等差数列巩固练习

等差数列巩固练习
1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7=________. a1 2.等差数列{an}中,S10=4S5,则 =________. d
2 3.已知等差数列{an}中,a2 3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10=________.

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于________. 5.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为____________. 6.一个等差数列的项数为 2n,若 a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且 a1- a2n=33,则该数列的公差是________. 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. Sn 7n+2 a5 8.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,则 =________. Tn n+3 b5 An 7n+45 an 变式:已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 Bn n+3 bn 为整数的正整数 n 的个数是________. 9.在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 的值为________. 10.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则数列{an}的前 3m 项的和 S3m 的值是________. 11.现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩 余钢管的根数为________. 12.在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n.

?Sn? 13.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列? n ?的 ? ?

前 n 项和,求 Tn.

答案
1.49 7?a1+a7? 7?a2+a6? 解析 S7= = =49. 2 2 1 2. 2 解析 由题意得: 1 1 a1 1 10a1+ ×10×9d=4(5a1+ ×5×4d),∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴ = . 2 2 d 2 3.-15 解析 由 a23+a28+2a3a8=9 得(a3+a8)2=9,∵an<0, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×?-3? ∴a3+a8=-3,∴S10= = = =-15. 2 2 2 4.45 解析 数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9- S6),∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45. ∴a7+a8+a9=S9-S6=45. 5.665 解析 因为 a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15, 1 ∴n=14,S14=14×2+ ×14×13×7=665. 2 6.-3

解析

?a +a +…+a 由? ?a +a +…+a
1 3 2 4

2n-1=na1+

n?n-1? ×?2d?=90, 2

2n=na2+

n?n-1? ×?2d?=72, 2

得 nd=-18.又 a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以 d=-3. 7.15 解析 设等差数列的公差为 d,则 3×2 S3=3a1+ d=3a1+3d=3,即 a1+d=1, 2 ?a1+d=1, ?a1=-1, ? ? 6×5 S6=6a1+ d=6a1+15d=24,即 2a1+5d=8.由? 解得? 2 ?2a1+5d=8, ?d=2. ? ? 故 a9=a1+8d=-1+8×2=15. 65 a5 9?a1+a9? S9 65 8. 解析 = = = . 12 b5 9?b1+b9? T9 12 9.10

?n+1??a1+a2n+1? n?a2+a2n? 解析 S 奇= =165,S 偶= =150. 2 2 n+1 165 11 ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ = = ,∴n=10. n 150 10 10.210 解析 方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴30,70,S3m-100 成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. Sm S2m S3m 方法二 在等差数列中, , , 成等差数列, m 2m 3m 2S2m Sm S3m ∴ = + . 2m m 3m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. a =a +?n-1?d, a +2?n-1?=11, ? ? ? n 1 ? 1 11.解 由? 得? n?n-1? n?n-1? ?Sn=na1+ 2 d, ? ? ?na1+ 2 ×2=35, 解方程组得?
?n=5 ? ?n=7, ? 或? ?a1=3 ?a1=-1. ? ?

1 12.解 设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2 ?7a1+21d=7 ?a1+3d=1 ?a1=-2 ? ? ? ∵S7=7,S15=75,∴? ,即? ,解得? , ?15a1+105d=75 ?a1+7d=5 ?d=1 ? ? ? Sn+1 Sn 1 Sn 1 1 ∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1),∵ - = , n 2 2 n+1 n 2 n?n-1? 1 1 2 9 ?Sn? 1 ∴数列? n ?是等差数列,其首项为-2,公差为 ,∴Tn=n×(-2)+ × = n - n. 2 2 2 4 4 ? ? 13.10 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为 1,逐层增加 1 个. n?n+1? ∴钢管总数为:1+2+3+…+n= . 2 当 n=19 时,S19=190. 当 n=20 时,S20=210>200. ∴n=19 时,剩余钢管根数最少,为 10 根. 14.5 an A2n-1 14n+38 7n+19 7?n+1?+12 12 解析 = = = = =7+ , bn B2n-1 2n+2 n+1 n+1 n+1 ∴n=1,2,3,5,11.


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