2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章6.1_图文

数学 北(文)
§6.1 数列的概念及简单表示法
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理

知识回顾 理清教材

1.数列的定义
按 一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数 叫作这个数列的 项 .
2.数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列 无穷数列

项数有限 项数 无限

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理

知识回顾 理清教材

按项与项间 递增数列

的大小关系 递减数列

分类

常数列

an+1 > an an+1 < an
an+1=an

其中 n∈N+

有界数列 存在正数 M,使|an|≤M

按其他

从第二项起,有些项大于

标准分类 摆动数列 它的前一项,有些项小于

它的前一项的数列

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思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理

知识回顾 理清教材

3.数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是列表法 、图像法 和解析法 .

4.数列的通项公式

如果数列{an}的第 n 项与 序号n 之间的函数关系可以用一个式

子表示成 an=f(n),那么这个式子叫作这个数列的通项公式.

5.已知数列{an}的前

n

项和

Sn,则

an=?????

S1 Sn-Sn-1

?n=1? ?n≥2? .

基础知识

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思想方法

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基础知识·自主学习
夯基释疑

夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2)√ (3)× (4) √(5)√ (6)√ A A
(-2)n-1 an= 3n-2

解析

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题型分类·深度剖析

题型一

由数列的前几项求数列的通项

思维启迪 解析
【例 1】 写出下面各数列的一

个通项公式:

(1)3,5,7,9,…; (2)12,34,78,1156,3312,…; (3)-1,32,-31,43,-15,36,…;

(4)3,33,333,3 333,….

思维升华

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

由数列的前几项求数列的通项

思维启迪 解析
【例 1】 写出下面各数列的一

思维升华

个通项公式:

(1)3,5,7,9,…;

先观察各项的特点,然后归纳

(2)12,34,78,1156,3312,…;

出其通项公式,要注意项与项 数之间的关系,项与前后项之

(3)-1,32,-31,43,-15,36,…; 间的关系.

(4)3,33,333,3 333,….

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思想方法

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题型分类·深度剖析

题型一

由数列的前几项求数列的通项

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式:

思维启迪 解析 思维升华 解 (1)各项减去 1 后为正偶数, 所以 an=2n+1.

(1)3,5,7,9,…;

(2)每一项的分子比分母少 1,而

(2)12,34,78,1156,3312,…; (3)-1,32,-31,43,-15,36,…;

分母组成数列 21,22,23,24,…, 所以 an=2n2-n 1.

(3)奇数项为负,偶数项为正,故

(4)3,33,333,3 333,….

通项公式中含因子(-1)n;

各项绝对值的分母组成数列

1,2,3,4,…;

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题型分类·深度剖析

题型一

由数列的前几项求数列的通项

【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式:

思维启迪 解析 思维升华 而各项绝对值的分子组成的数列 中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇

(1)3,5,7,9,…;

数项为 2-1,偶数项为 2+1,

(2)12,34,78,1156,3312,…;

所以 an=(-1)n·2+?n-1?n.

(3)-1,32,-31,43,-15,36,…; 也可写为

(4)3,33,333,3 333,….

an=?????- 3n,1n, n为n正 为偶 正数 奇.数,

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题型分类·深度剖析

题型一

由数列的前几项求数列的通项

思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 写出下面各数列的一

个通项公式:

(4)将数列各项改写为93,939,9939,

(1)3,5,7,9,…;

9 9399,…,分母都是 3,而分子分

(2)12,34,78,1156,3312,…;

别 是 10 - 1,102 - 1,103 - 1,104 -

(3)-1,32,-31,43,-15,36,…; 1,…,

(4)3,33,333,3 333,….

所以 an=13(10n-1).

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题型分类·深度剖析

题型一

由数列的前几项求数列的通项

思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 写出下面各数列的一

个通项公式:

根据所给数列的前几项求其通项

(1)3,5,7,9,…;

时,需仔细观察分析,抓住其几

(2)12,34,78,1156,3312,…;

方面的特征:分式中分子、分母

(3)-1,32,-31,43,-15,36,…;

的各自特征;相邻项的联系特征; 拆项后的各部分特征;符号特征,

(4)3,33,333,3 333,….

应多进行对比、分析,从整体到

局部多角度观察、归纳、联想.

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题型分类·深度剖析

跟踪训练 1 (1)数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式是 an=
_(_-__1_)_n_·(_6_n_-__5_)___. (2)数列{an}2的n+前14 项是32,1,170,197,则这个数列的一个通项公 式是 an=__n_2+___1__.

解析 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对值的

排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大 6,故通项

公式为 an=(-1)n(6n-5).

(2) 数 列 {an} 的 前

4











2×1+1 12+1



2×2+1 22+1



2×3+1 32+1



2×42+4+11,故 an=2nn2++11.

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题型分类·深度剖析

题型二

由数列的前n项和Sn求数列的通项

【例 2】 已知下面数列{an}

思维启迪 解析

的前 n 项和 Sn,求{an}的通

项公式:

(1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

思维升华

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析

题型二

由数列的前n项和Sn求数列的通项

思维启迪 解析
【例 2】 已知下面数列{an}

思维升华

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

当 n=1 时,由 a1=S1,求 a1;
当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 消去 Sn,得 an+1 与 an 的关系.转化成 由递推关系求通项.

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题型二

由数列的前n项和Sn求数列的通项

思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知下面数列{an} 解 (1)a1=S1=2-3=-1,

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

项公式:

=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]

(1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

=4n-5,
由于 a1 也适合此等式, ∴an=4n-5. (2)a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.

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题型分类·深度剖析

题型二 【例 2】

由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析
已知下面数列{an}

思维升华

的前 n 项和 Sn,求{an}的通 当 b=-1 时,a1 适合此等式.

项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an=2·3n-1; 当 b≠-1 时,

an=?????32+ ·3nb-,1,

n=1, n≥2.

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思想方法

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题型分类·深度剖析

题型二

由数列的前n项和Sn求数列的通项

【例 2】 已知下面数列{an} 的前 n 项和 Sn,求{an}的通 项公式:

思维启迪 解析 思维升华

数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的

关系是

an



??S1,n=1, ???Sn-Sn-1,n≥2.

(1)Sn=2n2-3n;

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,

(2)Sn=3n+b.

则 n=1 的情况可并入 n≥2 时

的通项 an;当 n=1 时,a1 若不

适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的

形式表示.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则 其通项公式为__a_n=__?????_26_, n_-_n_= 5_,_1_n_≥__2___.
解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1) +1]=6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式. 故数列的通项公式为 an=?????26, n-n= 5,1, n≥2.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

思维启迪 解析 答案

思维升华

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

公式为____________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

思维启迪 解析 答案

思维升华

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

观察递推式的特点,可以利 用累加(乘)或迭代法求通项 公式.

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

公式为____________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)由题意得,当 n≥2 时,

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

公式为____________.

基础知识

题型分类

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (an-an-1) =2+(2+3+…+n) =2+?n-1?2?2+n?=n?n+ 2 1?+1. 又 a1=2=1×?12+1?+1,符合
上式,
因此 an=n?n+ 2 1?+1.

思想方法

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题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

思维启迪 解析 答案 思维升华
(2)方法一 (累乘法)

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

公式为____________.

基础知识

题型分类

an+1=3an+2,即 an+1+1=3(an+1),

即aan+n+1+11=3, 所以aa21+ +11=3,aa23++11=3, aa43+ +11=3,…,aan+n+1+11=3.
将这些等式两边分别相乘得 aan+1+1+11=3n.

思想方法

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题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

思维启迪 解析 答案 思维升华
因为 a1=1,所以an1++1+1 1=3n,

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.
(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

即 an+1=2×3n-1(n≥1),
所以 an=2×3n-1-1(n≥2), 又 a1=1 也满足上式,
故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n-1-1.

公式为____________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

公式为____________.

基础知识

题型分类

思维启迪 解析 答案 思维升华
方法二 (迭代法) an+1=3an+2, 即 an+1+1=3(an+1)=32(an-1+1) =33(an-2+1) =…=3n(a1+1)=2×3n(n≥1), 所以 an=2×3n-1-1(n≥2), 又 a1=1 也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n-1-1.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=

思维启迪 解析 答案
(3)由题设知,a1=1.

思维升华

_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

公式为____________.

基础知识

题型分类

当 n>1 时,an=Sn-Sn-1 =n+3 2an-n+3 1an-1. ∴aan-n 1=nn+-11. ∴aan-n 1=nn+ -11,…,aa43=53,
aa32=42,aa12=3.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2, an+1=an+n+1,则通项 an=
_____________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =____________.

思维启迪 解析 答案 思维升华
以上 n-1 个式子的等号两端分 别相乘,得到aan1=n?n2+1?,
又∵a1=1,

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项

∴an=n?n+2 1?.

公式为____________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2,
an+1=an+n+1,则通项 an= _n_?_n_2+__1_?_+__1___. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an
+2,则它的一个通项公式为 an =__2_×__3_n_-_1-__1__.

思维启迪 解析 答案 思维升华
以上 n-1 个式子的等号两端分 别相乘,得到aan1=n?n2+1?,
又∵a1=1,

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项 公式为__a_n_=__n_?n_+2__1__? .

基础知识

题型分类

∴an=n?n2+1?.
思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

【例 3】 (1)设数列{an}中,a1=2,
an+1=an+n+1,则通项 an= _n_?_n_2+__1_?_+__1___. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an
+2,则它的一个通项公式为 an =__2_×__3_n_-_1-___1_.

思维启迪 解析 答案 思维升华
已知数列的递推关系,求数列的
通项时,通常用累加、累乘、构
造法求解. 当出现 an=an-1+m 时,构造等差 数列; 当出现 an=xan-1+y 时,构造等比 数列;

(3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn=n+3 2an.则{an}的通项 公式为__a_n_=__n_?_n_2+__1_?.

基础知识

题型分类

当出现 an=an-1+f(n)时,用累加 法求解; 当出现aan-n 1=f(n)时,用累乘法求
解.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

跟踪训练 3 1

(1)已知数列{an}满足 a1=1,an=n-n 1an-1(n≥2),则

an=____n____.

(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N+),则 a5

等于

(B)

A.-16

B.16

C.31

D.32

解析 (1)∵an=n-n 1an-1 (n≥2), ∴an-1=nn- -21an-2,…,a2=12a1. 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1·12·23·…·n-n 1=an1=1n.

(2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1.

当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1,∴an=2an-2an-1,

∴an=2an-1.∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2,

故 a5=a1×q4=24=16.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列8 数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?
②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

思维启迪

规范解答

温馨提醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列8 数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?
②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

思维启迪

规范解答

温馨提醒

(1)求使 an<0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值. (2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式 f(n)=n2+kn +4.f(n)在 N+上单调递增,但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究 单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列8 数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?
②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

思维启迪

规范解答

温馨提醒

解 (1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N+,∴n=2,3.

∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3.

4分

②∵an=n2-5n+4=???n-52???2-94的对称轴方程为 n=52.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列8 数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?
②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

思维启迪

规范解答

温馨提醒

又 n∈N+,

∴当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2.

8分

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可

以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N+,

所以-2k<32,即得 k>-3.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列8 数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?
②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

思维启迪

规范解答

温馨提醒

(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N+上的 二次函数,因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实 数 k 的取值范围,使问题得到解决.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列8 数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?
②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

思维启迪

规范解答

温馨提醒

(2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位 置的选取.

(3)易错分析:本题易错答案为 k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊 性,即自变量是正整数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错

数列一般用(-1)n 或(-1)n+1 来区分奇偶项的符

号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出



数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转



化的方法.

与 技

2.强调 an 与 Sn 的关系:an=?????SS1n-Sn-1

?n=1? ?n≥2? .

巧 3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,

但试题难度较难把握.一般有两种常见思路:

(1)算出前几项,再归纳、猜想;

(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高



1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列



时,一定要注意自变量的取值,如数列 an=f(n)和函



数 y=f(x)的单调性是不同的.




2.数列的通项公式不一定唯一.

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1

2

A组 专项基础训练

34

5

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7

8

9 10

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1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是 an

等于

A.?-12?n+1

C.cos

n+1 2π

B.cos

nπ 2

D.cos

n+2 2π

( D)

解析 令 n=1,2,3,…逐一验证四个选项,易得 D 正确.

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2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6

等于

(A )

A.3×44

B.3×44+1

C.45

D.45+1

解析 当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, ∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1,
∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列. 又 a2=3S1=3a1=3,∴an=?????13?×n=4n1-?2, ?n≥2?. ∴当 n=6 时,a6=3×46-2=3×44.

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3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+

a10 等于

(A)

A.15

B.12

C.-12

D.-15

解析 由题意知,a1+a2+…+a10 =-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9×(3×9-2)+(-1)10×(3×10-2)]

=3×5=15.

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1

2

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5

67

8

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4.已知数列{an}的通项公式为 an=(49)n-1-(23)n-1,则数列{an}( C )

A.有最大项,没有最小项

B.有最小项,没有最大项

C.既有最大项又有最小项

D.既没有最大项也没有最小项

解析 ∵数列{an}的通项公式为 an=(49)n-1-(23)n-1, 令 t=(23)n-1,t∈(0,1],t 是减函数, 则 an=t2-t=(t-12)2-14,
由复合函数单调性知 an 先递增后递减.

故有最大项和最小项,选 C.

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5.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n+n 1,则a15等于 ( D )

A.56

B.65

C.310

D.30

解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n+n 1-n-n 1=n?n1+1?,
所以a15=5×6=30.

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6.已知数列{n2n+2 1},则 0.98 是它的第____7____项.

解析 n2n+2 1=0.98=5409,∴n=7.

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7.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N+,都有
61
a1·a2·a3·…·an=n2,则 a3+a5=___1_6____.
解析 由题意知:a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2, ∴an=(n-n 1)2(n≥2),
∴a3+a5=(32)2+(54)2=1661.

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1

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8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n2+λn 恒成 立,则实数 λ 的取值范围是_____________.

解析 方法一 (定义法) 因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N+,都有 an+1>an,

即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得

2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1).

(*)

因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只 需 λ>-3.

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8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n2+λn 恒成 立,则实数 λ 的取值范围是_(_-__3_,__+__∞__)__.

方法二 (函数法) 设 f(n)=an=n2+λn,其图像的对称轴为直线 n=-2λ,
要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函数 f(n) 为增函数,

故只需满足 f(1)<f(2),即 λ>-3.

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9.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍).

故数列从第 7 项起各项都是正数.

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A组 专项基础训练

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10.已知数列{an}的通项公式为 an=9n?1n0+n 1?,试判断此数列是

否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没有,

说明理由. 解 an+1-an=9n+110?nn++1 2?-9n?1n0+n 1?=190nn·8-10n, 当 n<8 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=8 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>8 时,an+1-an<0,即 an+1<an.
则 a1<a2<a3<…<a8=a9>a10>a11>…,
故数列{an}有最大项,为第 8 项和第 9 项,且 a8=a9=981×089=19098.

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子

中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格

子的方法种数为

()

A.8 种

B.13 种

C.21 种

D.34 种

解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an,则到达第 n 个格 子的方法有两类:

①向前跳 1 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-1;

②向前跳 2 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-2, 则 an=an-1+an-2,

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B组 专项能力提升

1

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3

4

5

1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子

中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格

子的方法种数为

(C )

A.8 种

B.13 种

C.21 种

D.34 种

由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21.

∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C.

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

2.数列{an}满足 an+an+1=12 (n∈N+),a2=2,Sn 是数列{an}的

前 n 项和,则 S21 为

A.5

B.72

C.92

D.123

( B)

解析 ∵an+an+1=12(n∈N+),

∴a1=12-a2=12-2,a2=2,a3=12-2,a4=2,…, 故 a2n=2,a2n-1=12-2.

∴S21=10×12+a1=5+12-2=72.

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B组 专项能力提升

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3.若数列{n(n+4)(23)n}中的最大项是第 k 项,则 k=___4___.

解析 由题意得????k?k+4??23?k≥?k+1??k+5??23?k+1 , ???k?k+4??23?k≥?k-1??k+3??23?k-1
所以?????kk22≥-120k-9≤0 ,由 k∈N+可得 k=4.

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B组 专项能力提升

1

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3

4

5

4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= an+2 1,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.

解 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

∴bn=?????1n23??nn≥=21??

.

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B组 专项能力提升

1

2

3

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5

4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= an+2 1,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.
(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1=n+1 1+n+1 2+…+2n1+1, ∴cn+1-cn=2n1+2+2n1+3-n+1 1 =2n1+3-2n1+2=?2n+3-??12n+2?<0,

∴{cn}是递减数列.

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B组 专项能力提升

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5

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围.

解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即 Sn+1=2Sn+3n, 由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). 即 bn+1=2bn,又 b1=S1-3=a-3,

因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N+.

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围.
(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N+, 于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2 =2×3n-1+(a-3)2n-2, an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2[12(32)n-2+a-3],
当 n≥2 时,an+1≥an?12(32)n-2+a-3≥0?a≥-9.
又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞).

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