数学选修2-1苏教版:第1章 常用逻辑用语 章末检测试卷(一)

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章末检测试卷(一)
(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.命题: “若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是________. 答案 若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0 2.命题“?x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是________. 答案 ?x∈R,x2-2x+1<0 解析 原命题是全称命题,其否定是存在性命题. 3.命题“对于正数 a,若 a>1,则 lga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数为________. 答案 4 解析 原命题“对于正数 a,若 a>1,则 lga>0”是真命题;逆命题“对于正数 a,若 lga>0, 则 a>1”是真命题. ∴否命题与逆否命题也都是真命题.故真命题的个数为 4. 4. A={x||x-1|>1, x∈R}, B={x|log2x>1, x∈R}, 则 “x∈A” 是 “x∈B” 的________条件. (填 “充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”) 答案 必要不充分 解析 由题意,得 A={x|x<0 或 x>2},B={x|x>2},所以 B?A,所以 x∈B?x∈A,但 x∈ AD?/x∈B,所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件. 5. “实数 a 和 b 都不是有理数”的否定为________________________________. 答案 实数 a 和 b 至少有一个是有理数 解析 将“都不是”改成“至少有一个是” . 6.设集合 A={x|-2-a<x<a,a>0},命题 p:1∈A,命题 q:2∈A.若 p∨q 为真命题,p∧ q 为假命题,则 a 的取值范围是________. 答案 (1,2] 解析 若 p 为真命题,则-2-a<1<a,解得 a>1. 若 q 为真命题,则-2-a<2<a,解得 a>2. 由题意,得若 p 假则 q 真,若 p 真则 q 假,即
? ?0<a≤1, ?a>1, ? ? 或? ∴1<a≤2. ?a>2 ? ? ?0<a≤2,

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7.设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是 增函数”的________条件. 答案 充分不必要 解析 由题意知函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数等价于 0<a<1,函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是 增函数等价于 0<a<1 或 1<a<2,∴“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件. 8.设有两个命题:①关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;②函数 f(x)=-(5 -2a)x 是减函数.若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-2] 解析 ①若 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,则 Δ=4a2-16<0,解得-2<a<2;②若 f(x) =-(5-2a)x 是减函数,则 5-2a>1,a<2.若①真②假,则 a∈?;若①假②真,则 a≤-2. π? 9.若“?x∈? ?0,3?,tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 答案 3

?0,π??恒成立. 解析 由已知可得 m≥tanx? x ∈ ? ? 3?? ?0,π??,显然该函数为增函数, 设 f(x)=tanx? x ∈ ? ? 3??
π? π 故 f(x)的最大值为 f? = tan = 3, 3 ? ? 3 由不等式恒成立可得 m≥ 3,即实数 m 的最小值为 3. 10.已知命题 p:?x∈R,使 sinx= 5 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列结论: 2

①命题 p 是真命题;②命题 q 是假命题;③命题“(綈 p)∧q”是真命题;④命题“p∨(綈 q)” 是假命题.其中正确命题的序号是________. 答案 ③④ 解析 对于命题 p,因为函数 y=sinx 的值域为[-1,1],所以命题 p 为假命题;对于 q,因为 1 3 1 - ?= >0,所以命题 q 函数 y=x2+x+1 的图象开口向上,最小值在 x=- 处取得,且 f? ? 2? 4 2 是真命题. 由命题 p 为假命题和命题 q 是真命题,可得命题“(綈 p)∧q”是真命题;命题“p∨(綈 q)” 是假命题.故③④正确.

11.设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的____________条件. 答案 充分不必要

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解析 ∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时 loga3<logb3 正确;反之,若 loga3<logb3,则不一定得到 1 1 3a>3b>3, 例如当 a= , b= 时, loga3<logb3 成立, 但推不出 a>b>1.故 “3a>3b>3” 是 “loga3<logb3” 2 3 的充分不必要条件. 12.已知函数 f(x)=x2-2ax+b,则“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的____________条件. 答案 充分不必要 解析 函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=a,若 1<a<2,则 0<a-1<1,1<3-a<2,即横坐标为 3 的点到对称轴的距离大于横坐标为 1 的点到对称轴的距离,则 f(1)<f(3).若 a=0,则函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,满足 f(1)<f(3),但 1<a<2 不成立.所以“1<a<2”是“f(1)<f(3)” 的充分不必要条件. 13.已知命题 p:(x-3)(x+1)>0,命题 q:x2-2x+1-m2>0(m>0),若命题 p 是命题 q 的充 分不必要条件,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (0,2) 解析 p:(x-3)(x+1)>0?x<-1 或 x>3,q:x2-2x+1-m2>0?x<-m+1 或 x>m+1,它 们的取值范围分别用集合 A,B 表示,由题意知 A?B,
?-m+1≥-1, ? ∴? 其中等号不能同时成立, ? ?m+1≤3,

∴m<2,又 m>0,∴0<m<2. 14.已知命题 p:m∈R,且 m+1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为 假命题,则 m 的取值范围是________________. 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 解析 若命题 p 是真命题,则 m≤-1;若命题 q 是真命题,则 m2-4<0,解得-2<m<2,
?m≤-1, ? 所以 p∧q 是真命题时,需满足? 即-2<m≤-1,∴p∧q 为假命题时,m 的取值 ?-2<m<2, ?

范围为(-∞,2]∪(-1,+∞). 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 1 15.(14 分)求证:方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0<m< . 3 1 证明 (1)充分性:∵0<m< , 3 ∴方程 mx2-2x+3=0 的判别式 Δ=4-12m>0, 3 且 >0, m ∴方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根. (2)必要性:若方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根,

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Δ=4-12m>0, ? ? 1 则有? 解得 0<m< . 3 3 ? ?x1x2=m>0, 1 综合(1)(2)知,方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0<m< . 3 16.(14 分)命题 p:?x∈R,x2+1>a,命题 q:a2-4>0,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实 数 a 的取值范围. 解 若 p 为真命题,则 a<1; 若 q 为真命题,则 a2>4,即 a>2 或 a<-2. 由已知条件知 p 与 q 一真一假,
? ?a<1, 当 p 为真,q 为假时有? 所以-2≤a<1, ?-2≤a≤2, ? ?a≥1, ? 当 q 为真,p 为假时有? 所以 a>2, ? ?a>2或a<-2,

综上所述,实数 a 的取值范围为[-2,1)∪(2,+∞). π ? π π 17.(14 分)已知函数 f(x)=4sin2? ?4+x?-2 3cos2x-1,且给定条件 p:4≤x≤2. (1)求 f(x)的最大值及最小值; (2)若给定条件 q:|f(x)-m|<2,且 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

?π ?? 解 (1)f(x)=2? ?1-cos?2+2x??-2 3cos2x-1
=2sin2x-2 3cos2x+1 π 2x- ?+1. =4sin? 3 ? ? π π π π 2π ∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x- ≤ . 4 2 6 3 3 π? ∴3≤4sin? ?2x-3?+1≤5. ∴f(x)max=5,f(x)min=3. (2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2. 又∵p 是 q 的充分条件,
? ?m-2<3, ∴? 解得 3<m<5. ?m+2>5, ?

∴实数 m 的取值范围为(3,5).

18.(16 分)已知命题 p:函数 y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3 在[-2,+∞)上单调递增,q:关

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于 x 的不等式 ax2-ax+1>0 解集为 R.若 p∧q 假,p∨q 真,求实数 a 的取值范围. 解 ∵函数 y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3=[x+(a2-a)]2-a2 在[-2,+∞)上单调递增, ∴-(a2-a)≤-2,即 a2-a-2≥0, 解得 a≤-1 或 a≥2.即 p:a≤-1 或 a≥2.
?a≥0, ? 由不等式 ax2-ax+1>0 的解集为 R 得? ? ?Δ<0, ? ?a≥0, 即? 解得 0≤a<4,∴q:0≤a<4. 2 ??-a? -4a<0, ?

∵p∧q 假,p∨q 真,∴p 与 q 一真一假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真,
?a≤-1或a≥2, ?-1<a<2, ? ? 即? 或? ?a<0或a≥4 ?0≤a<4, ? ?

∴a≤-1 或 a≥4 或 0≤a<2. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞). 19.(16 分)已知函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0. (1)求 f(0)的值; 1? (2)当 f(x)+2<logax 对于 x∈? ?0,2?恒成立时,求 a 的取值范围. 解 (1)由已知等式 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x, 令 x=1,y=0,得 f(1)-f(0)=2, 又因为 f(1)=0,所以 f(0)=-2. (2)由(1)知 f(0)=-2, 所以 f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0) =(x+1)x. 1 3 0, ?,所以[f(x)+2]∈?0, ?. 因为 x∈? 2 ? ? ? 4? 1 0, ?时,f(x)+2<logax 恒成立, 要使 x∈? ? 2? 显然当 a>1 时不成立, 0<a<1, 3 ? ? 4 所以? 解得 ≤a<1. 1 3 4 loga ≥ , ? ? 2 4

?3 ? 所以 a 的取值范围为? 4,1?. ?4 ?
20.(16 分)已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2.

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(1)当 b>0 时,若对任意 x∈R,都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b. 证明 (1)由题意知,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1. a a2 x- ?2+ , ∵f(x)=-b? ? 2b? 4b a ? a2 ∴f(x)max=f? ?2b?=4b≤1. ∵a>0,b>0,∴a≤2 b. (2)必要性:对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1?f(x)≥-1, ∴f(1)≥-1,即 a-b≥-1,∴a≥b-1. 对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1?f(x)≤1. ∵b>1,∴0< 由 f(x)≤1 知 f? 1 <1, b

1? 1 ≤1,即 a· -1≤1, ? b? b

∴a≤2 b,∴b-1≤a≤2 b. 充分性:∵b>1,a≥b-1,对任意 x∈[0,1], 可以推出 ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1, 即 ax-bx2≥-1. ∵b>1,a≤2 b,对任意 x∈[0,1], 可以推出 ax-bx2≤2 bx-bx2=-b?x-

?

1 ?2 ≤1,即 ax-bx2≤1, b?

∵-1≤f(x)≤1,∴|f(x)|≤1. 综上可知,当 b>1 时,对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b.

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