一道IMO预选题的推广0502

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中 等 数 学

一 道 IMO 预 选 题 的 推 广
谷 焕 春    周金峰
( 聊城大学数学科学学院 ,252059)

   题目 : 设 f 是一个从实数集 R 映射到自 身的函数 , 且对任何 x ∈R 都有 | f ( x ) | ≤ 1, 及
f x+

又 T = mT1 , 所以 ,φ( x ) 也以 T 为周期 . 从而 , 有 φ( x ) = φ( x + T) , 即
f ( x + T2 ) - f ( x )

13 1 + f ( x) = f x + 42 6

+f x+

1 . 7

= f ( x + T2 + T) - f ( x + T) ,

证明 : f 是周期函数 , 即存在一个非零实 数 c , 使得对任何 x ∈R , 有 f ( x + c ) = f ( x ) 成立 . ( 第 37 届 IMO 预选题) 此题中给出的数据有内在联系 :
13 1 1 = + . 42 6 7 1 1 的整数倍 , 也是 的整 6 7 数倍 , 所以 , 最后可证得 f ( x ) 以 1 为周期 . 只

或  f ( x + T) - f ( x ) = f ( x + T + T2 ) - f ( x + T2 ) . 于是 , f ( x + T) - f ( x ) 以 T2 为周期 , 且 T = mT2 . 所以 , f ( x + T) - f ( x ) 也以 T 为周 期.    故 f ( x + T) - f ( x ) = f ( x + 2 T) - f ( x + T) . 因此 , 对任何正整数 n , 都有
f ( x + nT) - f ( x )

又因为 1 既是

= [ f ( x + nT) - f ( x + ( n - 1) T) ] +
[ f ( x + ( n - 1) T) - f ( x + ( n - 2) T) ]

要抓住题目的这些内在联系 , 证明过程就可 大为简化 , 且可作出推广 . 本文仅给出推广后 的命题及其证明 . 命题  设 f 是一个从实数集 R 映射到 自身的有界函数 , T1 和 T2 是两个正数 , 且存 在正整数 m 和 n , 使得 mT1 = nT2 = T. 若对 一切 x ∈R , 都有 f ( x + T1 + T2) + f ( x ) = f ( x + T1) + f ( x + T2) , ① 则 f 以 T 为周期 . 证明 :式 ① 即 f ( x + T2) - f ( x) = f ( x + T2 + T1) - f ( x + T1) . 因此 , 函数 φ( x ) = f ( x + T2 ) - f ( x ) 以 T1 为周期 .

+ …+ [ f ( x + T) - f ( x ) ] = n [ f ( x + T) - f ( x ) ]. 1
n

故 f ( x + T) - f ( x) =

[ f ( x + nT) - f ( x) ]. ②

由题设可知 ,{ f ( x + nT) - f ( x ) } 是有界 数列 . 所以 , 1 lim [ f ( x + nT) - f ( x ) ] = 0 .
n →∞

n

在式 ② 中令 n →∞, 得 f ( x + T) - f ( x ) = 0 , 即  f ( x + T) = f ( x ) . 上式对一切 x ∈R 都成立 . 故 f 是周期函数 , T 是它的一个周期 .

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