高中数学第三章不等式3.2均值不等式自主训练新人教B版必修5-含答案

3.2 均值不等式 自主广场 我夯基 我达标 1.x、y 同号,当 A.x=y=1 x y ? 取最小值时,一定有( y x B.x=y=-1 ) C.x=y 或 x=-y D.x=y 思路解析:因为 x、y 同号,所以 y x x y 与 都是正数,取最值时 = ,再由 x、y 同号,知 x=y. x y y x ) B.f(x)=2× 答案:D 2.下列函数中,最小值为 4 的是( 4 A.f(x)=x+ x x -x x2 ? 5 x2 ? 4 C.f(x)=3 +4×3 D.f(x)=lgx+logx10 思路解析:逐个排除 . 其中 A,D 选项不能保证两项为正 , 排除 ; 而 B 选项不能取得等 号 ,f(x)=2× x2 ? 5 x2 ? 4 1 x ?4 2 ? 2? x2 ? 4 ?1 x2 ? 4 ? 2( x 2 ? 4 ? 1 x2 ? 4 ) ≥4, 要 取 等 号 , 必 须 x2 ? 4 ? 答案:C ,即 x +4=1,这是不可能的. 2 3.设 x,y 为正数,则(x+y)( A.6 B.9 1 4 + )的最小值为( x y C.12 ) D.15 思路解析:x,y 为正数,(x+y)( 答案:B 4.在区间[ 1 4 y 4x + )≥1+4+ + ≥9,选 B. x y x y 1 x2 ? x ?1 2 ,2]上,函数 f(x)=x +bx+c(b、c∈R)与 g(x)= 在同一点取 2 x 得相同的最小值,那么 f(x)在区间[ A. 1 ,2]上的最大值是( 2 C.8 ) D. 13 4 B.4 5 4 思路解析:g(x)= 1 x2 ? x ?1 =x+ +1≥3,当 x=1 时取等号,即当 x=1 时取最小值 3,所以 f x x 1 (x)的对称轴是 x=1.所以 b=-2.再把(1,3)代入即得 c=4.所以 f(x)=x -2x+4,易得在[ 2]上的最大值是 f(2)=4-4+4=4. 答案:B 5.(1)函数 f(x)=x+ 2 1 , 2 1 (x>5)的最小值为____________. x?5 (2)函数 y= x(10 ? x) (0<x<10)的最大值为_____________. (3)已知 2x+3y=12,且 x、y 均为正数,那么 xy 的最大值为____________. 1 1 +5≥2(x-5)· +5=7, 当 x?5 x?5 1 x ? 10 ? x x-5= ,即 x=6 时取最值;(2) x(10 ? x) ? x ? 10 ? x ? =5,当 x=10-x,即 x?5 2 思 路 解 析 : (1) 由 于 x > 5, 所 以 x-5 > 0,f(x)=x-5+ x=5 时 取 最 值 ;(3) 首 先 根 据 条 件 凑 出 定 值 , 把 xy 进 行 变 化:xy= 1 1 2x ? 3y 2 ) =6. (2x)(3y)≤ ? ( 6 6 2 答案:(1)7 (2)5 (3)6 a?b b?c c?a ? lg +lg >lga+lgb+lgc. 2 2 2 a?b b?c c?a ? ? 思路分析: 根据对数的性质,首先把对数符号去掉,得 >abc,然后,再利 2 2 2 6.已知 a、b、c 为不全相等的正数,求证:lg 用均值不等式及其变形进行证明,由于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程. 证明:要证原不等式成立,只需证 lg( 又∵y=lgx 是增函数, ∴只需证 a?b b?c c?a ? ? )>lgabc. 2 2 2 a?b b?c c?a ? ? >abc. 2 2 2 又已知 a、b、c 为不全相等的正数,所以由基本不等式 a?b b?c c?a ? ab , ? bc , ? ca ,知上述三个不等式不能同时取到等号, 2 2 2 a?b b?c c?a ? ? ∴ >abc 成立. 2 2 2 ∴原不等式成立. 7.已知 a、b、c∈R,且 a+b+c=1,求证: ( 1 1 1 -1) ( -1) ( -1)≥8. a b c 思路分析:首先根据条件 a+b+c=1,把其中分子上的 1 全部换成 a+b+c 之后,每个括号中的 项分别使用均值不等式,然后相乘即可. 证明:∵ 1 1? a b ? c ?1 ? ? , a a a 又∵a>0,b>0,c>0,∴ b ? c 2 bc ? , a a 即 1 2 bc ?1 ? . a a 2 同理,可得 1 2 ca 1 2 ab . ?1 ? , ?1 ? b b c c 1 1 1 -1) ( -1) ( -1)≥8. a b c 由于上面三个不等式的右边都是正数,相乘即得( 8.如图 3-2-1 所示,平面直角坐标系中,在 y 轴正半轴(坐标原点除外)上给定两点 A、B, 试在 x 轴的正半轴(坐标原点除外)上求一点 C,使∠ACB 取得最大值. 图 3-2-1 思路分析:本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题,首先根据图形建立∠ACB 某 一三角函数的一个解析式,根据解析式和均值不等式求最值即可. 解:设点 A 坐标为(0,a) ,点 B 坐标为(0,b) ,0<b<a,点 C 坐标为(x,0) (x>0) , ∠ACB=α ,∠OCB=β ,则∠OCA=α +β (0<α < ∴tanα =tan [ ( ? ) , 2 ) -β ] α +β a b ? tan( ? ? ? ) ? tan ? x x ? a?b ? a?b ? a?b . ? = 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 1 ? ab x ? ab ab 2 ab 2 x? 2 x x x 当且仅当 x= ab ,即 x= ab (x>0)时等号成立.因此当 x= x 我综合 我发展 ab 时,tanα

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