再探直角四面体的性质_图文

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2 0 0 8年 第 7期 

中学 数 学研 究 

4 3  

再 探 直 角 四面体 的性 质 
东莞 中学松 山湖学校  ( 东莞 , 5 2 3 8 0 8 )   陈平平 
具 有 由 同一 点 出发 的两 两互 相垂 直 的三 条 棱 

的 四面体称 为 直角 四面体 , 其 性质 的研 究 对 中学 数  学 创新 性教 学 , 对 深 化 学 生 的类 比学 习思 想 , 开 阔  学 生 的视野 , 都 有 着 相 当 的份 量. 我 们 从 下 面 的 高  考 真题 可见 其 重要 性 :   ( 2 0 0 3年广 东 数学 高考 1 5题 )在 平 面几 何 中 ,  
有 勾股 定理 : “ 设 AA B C的 两边 A B、 A C互相 垂 直 , 则 

( 2 )直 角 四面体 中 , 若某 直 角 面与斜 面所 成二  面角 的平 面 角为 3 0 。 , 则 另 两 个 直 角 面 的 面积 平 方 

和 等 于 斜 面 面 积 平 方 的 { .  
证明: ( 1 )设  为直角顶  点 0在 底 面 A B C上 的 射 影 ,   连接 C H交 A B 于 点 D, 连 接  O D,易 有 O C上 O A, O C 上  
O B, O A   n   O B = 0, 则O C上  

A B  + A C  =B C   . ” 拓 展 到空 间 , 类 比平 面几 何 的 勾  股 定理 , 研究 三棱 锥 的 侧 面 面 积与 底 面 面 积 问 的关 
系, 可 以得 出 的正 确 结论 是 : “ 设 三棱锥 A —B C D 的 

面O A B, 故 O C上A B, OC 上  

图2  

三个 侧 面 A B C, A C D, A D B 两 两 互 相 垂 直 , 则 
' '  

O D, 又O C在 面A B C上 的射 影  为C H, 则C H 上A B, 即C D 上A B, 也 可证 得 A B上 面 
O C D, 故A B上 O D, 若棱 O C与底 面 A B C所 成 角为 

对 直角 四面 体 的 性 质 , 前人有一定研 究 , 作 者 

探究 出它的其它性质. 例如直角 四面体 中斜面上中  位 线和顶 点 构成 的 面 的性质 ; 直 角棱 和斜 面所成 角  为特殊角时 , 其相应 面的面积关 系; 直角棱都 相等  时相 应角 的关 系 等等 , 同 时对 前 人 的研 究 进 行 了拓  展, 或作 了相 应 的说 明.   性质 1   直角 四面体 中斜面上的中位线与顶点  构成 的 面分别 为 面 O DE, 面O D F, 面O E F, 则 它们 与  斜面 A B C的面积 关 系为 :  

3 0 。 , 即 图 2 中 的/ O C D : 3 0 。 , 则O D : V - , 依  
s△  口 =  1
?

AB ?OD ,s△  

=  1
?

A B? C D, 可证 得 

s…

:  

.  

( 2 )在 直 角 四 面 体 0 一  
A B C, 若面A O B与底 面 A B C所  成 二 面 角 的 平 面 角 /O D C =A   3 0 。 ( 如图3 ) , 依 C O上O D, 有 
1   1  
厶  

s 。 肌= s 。 。 , = s 。 肼= { s 胧  
证 明: R t AA O C, R t AB OC  

C O= ÷C D, S △   =÷ ? B O?  
1  

中, E, D分 别 为斜 边 A C, BC的 
中点 , 则有 O E=   O D = c =E C,  

图3  

C O , S △ c   =÷ ‘ A O? C O, S △ A 口  


÷? A B? c D , 并且A O   + B D  =A B   , 则可推出  
二 
.   .  

B C =D E,可 推 出 

图 1  

1  



 

AO E D   A  C E D, 所以S A 伽 


S△ 曰 D c   + S△ c  

=   l_ S△ ^ 曰 c  
-r  

.  

s △ 伽 =寺s  c . 同理可证s △ 。 加 =s △   =  
s一  

类 比于 : 直 角三 角形 中 , 若 其 中一 内角 为 3 0 。 ,  
则 其所 对 的边 长度 为斜 边 的一半 .  

类 比于 : 直 角 三角形 中斜边 的 中线 等 于斜边 的 


半.  

性质 2 ( 1 )直角 四面体 中, 若某直角棱 与斜  面所成 角 为 3 0 。 , 则 这个 角 所 对 的 直 角 面 面 积 为 斜 
面面积 的一 半.  

性质 3 ( 1 )设直角 四面体 中直角棱 O A , O B,   O C 与底面所成的角分别为O t , 卢 ,  , 则若 O A=O B=   OC , 则有 O t=卢 =  , 反之也 成 立.   ( 2 ) 设直角面 O A B , O B C , O A C与底面 A B C所  成的二面角分别为 0 , 6 , 叼 , 则若 O A =O B =O C , 则  有 0=   =卵, 反之 也成 立.   证明 : ( 1 ) 如 图 4可 知 ,   为顶 点 0在 斜面 A B C  

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上 的射 影 , 故,   = /O A H 
= /O B H,   = /O C H, 则 有 
.  

性质 5   直 角 四面体 中三个 直 角 面 的面积 s   、   s   、 s   与斜 面 的面积 s  的关 系 为 :  

OH  .  
, s 1  

OH  .  
, s 1 n y 

s 1  

S : =S   + S ; + s ; .  
边 C 有 勾股 定理 : 口  +6  =C   ;   拓 展性 质 : 在  △A B C中 . 有 

① 

证 明略 : 类 比于直 角 三 角形 中直 角边 口 、 6与 斜 
OH


因为 0 A =O B =O C, 可 

推出 s i n   =s i   =s i n y, 且 ,  


y分别 为锐 角 , 则证  =   =  
一 r   ,   ( 2 )如 图 5所 示 ,   为顶  q 

J .   >口  +6   ( n>2 , n∈I t )  
【 c  < 口  +6   ( 0 <n <2 , n ∈R) ;  

点 0在 斜 面 A B C上 的射 影 ,   O D, O E, O F分 别为 面 O A B, 面  O B C, 面 O A C上 的高 , 故 0=  
/ ODH, 6 =   / OEH , 叼 =  

在直 角 四面体 中 , 有  f S :>S  +S ;+S ; ( n >2, n ∈R)   t S :<S  +S ;+S ; ( 0 <n <2 , n∈ R)  

证明: 在R t /  ̄ A B C中 , /C :9 0 。 则C  =口  +  
图5  

/O F H, 则有 e o s O=   0 0 A 一 B c o 


6   , 即 f 旦 1   + f _ 垒 _ 1  = 1 , 当n > 2 时 , 依 指 数 函 数  

, c o s  

, 因为 o A=O B =O C   且/ _ A O B  

的 性 质 , 詈< 1 , 则 有 ( 詈 )   < ( 詈 )   , 同 理 可 证  

=/ _ A O C= / _B O C=9 0 。 , 则有 S  B=S o 口 c=S 0 A c ,  

(   )   < (  )   , 故 ( 詈 )   + (   )   < ( 詈 )   + (  )  
=1 ,耳 口 证C  <口  +6   ( n>2, n∈R) ; 当 0 <n <  

故可 推 出 e o s O:c o   =   c o   叼 . 且 , 6 , 叼分 别 为 锐 
角, 则证 0=6=叼.  

类 比于 : 在 等腰 直 角三 角 形 中 , 两 锐 角相 等 , 反 
之 也成立.  

2 时 , 同 理 有 ( 詈 )   > ( 詈 )   , (  )   > (  )   , 故   ( 詈 )   + (  )   > ( 詈 )   + (  )   =   , 即 证 c   > 口   +  
6   ( 0 < n<2 , n ∈ R)  

性质 4   直 角 四面体斜 面 内一 点到各 直 角面 的  距 离分别 为 z   、 z   、 z   , 则 该点 到顶 点 0的距离 为 d =  
证明一: 设 斜 面上 的 一 

对 于 

r S :>S  +S ;+s ; ( n >2 , n ∈ R)  

点 P在三 个直 角侧 面的射 影  分别 是 P   , P   , P   , ( 如图6 所  示 )又 因为点 0为 直角 四面  体 的顶 点 , 则O P为以 O P   ,   O P   , O P   为侧棱 的长方 体 的 
对 角线 , 则 O P=  


【 S :<S  +S ;+S ; ( 0 <n <2 , n ∈R)  
C 

同弹可讦 .  

性质 6   直 角 四面体 中 0  


A B C中 , 面A B O在 底 面 A B C  
C 

图6  

的射 影 为 AA B H( 如图7 )则 
有 

/ o e  ̄ + O P ; + O P ; =  
+   +乐 
证 明二 : 以点 0为 坐标原 点 O B, O C,O A, 所 在 

S △ 脚  =5 △ A 肼? s △ 仙 G ② 
证明: ( 略)  
Rt  ̄ COD 申 OD  = DH ?DC.  

图7  

类 比于 : 直 角 三 角 形 中的射 影 定 理 , 如 上 图 中 

直线为  、 y 、 z , 轴建立空间直角坐标系 , 不妨设点 P  
到面 O A C的距 离 为 Z   , 到面 O A B的距离 为 Z   ,到面  O BC的距离 为  , 则 如 图 6可 知点 P 的坐标 为 ( Z   ,   Z   , Z   ) ,以 空 间 直 角 坐 标 距 离 公 式 有 O P =  

说明 : 实 际上证 明S △ A 肋 =5 △ A 肼? s △ A 口 c 的条 件  只需 O C上面 O A B即可 , 可 以忽略 O A上O B, 但是 要  在 同一 四面 体 中 同 时 有 : s △ A 肋  = S △ 仰口?S △ A B c ,  
S △ B c 0  =S △ B 叫? S △ B c A , S △ c A 0  =S △ c A  ? S △ c A B   J 或立 ,  

√  + z ; +  
类 比于 :直角 三角形 斜边 上 的任意 一点 到两 直  角边 的距离 分别 为 z   、 z   , 则 该点 到 顶 点 的距 离 为 d  
=  

则 这 一 四面体必 须是 直角 四面体 .  
参 考 文 献 

[ 1 ]徐研. 立体 几何 中的勾股底定理 [ J ] . 数 学学 习 , 2 o o 4 ( 7 ) .   [ 2 ]金 兔.直 角 四面 体 的 性 质分 类 与 解 析 [ J ] .河北 理 科 研究 ,  
2 0 01 ( 2) .  


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