单调增区间 为[kπ-6π,kπ+π3](k∈Z).

的单调增区间.
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题型一

三角函数的图像和性质

【 例 1 】 已 知 函 数 f(x) =

sin(ωx



π 6

)



sin(ωx



π 6

)



2cos2ω2x,x∈R(其中 ω>0).

(1)求函数 f(x)的值域;

(2)若函数 y=f(x)的图像与直

线 y=-1 的两个相邻交点间 的距离为π2,求函数 y=f(x)

思维启迪

解析

思维升华

三角函数的图像和性质是高 考考查的重点,通常先将三角 函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,然后将 t=ωx+φ 视 为一个整体,结合 y=sin t 的 图像求解.

的单调增区间.
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跟踪训练 1 已知函数 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[1294π,π]时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 解 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x =1-sin 2x+2cos2x=2+cos 2x-sin 2x=2+ 2cos(2x+4π). (1)函数 f(x)的最小正周期 T=π. (2)因为1294π≤x≤π,所以161π≤2x+4π≤94π.
所以 22≤cos(2x+4π)≤1. 所以 3≤2+ 2cos(2x+4π)≤2+ 2,即 3≤f(x)≤2+ 2. 所以函数 f(x)的最小值为 3,最大值为 2+ 2.

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题型二

三角函数和解三角形

【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 思维启迪 解析 思维升华

内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

(1)求 C;

(2) 设

cos

Acos

B



32 5



cos?α+A?cos?α+B? cos2α



2 5





tan α 的值.

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题型二

三角函数和解三角形

【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 思维启迪 解析 思维升华

内角 A,B,C 的对边分别是 a,

b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

(1)求 C;

(2) 设

cos

Acos

B



32 5



cos?α+A?cos?α+B? cos2α



2 5





tan α 的值.

(1)利用余弦定理求 C; (2)由(1)和 cos Acos B= 35 2可求得 A+B,代入求
tan α.

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题型二

三角函数和解三角形

【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 思维启迪 解析 思维升华

内角 A,B,C 的对边分别是 a,

b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

(1)求 C;

(2) 设

cos

Acos

B



32 5



cos?α+A?cos?α+B? cos2α



2 5





tan α 的值.

解 (1)因为 a2+b2+ 2ab=c2,

由余弦定理有 cos C=a2+2ba2b-c2

=-2a2bab=-

2 2.

又 0<C<π,

故 C=34π.

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题型二

三角函数和解三角形

【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 思维启迪 解析 思维升华

内角 A,B,C 的对边分别是 a,

b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

(1)求 C;

(2) 设

cos

Acos

B



32 5



cos?α+A?cos?α+B? cos2α



2 5





tan α 的值.

(2)由题意得

(sin a sin A ? cosa cos A)(sina sin B ? cosa cosB)



2 5.

cos2 a

因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B

-cos B)= 52, tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B

+cos Asin B)+cos Acos B= 52, tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)

+cos

Acos

B=

2 5.



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题型二

三角函数和解三角形

【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 思维启迪 解析 思维升华 内角 A,B,C 的对边分别是 a, 因为 C=34π,所以 A+B=π4,

b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

(1)求 C;

(2) 设

cos

Acos

B



32 5



cos?α+A?cos?α+B? cos2α



2 5





tan α 的值.

所以 sin(A+B)= 22, 因为 cos(A+B)=cos Acos B-

sin Asin B,

即352-sin Asin B= 22,

解得

sin

Asin

B=3 5 2-

22=

2 10 .

由①得 tan2α-5tan α+4=0,

解得 tan α=1 或 tan α=4.

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题型二

三角函数和解三角形

【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 思维启迪 解析 思维升华

内角 A,B,C 的对边分别是 a,

b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

(1)求 C;

(2) 设

cos

Acos

B



32 5



cos?α+A?cos?α+B? cos2α



2 5





tan α 的值.

三角函数和三角形的结合,一 般可以利用正弦定理、余弦定 理先确定三角形的边角,再代 入到三角函数中,三角函数和 差公式的灵活运用是解决此 类问题的关键.

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跟踪训练 2 (2012·安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别 为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

解 (1)方法一 由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B.

因为 sin B≠0,所以 cos A=12. 由于 0<A<π,故 A=3π. 方法二 由题设可知, 2b·b2+2cb2c-a2=a·a2+2ba2b-c2+c·b2+2cb2c-a2,
于是 b2+c2-a2=bc,所以 cos A=b2+2cb2c-a2=12. 由于 0<A<π,故 A=3π.

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跟踪训练 2 (2012·安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别 为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.
(2)方法一 因为A→D2=??A→B+A→C??2 ?2?
=14(A→B2+A→C2+2A→B·A→C) =14(1+4+2×1×2×cos π3)=74,

所以|A→D|=

27.从而

AD=

7 2.

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跟踪训练 2 (2012·安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别 为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

方法二 因为 a2=b2+c2-2bccos A =4+1-2×2×1×12=3,
所以 a2+c2=b2,B=2π.

因为 BD= 23,AB=1,所以 AD=

1+34=

7 2.

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题型三

三角函数与平面向量的综合应用

【 例 3 】 已 知 向 量 m = 思维启迪 解析

?? ??

3sin

x4,1????,n=????cos

x4,cos2x4????.

(1)若 m·n=1,求 cos????23π-x????的值;

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角

A,B,C 的对边分别是 a,b,c,

且满足(2a-c)cos B=bcos C,求

函数 f(A)的取值范围.

思维升华

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题型三

三角函数与平面向量的综合应用

【例 3】

已知向量 m=

思维启迪

解析

思维升华

?? ??

3sin

x4,1????,n=????cos

x4,cos2x4????.

(1)由向量数量积的运算转化

(1)若 m·n=1,求 cos????23π-x????的值; 成三角函数式,化简求值.

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 (2)在△ABC 中,求出∠A 的

A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 范围,再求 f(A)的取值范围.

且满足(2a-c)cos B=bcos C,求

函数 f(A)的取值范围.

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题型三

三角函数与平面向量的综合应用

【例 3】

已知向量 m=

思维启迪

解析

思维升华

?? ??

3sin

x4,1????,n=????cos

x4,cos2x4????.

(1)若 m·n=1,求 cos????23π-x????的值;

解 =

(1)m·n=

3sin

x 4·cos

3 2 sin

2x+1+c2os

x 2

x4+cos2x4

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 =sin???2x+π6???+12,

A,B,C 的对边分别是 a,b,c, ∵m·n=1,∴sin???2x+6π???=12.

且满足(2a-c)cos B=bcos C,求 函数 f(A)的取值范围.

∵cos???x+π3???=1-2sin2???2x+π6???=12,

∴cos???23π-x???=-cos???x+3π???=-12.

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题型三

三角函数与平面向量的综合应用

【例 3】

已知向量 m=

思维启迪

解析

思维升华

?? ??

3sin

x4,1????,n=????cos

x4,cos2x4????.

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得

(1)若 m·n=1,求 cos????23π-x????的值; (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 ∴2sin Acos B-sin Ccos B
=sin Bcos C.
A,B,C 的对边分别是 a,b,c, ∴2sin Acos B=sin(B+C).

且满足(2a-c)cos B=bcos C,求 ∵A+B+C=π,

函数 f(A)的取值范围.

∴sin(B+C)=sin A≠0.

∴cos B=12,

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题型三

三角函数与平面向量的综合应用

【例 3】

已知向量 m=

思维启迪

解析

思维升华

?? ??

3sin

x4,1????,n=????cos

x4,cos2x4????.

∵0<B<π,∴B=π3.∴0<A<23π.

(1)若 m·n=1,求 cos????23π-x????的值; ∴π6<A2+π6<π2,

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 sin???A2+π6???∈???12,1???.

A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且满足(2a-c)cos B=bcos C,求

又∵f(x)=sin???2x+6π???+12.

函数 f(A)的取值范围.

∴f(A)=sin???A2+6π???+12.

故函数 f(A)的取值范围是???1,32???.

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题型三

三角函数与平面向量的综合应用

【例 3】

已知向量 m=

思维启迪

解析

思维升华

?? ??

3sin

x4,1????,n=????cos

x4,cos2x4????.

(1)若 m·n=1,求 cos????23π-x????的值;

(1)向量是一种解决问题的工 具,是一个载体,通常是用向 量的数量积运算或性质转化

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 成三角函数问题.

A,B,C 的对边分别是 a,b,c, (2)三角形中的三角函数要结

且满足(2a-c)cos B=bcos C,求 合正弦定理、余弦定理进行转

函数 f(A)的取值范围.

化,注意角的范围对变形过程

的影响.

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跟踪训练 3 已知 a=(5 3cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),设函 数 f(x)=a·b+|b|2+32. (1)当 x∈[π6,π2]时,求函数 f(x)的值域; (2)当 x∈[π6,π2]时,若 f(x)=8,求函数 f(x-1π2)的值; (3)将函数 y=f(x)的图像向右平移1π2个单位后,再将得到的图像上 各点的纵坐标向下平移 5 个单位,得到函数 y=g(x)的图像,求函 数 g(x)的表达式并判断奇偶性.

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解 (1)f(x)=a·b+|b|2+32

=5 3sin xcos x+2cos2x+4cos2x+sin2x+32

=5 3sin xcos x+5cos2x+52

=5

2

3 sin

2x+5×1+c2os

2x+52=5sin(2x+6π)+5.

由π6≤x≤π2,得2π≤2x+6π≤76π,

∴-12≤sin(2x+6π)≤1,

∴当π6≤x≤π2时,函数 f(x)的值域为[52,10].

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(2)f(x)=5sin(2x+π6)+5=8,则 sin(2x+π6)=35, 所以 cos(2x+π6)=-45, f(x-1π2)=5sin 2x+5=5sin(2x+6π-π6)+5=323+7. (3)由题意知 f(x)=5sin(2x+π6)+5→ g(x)=5sin[2(x-1π2)+π6]+5-5=5sin 2x,
即 g(x)=5sin 2x,
g(-x)=5sin(-2x)=-5sin 2x=-g(x),
故 g(x)为奇函数.

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2

3

4

5

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2

3

4

5

1.函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内,当 x =π4时,y 取最大值 1,当 x=71π2时,y 取最小值-1. (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图像经过怎样的变换可得到 y=f(x) 的图像; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的 所有实数根之和.

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解 (1)∵T=2(172π-π4)=23π,∴ω=3,
又∵sin(34π+φ)=1,∴34π+φ=2kπ+π2,k∈Z. 又|φ|<π2,得 φ=-π4, ∴函数的解析式为 f(x)=sin(3x-4π). (2)y=sin x 的图像向右移4π个单位,得到 y=sin(x-4π)的图像, 再由 y=sin(x-π4)的图像上所有点的横坐标变为原来的13, 纵坐标不变,得到 y=sin(3x-π4)的图像.

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(3)∵f(x)=sin(3x-π4)的最小正周期为23π, ∴f(x)=sin(3x-4π)在[0,2π]内恰有 3 个周期,

∴sin(3x-π4)=a(0<a<1)在[0,2π]内有 6 个实数根且 x1+x2=π2.

同理,x3+x4=116π,x5+x6=169π,

故所有实数根之和为π2+116π+169π=112π.

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2.(2013·安徽)已知函数 f(x)=4cos ωx·sin???ωx+π4???(ω>0)的最小正 周期为 π.

(1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间???0,π2???上的单调性.

解 (1)f(x)=4cos ωx·sin???ωx+4π???=2 2sin ωx·cos ωx+2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2=2sin???2ωx+π4???+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0.

从而有22ωπ =π,故 ω=1.

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2.(2013·安徽)已知函数 f(x)=4cos ωx·sin???ωx+π4???(ω>0)的最小正 周期为 π.

(1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间???0,π2???上的单调性.

(2)由(1)知,f(x)=2sin???2x+π4???+ 2.

若 0≤x≤2π,则π4≤2x+π4≤54π.

当π4≤2x+π4≤2π,即 0≤x≤8π时,f(x)单调递增;

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2.(2013·安徽)已知函数 f(x)=4cos ωx·sin???ωx+π4???(ω>0)的最小正 周期为 π.

(1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间???0,π2???上的单调性.

当π2≤2x+π4≤54π,即π8≤x≤π2时,f(x)单调递减.

综上可知,f(x)在区间???0,π8???上单调递增,在区间???π8,π2???上单调 递减.

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3.(2013·四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2cos2A-2 Bcos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35.

(1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量B→A在B→C方向上的射影.

解 (1)由 2cos2A-2 Bcos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35, 得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-35, 即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35. 则 cos(A-B+B)=-35,即 cos A=-35.

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5

3.(2013·四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2cos2A-2 Bcos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35.

(1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量B→A在B→C方向上的射影.

(2)由 cos A=-35,0<A<π,得 sin A=45,

由正弦定理,有sina

A=sinb

B,所以,sin

B=bsian

A=

2 2.

由题知 a>b,则 A>B,故 B=4π, 根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2-2×5c×???-35???,

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4

5

3.(2013·四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2cos2A-2 Bcos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35.

(1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量B→A在B→C方向上的射影.

解得 c=1 或 c=-7(舍去).

故向量B→A在B→C方向上的射影为|B→A|cos

B=

2 2.

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4.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,
cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. (1)若 α=π4,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值; (2)若 a 与 b 的夹角为π3,且 a⊥c,求 tan 2α 的值.
解 (1)∵b=(cos x,sin x), c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=4π,∴f(x)=b·c =cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α

=2sin xcos x+ 2(sin x+cos x).

令 t=sin x+cos x???π4<x<π???,

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4.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,

cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. (1)若 α=π4,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值; (2)若 a 与 b 的夹角为π3,且 a⊥c,求 tan 2α 的值.

则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t< 2.

则 y=t2+ 2t-1=????t+ 22????2-32,-1<t< 2, ∴t=- 22时,ymin=-32,此时 sin x+cos x=- 22,

即 2sin???x+4π???=- 22,

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4.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. (1)若 α=π4,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值; (2)若 a 与 b 的夹角为π3,且 a⊥c,求 tan 2α 的值.
∵π4<x<π,∴π2<x+π4<54π,
∴x+4π=76π,∴x=1112π.

∴函数 f(x)的最小值为-32,相应 x 的值为1112π.

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4.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,
cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. (1)若 α=π4,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值; (2)若 a 与 b 的夹角为π3,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. (2)∵a 与 b 的夹角为π3, ∴cos 3π=|aa|··b|b|=cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α).
∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=π3.
∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0,

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4.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,
cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. (1)若 α=π4,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值; (2)若 a 与 b 的夹角为π3,且 a⊥c,求 tan 2α 的值.

∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即 sin???2α+π3???+2sin 2α=0.

∴52sin

2α+

3 2 cos

2α=0,∴tan

2α=-

3 5.

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5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0, ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示.
(1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=[f(x-1π2)]2,求函数 g(x)在 x∈[-π6,π3]上的最大值,并确定此时 x 的值.

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解 (1)由题图知 A=2,T4=π3,则2ωπ=4×π3,∴ω=32. 又 f(-6π)=2sin[32×(-6π)+φ]=2sin(-π4+φ)=0, ∴sin(φ-4π)=0, ∵0<φ<2π,∴-π4<φ-π4<π4,
∴φ-4π=0,即 φ=4π, ∴f(x)=2sin(32x+4π).

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(2)由(1)可得 f(x-1π2)=2sin[32(x-1π2)+π4]=2sin(32x+π8), ∴g(x)=[f(x-1π2)]2=4×1-cos2?3x+π4?=2-2cos(3x+4π),

∵x∈[-π6,3π],∴-π4≤3x+π4≤54π,

∴当 3x+4π=π,即 x=π4时,[g(x)]max=4.

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