【天津2015河西二模】天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查(二)数学(文)试题word版含答案

河西区 2014—2015 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二)

数 学 试 卷(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第 Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。 答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、准考号填写密封线内相应位置。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,将答案填在题后的括号内。 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
?如果事件 ?柱体的体积公式 V ? Sh ?锥体的体积公式 V

A , B 互斥,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
?如果事件

1 ? Sh 3

A , B 相互独立,那么

其中 S 表示柱(锥)体的底面面积

P( AB) ? P( A) ? P( B)

h 表示柱(锥)体的高

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) a 为正实数, i 是虚数单位, (A) 2 (B)

a ?i ? 2 ,则 a ? ( i
(C)

) (D) 1

3

2

? x ? y ?1 ? (2)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最小值为( ?2 x ? y ? 4 ?
(A) 11 (B) 3 (C) 2 (D)



13 3

?1 ?

( 3 )某程序框图如右图所示 , 若该程序运行后输出的值是 ( ) (A) a ? 4 (C) a ? 6
2

9 ,则 5

开始 S=1,k=1 是





(B) a ? 5 (D) a ? 7 )

(4)函数 f ? x ? ? x ? 4x ? 2ln x ? 5 的零点个数为( (A) 3 (C) 1 (5)已知双曲线 (B) 2 (D) 0

k>a? 否 1 S=S+ k(k+1)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 a 2 b2

k=k+1

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线分别交于 A , B 两点, O 为坐标原点.
输出 S

若双曲线的离心率为 2 , ?ABO 的面积为 3 , 则 p 的值为 ( ) (B)
结束

(A) 1

3 2

(C) 2

(D) 3

(6)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ? 图所示,则 ? , ? 的值分别是( (A) 2, ? (C) 4, ? )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如

? ?
3

(B) 2, ? (D) 4,

?
6

?
3

6

(7)下列四个命题中

? 1? ?1? p1 : ?x ? ? 0, ??? , ? ? ? ? ? ; p2 : ?x ? ? 0,1? , ? 2? ? 3?
log 1 x ? log 1 x ;
2 3

x

x

? 1? ?1? ? 1? ?1? p3 : ?x ? ? 0, ??? , ? ? ? ? ? ; p4 : ?x ? ? 0, ? , ? ? ? log 1 x . ? 3? ? 2? ? 2? ? 3? 3
其中真命题是( (A) p1 , p3 ) (B) p1 , p4
2

x

x

x

(C) p2 , p3

(D) p2 , p4 )

(8)设函数 f ? x ? 满足 x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ? (A) 有极大值,无极小值 (C) 既有极大值又有极小值

ex e2 , f ? 2? ? ,则 x ? 0 时 f ? x ? ( x 8

(B) 有极小值,无极大值 (D) 既无极大值也无极小值
?2 ?

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数 学 试 卷(文史类)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为 6 组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如右图所示的频率分布直方图,已知高一年级 共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 (10)一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体 积为 . .

2 2 (11)关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集

为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? __________. (12)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E . 若 AB ? 6 , ED ? 2 ,则 BC ? _________. (13)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120? ,且 AB ? 2 , AC ? 3 , 若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为________. ( 14 )已知 f ? x ? ? m ? x ? 2m?? x ? m ? 3? , g ? x ? ? 2 ? 2 ,若同
x





A

E

O

.
B

D C

时满足条件: ① ?x ? R , f ? x ? ? 0 或 g ? x ? ? 0 ; ② ?x ? ? ??, ?4? ,

f ? x ? g ? x ? ? 0 ,则 m 的取值范围是

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 若某公司从七位大学毕业生 A , B , C , D , E , F , G ,中录用两人,这七人被录用的机会 均等. (Ⅰ)用题中字母列举出所有可能的结果;
?3 ?

(Ⅱ)设事件 M 为“ A 或 B 被录用”求事件 M 发生的概率.

(16) (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

(17) (本小题满分 13 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1 的 中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ=λ(0<λ<2). (Ⅰ)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ; (Ⅱ)是否存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 λ 的值; 若不存在,说明理由.

?4 ?

(18) (本小题满分 13 分) 已知点 A ? 0, ?2 ? ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 , F 是椭圆 E 的右焦点, 2 a b 2

直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

?5 ?

(19) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x x? k ( k 为常数, e ? 2.71828... 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在

e

点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g(x) ? (x 2 ? x) f '(x) ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0 ,

g(x) ? 1 ? e?2 .

?6 ?

(20) (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

?7 ?

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数学试卷(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1)B (5) C (2) D (6) A (3) A (7) D (4)B (8)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 30 分. (9) 480 (10) 16 ? 8? (11)

5 2

(12) 2 3

(13)

12 7

(14) m ? ? ?4, ?2 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:从七位大学毕业生中录用两人所有可能结果为

? A, B? , ? A, C? , ? A, D? , ? A, E? , ? A, F? , ? A, G? , ?B, C? , ?B, D? , ?B, E? , ?B, F? , ?B, G? , ?C, D? , ?C, E? , ?C, F? , ?C, G? , ?D, E? , ?D, F? , ?D, G? , ?E, F? , ?E, G? , ?F , G? , 共
种. ????7 分 (Ⅱ)解: A 或 B 被录用的所有可能结果为 21

? A, B? , ? A, C? , ? A, D? , ? A, E? , ? A, F? , ? A, G? , ?B, C? , ?B, D? , ?B, E? , ?B, F? , ?B, G? , 共
11 种. 因此事件 M 发生的概率 P ? M ? ? (16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac , 所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

11 .????13 分 21

?8 ?

由余弦定理得, cos B ?
0

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? , 2ac 2

因此, B ? 120 . ????6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A ? C ? 60 ,所以
0

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C
? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C

? cos( A ? C ) ? 2sin A sin C

?

3 1 3 ?1 ? , ? 2? 2 2 4
0 0

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此, C ? 15 或 C ? 45 . ????13 分
0 0

(17) (本小题满分 13 分) 方法一: (Ⅰ )证明:如图① ,连接 AD1,由 ABCD?A1B1C1D1 是正方体,知 BC1∥AD1. 当 λ=1 时,P 是 DD1 的中点,又 F 是 AD 的中点,所以 FP∥ AD1,所以 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ. ???5 分

图①

图②

1 (Ⅱ )如图② ,连接 BD.因为 E,F 分别是 AB,AD 的中点,所以 EF∥ BD,且 EF= BD.又 DP= 2 1 BQ,DP∥ BQ,所以四边形 PQBD 是平行四边形,故 PQ∥ BD,且 PQ=BD,从而 EF∥ PQ,且 EF= 2 PQ. 在 Rt△EBQ 和 Rt△FDP 中,因为 BQ=DP=λ,BE=DF=1, 于是 EQ=FP= 1 ? ? 2 ,所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形. 同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形. 分别取 EF,PQ,MN 的中点为 H,O,G,连接 OH,OG, 则 GO⊥ PQ,HO⊥ PQ,而 GO∩HO=O, 故∠ GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角. 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠ GOH=90°. 连接 EM,FN,则由 EF∥ MN,且 EF=MN 知四边形 EFNM 是平行四边形.
?9 ?

连接 GH,因为 H,G 是 EF,MN 的中点,所以 GH=ME=2.

? 2? 2 1 在△GOH 中,GH2=4,OH2=1+λ2- ? ? 2 ? ? =λ +2, ? ? ? 2? 1 OG =1+(2-λ) - ? =(2-λ)2+ , ? 2 ? 2 ? ? ?
2 2
2

2

2 1 1 由 OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2+ +λ2+ =4,解得 λ= 1 ? , 2 2 2
故存在 λ= 1 ?

2 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.??13 分 2

方法二: 以 D 为原点, 射线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴的正半轴建立如图③ 所示的空间直角坐标系. 由 已知得 B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).

图③ → BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,λ),FE=(1,1,0).????2 分 (Ⅰ )证明:当 λ=1 时,FP=(-1,0,1), → 因为BC1=(-2,0,2), → → 所以BC1=2FP,即 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ. ???6 分 → ? ?x+y=0, ?FE ?n=0, ? (Ⅱ )设平面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),则由? 可得? → ?-x+λz=0. ? ?FP · n=0 ? 于是可取 n=(λ,-λ,1). 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1). 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m· n=(λ-2,2-λ,1)· (λ,-λ,1)=0, 即 λ(λ-2)-λ (2-λ)+1=0,解得 λ= 1 ? 故存在 λ= 1 ?

2 . 2

2 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.???13 分 2

(18) (本小题满分 13 分)

?10?

(Ⅰ )解:设 F ? c,0? ,由条件知,

2 2 3 ,得 c ? 3 . ? c 3



c 3 2 2 2 ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 . ? a 2
x2 ? y 2 ? 1.????5 分 4

故 E 的方程为

(Ⅱ)解:当 l ? x 轴时不合题意, 故可设 l : y ? kx ? 2 , P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) . 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4

2 当 ? ? 16 4k ? 3 ? 0 ,即 k ?

?

?

2

3 , 4

x1,2=

8k±2 4k2-3 , 4k2+1

从而|PQ|= k 2 ?1 |x1-x2| = 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1

又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积

2 k 2 ?1

.

4 4k ? 3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k 2 ? 1
2

4t 4 设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t

7 4 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k= ? 时等号成立,满足 Δ>0, t 2
所以,当△OPQ 的面积最大时,k= ?

7 7 ,l 的方程为 y= ? -2. 2 2
????13 分

(19) (本小题满分 14 分)
?11?

1 ? ln x ? k (Ⅰ) f '( x) ? x ,依题意, f '(1) ? 1 ? k ? 0 ? k ? 1 为所求. ????4 分 e ex

1 ? ln x ? 1 (Ⅱ)此时 f '(x) ? x ( x?0) ex 记 h( x) ? 1 ? ln x ? 1 , h '( x) ? ? 12 ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 (0 , ??) 单减,又 h(1) ? 0 , x x x 所以,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f ( x) 单增; x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f ( x) 单减. 当
所以,增区间为(0,1) ;减区间为(1, ??) .????9 分

1? x ? ?1 ? x ln x ? x ? ,先研究 1 ? x ln x ? x ,再研究 1 ?x x . x e e 记 i( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? 0 , i '( x) ? ? ln x ? 2 ,令 i '( x) ? 0 ,得 x ? e ?2 , 当 x ? (0 , e?2 ) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单增; 当 x ? (e ?2 , ??) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单减 . 所以, imax (x) ? i(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,即 1 ? x ln x ? x ? 1 ? e?2 .
2 (Ⅲ) g ? x ? ? x ? x f ? ? x ? ?

?

?



② 记 j( x) ? 1 ?x x , x ? 0 , j '( x) ? ? x ,所以 j( x) 在 (0 , ??) 单减, x ?0

e

e

所以, j( x) ? j(0) ? 1,即 1 ?x x ? 1 综①、②知, g ? x ? ? (20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为

1? x 1? x 1 ? x ln x ? x ? ? x ?1 ? e ?2 ? ? 1 ? e?2 .??14 分 x ? e e

e

1 2 2Sn ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . 3 3 n 1 2 所以 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,得 a2 ? 4 .????2 分

(Ⅱ)解:因为

1 2 2Sn ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . 3 3 n

所以 2Sn ? nan?1 ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 3 2 n ? n 2 ? n ? nan?1 ? 3 3 3



所以当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? n ?1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ?n ? n ?1? ????5 分

?12?

因为 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 所以 2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ? 1? 所以

an ?1 an ? ?1 n ?1 n
a1 ? an ? ? 是以首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

所以数列 ? 所以

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n , n
2

即 an ? n

? n ? 2?
所以 an ? n2 , n ? N . ????8 分
* *

当 n ? 1 时,上式显然成立.

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知, an ? n2 , n ? N ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,所以原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,所以原不等式亦成立. ????10 分 a1 a2 4 4
2

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,由 n ? ? n ?1? ? ? n ? 1? 得

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

即当 n ? 3 时,原不等式亦成立. ????14 分

?13?

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

?14?


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