2018版高中数学苏教版必修四学案:3.2 第1课时 二倍角的三角函数

第 1 课时 学习目标 二倍角的三角函数 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 知识点 二倍角公式 思考 1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式,你能推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式吗? 思考 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2α+cos2α=1, 你能否只用 sin α 或 cos α 表示 cos 2α? 梳理 (1)倍角公式 ①sin 2α=____________.(S2α) ②cos 2α=____________=________________=____________.(C2α) ③tan 2α=________________.(T2α) (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式 1+cos 2α=____________,1-cos 2α=____________, 1+cos α=____________,1-cos α=______________ . 类型一 给角求值 例 1 求下列各式的值: 1 2 (1)cos 72° cos 36° ;(2) - cos215° ; 3 3 1-tan275° 1 3 (3) ;(4) - . tan 75° sin 10° cos 10° 反思与感悟 对于给角求值问题,一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转 化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘, 则一般逆用二倍角的正弦公式, 在求解过程中, 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的 形式. 跟踪训练 1 求下列各式的值: (1)cos 2π 4π 6π cos cos ; 7 7 7 1 3 (2) + . sin 50° cos 50° 类型二 给值求值 例2 1 (1)若 sin α-cos α= ,则 sin 2α=________. 3 3 (2)若 tan α= ,则 cos2α+2sin 2α=________. 4 引申探究 1 在本例(1)中,若改为 sin α+cos α= ,求 sin 2α. 3 反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径: ①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢. ②对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代 入结论. (2)一个重要结论:(sin θ± cos θ)2=1± sin 2θ. 跟踪训练 2 已知 tan α=2. π? (1)求 tan? ?α+4?的值; (2)求 sin 2α 的值. sin2α+sin αcos α-cos 2α-1 类型三 利用倍角公式化简 2cos2α-1 例 3 化简 . π π -α?sin2? +α? 2tan? ?4 ? ?4 ? 反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值. ②使三角函数种数尽量少. ③使三角函数式中的项数尽量少. ④尽量使分母不含有三角函数. ⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角. ②降幂或升幂. ③一个重要结论:(sin θ± cos θ)2=1± sin 2θ. 跟踪训练 3 化简下列各式: π π (1) <α< ,则 1-sin 2α=________; 4 2 (2)α 为第三象限角,则 1+cos 2α 1-cos 2α - =________. cos α sin α 1 π π 1. sin cos 的值为________. 2 12 12 π π 2.sin4 -cos4 =________. 12 12 3. tan 7.5° =________. 1-tan27.5° π ? 4.设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________. 1 1 5.化简:(1) - ; 1-tan θ 1+tan θ 2cos2α-1 (2) . π π 2tan? -α?sin2? +α? 4 4 1.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如: 3 α α α α 8α 是 4α 的二倍;6α 是 3α 的二倍;4α 是 2α 的二倍;3α 是 α 的二倍; 是 的二倍; 是 的 2 2 4 3 6 α 2· α 二倍; n= n 1(n∈N*). 2 2+ 2.二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛.二倍角的常用形式: 1+cos 2α ①1+cos 2α=2cos2α;②cos2α= ; 2 1-cos 2α ③1-cos 2α=2sin2α;④sin2α= . 2 答案精析 问题导学 知识点 思考 1 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α; 2tan α tan 2α=tan(α+α)= . 1-tan2α 思考 2 cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1; 或 cos 2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α. 2tan α 梳理 (1)①2sin αcos α ②cos2α-sin2α 1-2sin2α 2cos2α-1 ③ 1-tan2α α α (2)2cos2α 2sin2α 2cos2 2sin2 2 2 题型探究 例1 解 (1)cos 36° cos 72° = 2sin 36° cos 36° cos 72° 2sin 72° cos 72° sin 144° 1 = = = . 2

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