www.ml88.cc:2013年高考数学第七章讲义第二讲(学生)---等比数列

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戴氏教育

2013 年高三(文科)一轮复习讲义

主讲人:王老师 TEL:13689290162

第二节
本讲义主要内容:

等比数列

A. D.

an ? an?1

B.

an ? an?1

C.

an?1 ? an

第一部分: 【知识回顾】
1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) , 这个数列叫做等比数列, 常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1qn?1 , a1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ②当 q ? 1 时, S n ? 3.等比中项 如果 a , G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
2 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , A , b 成等差数列 ? G ? a ? b .

an 与 an ?1 的大小与 n 的取值无关


2. 若等比数列 {an } 满足 an ? an?1 ? 16n ,则公比为( A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

3. 已知数列 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3n-1 ? t (其中 t 是常数) ,则 t 的值是( A. 1 B.



?1

C.

1 3

D.

?

1 3

4. 已知 {an } 是递增等比数列, a4 - a3 ? 4 ,则此数列的公比 q =________. 5. 已知数列 {an } 是等比数列,且 Sn ? 10, S2n ? 30 (其中 n ? N ? ) ,则 S3n =_______.

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1? q 1? q

第二部分: 【经典例题】
考点一 等比数列的判定 【例题 1】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) . (1)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求通项公式 an .

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?pan ? 、 ?pan ? ( q ? 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ?为等比数列,公 比为 q k . ⑶ an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比数列. 【基础自测】 1. 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且 a1 ? 0 ,则对于任意正整数,都有( ) 【例题 2】已知实数列 {an } 是等比数列,其中 a7 ? 1 ,且 a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,证明 Sn ? 128 ? 1,2,3,...) . (n

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【变式练习 1】等比数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,已知 S1, S3 , S2 成等差数列. (1)求 {an } 的公比 q ; (2)若 a1 - a3 ? 3 ,求 Sn .

【变式练习 2】成差数列的三个正数的和等于 15, 并且这个三个数分别加上 2,5,13 后成等比数列 {bn } 中的

b1, b2 , b3 .
(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)数列 {bn } 的前 n 项和记为 Sn ,求证:数列 {Sn ? } 是等比数列.

5 4

考点二 等比数列中的基本量 【例题 3】 (1)在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 5, a9a10 ? 100,求 a18 ; (2)在等比数列 {bn } 中, b4 =3,求该数列前七项之和; (3)在等比数列 {an } 中, a2 ? -2,a5 ? 54 ,求 a8 . 考点三 等比数列的性质 【例题 5】在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 8 ,且

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ,求 a3 . a1 a2 a3 a4 a5

【例题 4】 (1)设 {an } 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 {an } 前 7 项的和为( A. 63 B. 64 C. 127 D. 128



【例题 6】已知 {an } 是正数组成的等比数列,求证: lg a1 ? lg a3 ? lg a5 ? ... ? lg a2n-1 =

n lg an (n ? N? ) .

(2)设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A. 11 B. 5 C. -8 D.

S5 ?( S2
-11



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【变式练习 3】 (1)在等比数列 {an } 中, S4 ? 1, S8 ? 3 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? ( A. 14 B. 16 C. 18 D. 20



【变式练习 4】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an - 2n . (1)求 a3 , a4 ; (2)证明: {an?1 - 2an }是等比数列; (3)求 an , Sn .

(2)在等比数列 {an } 中,已知 a3a4a5 ? 8 ,求 a2a3a4a5a6 的值.

考点四 等比数列的综合应用 【例题 7】三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分别加上 1,3,9,就成为等比数列,求此三个数.

第三部分: 【实战演练】
一、选择题 1.等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“对于任意正整数 n,都有 an+1>an”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分又不必要条件

2.已知数列{an}是首项为 a1 的等比数列,则能保证 4a1,a5,-2a3 成等差数列的公比 q 的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3



3.已知等比数列{an}满足 an>0, =1,2, 且 a5·a2n-5=2 (n≥3), n ?, 则当 n≥1 时, 2a1+log2a3+?+log2a2n log 【例题 8】在数列 {an } 中, a1 ? 1,2an ?1 ? (1 ? (1)证明数列 {

2n

1 2 ) ? an ( n ? N ? ) . n

-1

=(

) B.(n+1)
2

A.n(2n-1)

C.n

2

D.(n-1)

2

an } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; n2 1 (2)令 bn ? an ?1 - an ,求数列 {bn } 的前 n 项和记为 Sn . 2

1 4. 等 比 数 列 {an} 中 , a1 = 317 , q = - . 记 f(n) = a1·a2·?·an , 则 当 f(n) 最 大 时 , n 的 值 为 2 ( A.7 ) B.8 C.9 D.10

5.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列有( A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项

)

6.已知数列{an}共有 m 项,定义{an}的所有项和为 S(1),第二项及以后所有项和为 S(2),第三项及以后所有项 1 和为 S(3),?,第 n 项及以后所有项和为 S(n).若 S(n)是首项为 2,公比为 的等比数列的前 n 项和,则当 n 2 <m 时,an 等于 ( )

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1 A.- n-2 2

B.

1 2
n-2

1 C.- n-1 2

D.

1 2
n-1

11.已知数列{an}中,a1=-1,且(n+1)an,(n+2)an+1,n 成等差数列. (1)设 bn=(n+1)an-n+2,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

二、填空题 5 7.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则数列{an}的通项公式为 4

8.等比数列{an}的公比 q>0.已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=

.

9.在所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a+b+c 的值 为 .

12.在数列{an}中,a1=a,且 an+1=2Sn-2 -n (n∈N ) (1)若 a1,a2,a3-5 成等比数列,求 a 的值; (2)求通项公式 an. 三、解答题 10.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn +n,n∈N ,其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an; (2)若对于任意的 m∈N ,am,a2m,a4m 成等比数列,求 k 的值.
* 2 *

n

2

*

4


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