人教版2017高中(必修一)数学1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大值、最小值ppt课件_图文

第2课时 函数的最大值、最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落, 经历了先“增”后“减”的过程,从中我们发现单 调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”,让 我们来研究—— 函数的最大值与最小值. 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义;(重点) 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(难点) 探究点1 函数的最大值 观察下列两个函数的图象: y M B o 图2 x0 x 思考1 这两个函数图象有何共同特征? 【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图 象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高 点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则 对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如 何? 【解答】 f(x)≤M 最高点的纵坐标即 是函数的最大值! 函数最大值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义 域为I,如果存在实数M满足: f(x)≤M ; (1)对于任意的x∈I,都有________ f(x0)=M 。 (2)存在x0∈I,使得_______ 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 请同学们仿此给 出函数最小值的 定义 函数图象最高点处的函数值的刻画:函数图象在最高 点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函 数f(x)=-x2而言,即对于函数定义域中任意的x∈R, 都有f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义:当一个函数的图象有最高 点时,我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无 最高点时,我们就说这个函数没有最大值. 探究点2 函数的最小值 观察下列两个函数的图象: y y m m x0 图1 x x0 o o 图2 x 思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图象 上最低点的纵坐标叫什么名称? 提示:函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中 的最小值,即函数的最小值. 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数的最小 值? 函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数N满足: (1)对任意的 f(x)≥N ; x ? I ,都有________ f(x0)=N (2)存在 x ? I ,使得_______. 0 那么,我们就称N是函数y=f(x)的最小值. 函数图象最低点处的函数值的刻画:函数图象在最 低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对 于函数f(x)=x2而言,即对于函数定义域中任意的 x∈R,都有f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义:当一个函数的图象有最低 点时,我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图 象没有最低点时,我们就说这个函数没有最小值. 例4.已知函数 f ( x) ? 2 ( x ? [2, 6]) ,求函数的最大 值和最小值。 x ?1 解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2 2 2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) ? ? . ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 单调性求 最值 由2 ? x1 ? x2 ? 6, 得x2 ? x1 ? 0,( x1 ?1 ) ( x2 ?1) ? 0, 于是f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以,函数 f(x) = 2 是区间[2,6]上的减函数. x-1 2 因此,函数 f(x) 在区间[2,6]的两个端点上分 = x-1 别取得最大值与最小值,即在x=2时取得最大值,最 大值是2,在x=6时取得最小值,最小值是0.4. 1.设二次函数f(x)=x2+4x-3,函数值f(2),f(1), f(-1),f(5)中,最小的一个是( C ) A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5) 【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2, 函数f(x)=x2+4x-3在[-2,+≦)上是增函数,有 f(-1)<f(1)<f(2)<f(5). 2. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-∞,6]内递减, 则a的取值范围是( D ) A.a≥3 C.a≥-3 B.a≤3 D.a≤-3 【解析】二次函数的对称轴为x=-2a 故只需-2a ≥6,即a≤-3 4 3.函数y=x2,x∈[-1,2]的最大值为_______. 【解析】函数y=x2在[-1,0]上为减函数,在[0,2] 上为增函数. 当x=-1时,y=1;当x=2时,y=4,所以函 数y=x2在x∈[-1,2]上的最大值为4. 4.求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值. [解析] ∵二次函数图象的对称轴是 x=a, ∴当 a<2 时, 当 2≤a≤4 时, f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当 a>4 时, f(x)min=f(a)=2-a2. ?6-4a,a<2 , ? 2 2 - a ,2≤a≤4 , ∴f(x)min=? ?18-8a,a>4 ? . f(x)在[2,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时,如果是一般 的函数要证明这个函数的单调性,若是基本的函数 可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数,在求其最值时要注意分情 况讨论,画出函数的图象有利于问题的解决.

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