2012年高考题汇编---三角函数

2012 年高考题汇编------三角函数 1.2012 年高考 ( (浙江文)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB. ) (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

2. (2012 年高考(天津文) )在 ? A B C 中,内角 A , B , C 所对的分别是 a , b , c .已知
2 4

a ? 2, c ?

2 , co s A ? ?

.
?
3

(I)求 sin C 和 b 的值;

(II)求 c o s ( 2 A ?

) 的值.

3. (2012 年高考(山东文) ) 在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 sin (Ⅰ)求证: a , b , c 成等比数列; (Ⅱ)若 a
? 1, c ? 2

B (tan A ? tan C ) ? tan A tan C

.

,求△ A B C 的面积 S.

4. (2012 年高考(辽宁文) )在 ? A B C 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差 数列. (Ⅰ)求 co s B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

5. (2012 年高考(课标文) )已知 a , b , c 分别为 ? A B C 三个内角 A , B , C 的对 边, c ?
3 a sin C ? c sin A .

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ? A B C 的面积为 3 ,求 b , c .

6. (2012 年高考(江西文) )△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

7.2012 年高考 ( (大纲文) ? A B C 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a , b , c 满足 2 b ? 3 a c , )
2

求A.

8. (2012 年高考(安徽文) )设 ? A B C 的内角 A , B , C 所对的边为 a , b , c ,且有
2 sin B co s A ? sin A co s C ? co s A sin C

(Ⅰ)求角 A 的大小;[ (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 B C 的中点,求 A D 的长.

9. (2012 年高考(浙江理) )在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB=
3 2
5

cosC.

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a=
2

,求 ? ABC 的面积.

10. (2012 年高考(江西理) )在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 知, A ?
?
4 , b s in (

?
4

? C ) ? c s in (

?
4

? B) ? a .

(1)求证: B ? C ?

?
2

(2)若 a = 2 ,求△ABC 的面积.

11. (2012 年高考(江苏) )在 ? A B C 中,已知 A B ? A C ? 3 B A ? B C . (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 c o s C ?
5 5 ,求

??? ?

????

??? ??? ? ?

A 的值.

12. (2012 年高考(大纲理) )
? A B C 的内角 A 、B 、 的对边分别为 a 、 、 ,已知 co s( A ? C ) ? co s B ? 1, a ? 2 c , C b c

求C .

参考答案: 1.【解析】(1)? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ?
tan B ? 3 ,? B ? 3 sin A co s B ,即得

?
3

.

(2)? sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2 a , 由余弦定理 b ? a ? c ? 2 a c co s B , 9 ? a ? 4 a ? 2 a ? 2 a c o s
2 2 2
2 2

?
3

,解得

a ?

3 ,? c ? 2 a ? 2 3 .
2 4 7 4 14 4
a sin A c sin C

2.解:(1)在 ? A B C 中,由 c o s A ? ?

,可得 s in A ?

,又由

?



a ? 2 ,c ?

2 ,可得 s in C ?

由 a ? b ? c ? 2 b c co s A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1 .
2 2 2 2

所以 s in C ?

7 4

,b ? 1

(2)由 c o s A ? ?

2 4

, s in A ?

14 4

,得

cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ?
2

3 4

, s in A ? 2 s in A c o s A ? ?

7 4

所以 c o s ( 2 A ?

?
3

) ? cos 2 A cos

?
3

? s in 2 A s in

?
3

?

?3 ? 8

21

3.解:(I)由已知得: sin B (sin

A co s C ? co s A sin C ) ? sin A sin C

,

sin B sin ( A ? C ) ? sin A sin C

,则 sin 2

B ? sin A sin C

,

再由正弦定理可得: b 2 (II)若 a
sin C ?

? ac

,所以 a , b , c 成等比数列. ,∴ c o s B
? a ?c ?b
2 2 2

? 1, c ? 2

,则 b 2
7 4

? ac ? 2

?

3 4

,

2ac
1 ? cos C ?
2

,
a c s in B ? 1 2 ?1? 2 ? 7 4 ? 7 4

∴△ A B C 的面积 S

?

1 2

.

4.

(1)由已知 2 B = A + C , A + B + C = ? , ? B =
2

?
3

, cos B =
2

1 2 3 4

(2)解法一: b = a c ,由正弦定理得 s in A s in C = s in B = 5. (Ⅰ)由 c ?
3 a sin C ? c sin A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin A sin C ? sin C

由于 sin C ? 0 ,所以 s in ( A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?
?
3

?
6

)?

1 2

,

.
1 2 b c s in A =
2

(Ⅱ) ? A B C 的面积 S =
2 2 2

3 ,故 b c =4,
2

而 a ? b ? c ? 2 b c co s A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2.
3(c o s B c o s C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 c o s B c o s C 3 c o s B c o s C ? 3 sin B sin C ? ? 1

6. (1) 3 c o s( B ? C ) ? ? 1
c o s( ? ? A ) ? ? 1 3

则 cos A ?

1 3

.

(2) 由(1)得 s in A ?
b ?c ?a
2 2 2

2 3

2

,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理
?b ? 3 ? ?a ? 2 ?

cos A ?

?

b ?c ?9
2 2

?

1 3

2bc

12

则 b ? c ? 1 3 ②,①②两式联立可得 ?
2 2



?a ? 3 ? . ? b ? 2 ? ?

7. 由 A.B.C 成等差数列可得 2 B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? ,故 3 B ? ? ? B ?
C ? 2? 3 ? A
2

?
3



而由 2 b ? 3 a c 与正弦定理可得
2 s in B ? 3 s in A s in C ? 2 ? s in
2 2

?
3

? 3 s in (

2? 3

? A ) s in A

所以可得
2? 3 4
3 2 s in 2 A ?

? 3(s in

2? 3

cos A ? cos

2? 3

s in A ) s in A ?

3 c o s A s in A ? s in

2

A ?1?

1 ? cos 2 A 2

? 1 ? s in ( 2 A ?

?
6

)?

1 2

,由

0? A?
2A ?

2? 3

? ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

7? 6

,故
?
6

?
6

?

?
6

或2 A ?

?
6

?

5? 6

,于是可得到 A ?

或A ?

?
2

.

8. (Ⅰ) A ? C ? ? ? B , A , B ? (0, ? ) ? sin ( A ? C ) ? sin B ? 0
2 sin B co s A ? sin A co s C ? co s A sin C ? sin ( A ? C ) ? sin B
? cos A ?
2 2

1 2

? A ?
2

?
3 3 ? b ? a ?c ? B ?
2 2 2

(II) a ? b ? c ? 2 b c c o s A ? a ?

?
2

在 R t ? A B D 中, A D ?

AB ? BD
2

2

?

1 ?(
2

3 2

)

2

?

7 2

9. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角 形面积求法等知识点. (Ⅰ) ∵cosA= >0,∴sinA=
3 2
1 ? cos A ?
2

5 3

,

又 =
5 3

5

cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA cosC+ sinC.
3
5

2

整理得:tanC=

.
5 6

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故c
? 3
a s in A ? c s in C

.

,

. (1)
b ? c ? a
2 2 2

对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b
? 3

?

2 3

. (2)

2bc

or b=
5 2

3 3

(舍去).

∴ ? ABC 的面积为:S= 【答案】(Ⅰ)
5

.
5 2

;(Ⅱ)

.

10. 解:(1)证明:由 b s in (
s in B s in (

?
4

? C ) ? c s in (

?
4

? B ) ? a 及正弦定理得:

?
4

? C ) ? s in C s in (

?
4

? B ) ? s in A ,

即 s in B (

2 2

s in C ?

2 2

s in C ) ? s in C (

2 2

s in B ?

2 2

s in B ) ?

2 2

整理得: sin B co s C ? co s B sin C ? 1 ,所以 sin ( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B , C ? 所以 B ? C ?
?
2

3? 4

(2) 由(1)及 B ? C ? 所以 b ?
a s in B s in A

3? 4

可得 B ?
5? 8 ,c ?

5? 8

,C ?

?
8

,又 A ?
?
8

?
4

,a ?

2

? 2 s in

a s in C s in A

? 2 s in

,

所以三角形 ABC 的面积
? 1 2
??? ? ????

b c s in A ?

2 s in

5? 8

s in

?
8

?

2 s in

?
8

cos

?
8

?

2 2

s in

?
4

?

1 2

11. 解:(1)∵ A B ? A C ? 3 B A ? B C ,∴ A B ?A C ?co s A = 3 B A ?B C ?co s B ,即
A C ?co s A = 3 B C ?co s B

??? ???? ?

.
BC sin A s in A = 3? cos B cos A
2

由正弦定理,得

AC sin B

=

,∴ sin B ?co s A = 3 sin A ?co s B .
s in B

又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ co s A > 0, co s B > 0 .∴
5 5

即 tan B ? 3 tan A .

(2)∵ c o s C ?

, <C < ? 0

,∴ s in C ?

? 5 ? 1? ? ? 5 ? ? ? ?

=

2 5 5

.∴ tan C ? 2 .

∴ tan ? ? ? ? A ? B ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ? 2 .∴ ? ? 由 (1) ,得
4 ta n A 1 ? 3 ta n A
2

ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ?ta n B 1 3

? ?2

.

? ?2

,解得 tan A =1,tan A= ?
?
4

.

∵ co s A > 0 ,∴ tan A =1 .∴ A =

.

12. 由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2 c 可得 sin A ? 2 sin C 所以 co s( A ? C ) ? co s B ? co s( A ? C ) ? co s( ? ? ( A ? C )) ? co s( A ? C ) ? co s( A ? C )
? co s A co s C ? sin A sin C ? co s A co s C ? sin A sin C ? 2 sin A sin C

故由 co s( A ? C ) ? co s B ? 1 与 sin A ? 2 sin C 可得 2 sin A sin C ? 1 ? 4 sin C ? 1
2

而 C 为三角形的内角且 a ? 2 c ? c ,故 0 ? C ?

?
2

,所以 s in C ?

1 2

,故 C ?

?
6

.


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