天津市耀华中学2012届高三寒假验收考试数学文试题word版

天津市耀华中学 2012 届高三年级寒假验收考试
数 学 试 题(文)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试用时 120 分 钟。

第 I 卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项

是符合题目要求的,将.答.案.涂.在.答.题.卡.上.。

1.已知 i 是虚数单位,则复数 (1? 2i)(1? i) 等于 2?i
()

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i

2.阅读程序框图,若输出的 S 的值等于 16,那么在程序

框图中的判断框内应填写的条件是

()

A. i ? 5?

B. i ? 6?

C. i ? 7?

D. i ? 8?

3.已知数 ?1, a1, a2 , ?4 成等差数列,-1、b1、b2、-8 成等

比数列,则 a2 ? a1 b2

()

A. 1 2

B. ? 1 2

C. ? 1 或 1 22

D. 1 4

4.已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0, x ? R,| ? |? ? ) 的图象(部分)如图所示, 2

则 f (x) 的解析式是

()

A.

f

(x)

?

? 5 sin(

x? ?

)

36

B.

f

(x)

?

5

? sin(

x? ?

)

66

C. f (x) ? 5sin(? x ? ? ) 66

D. f (x) ? 5sin(? x ? ? ) 36

5 . 已 知 a ? 0,b ? 0 , 若 不 等 式 2 ? 1 ? m 恒 成 立 , 则 m 的 最 大 值 等 于 a b 2a ? b
()

A.10

B.9

C.8

D.7

6.如下图所示,下列三图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边的中点,双曲线均以

图中的 F1、F2 为焦点,设图(1)、(2)、(3)中的双曲线的离心率分别为 e1, e2 , e3 ,则
()

A. e1 ? e2 ? e3

B. e1 ? e2 ? e3

C. e1 ? e2 ? e3

D. e1 ? e3 ? e2

7.已知函数

?2, x ? 1

f

(

x)

?

??(

x

?1)2

?

2,

x

?

, 1

则不等式

f ( 1?

x2

?)

()

f ( 2x的)解 集 是

A.{x | ?1 ? x ? ?1? 2}

B.{x | x ? ?1? 2或x ? 2 ?1}

C.{x | ?1? 2 ? x ? 1}

D.{x | x ? ?1或x ? ?1? 2}

8.设函数 f (x) ? x | x | ?bx ? c ,则下列命题中正确命题的序号有
()
①当 b ? 0 时,函数 f (x) 在 R 上是单调增函数;

②当 b ? 0 时,函数 f (x) 在 R 上有最小值;

③函数 f (x) 的图象关于(0,c)对称;

④方程 f (x) ? 0 可能有三个实数根。

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①③④

第 II 卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,将.答.案.填.在.答.题.卡.上.。

9.若集合

A

?

?x

||

x

?

2

|?

1?,

B

?

? ? ?

x

|

2?x 2x ?1

?

0?? ?

,则

A

B是



10.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽

样方法,抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号的产品有 16 件,那么此样本的容量

n 等于



11.已知点 P(x, y) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA、PB 是圆 C : x2 ? y2 ? 2 y ? 0

的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为



12.已知抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,过点 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 交于点

A,与抛物线的一个交点为 B,若 AM ? MB ,则该抛物线的方程为



13.如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OD=3,点 P 为

?BCD 内(含边界)的动点,设 OP ? ? OC ? ? OD, 其中?, ? ? R ,

则? ? ? 的最大值等于



14 . 已 知 等 差 数 列 {an} , 若 a2 ? a 4? ? a n2 ? a a3 , a6 ?1a ? 3 ? a n? 2? a1 a ,3 且5

S2n ? 200 ,则公差 d=



三、解答题:本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 将.答.案.填.写.在.答.题.卡.上.。.
15.(本小题满分 13 分)
已知 f (x) = sin(2x ? ? ) ? 2 cos2 x ?1. 6

(1)求函数 f (x) 的单调增区间;

(2)在 ?ABC 中,a、b、c 分别为 ?ABC 内角 A、B、C 的对边,且 a=1, b ? c ? 2, f ( A) ? 1 ,求 ?ABC 的面积。
2

16.(本小题满分 13 分)
设有关于 x 的一元二次方程 x2 ? ax ? b2 ? 0.

(1)若 a 是从 1,2,3,4,5 五个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取 的一个数, 求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[1,5]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程 有实根的概率。
17.(本小题满分 13 分)
如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 底面 ABCD,边四形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、 PD 的中点,若 PA ? AD ? 3,CD ? 6.
(1)求证:AF//平面 PCE; (2)求点 F 到平面 PCE 的距离; (3)求直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值。
18.(本小题满分 13 分)
已知椭圆 C 的焦点坐标分别为 F1(?2, 0), F 2 (2, 0) ,且长轴与焦距的等比中项为 2 6 。
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知 A(-3,0),B(3,0),P 是椭圆 C 上异于 A、B 的任意一点,直线 AP、BP
分别交 y 轴于 M、N,求 OM ?ON 的值; (3)在(2)的条件下,若 G(s, 0), H (k, 0), 且 GM ? HN , (s ? k) ,分别以 OG、OH
为边作正方形,求此两正方形的面积和的最小值,并求出取得最小值时的 G、H 点坐标。
19.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? 1 x2 ? (a ? 1)x ? ln x, 其中 a ? 0.

2

a

(1)当 a=1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角;

(2)当 a ? 1时,求函数 f (x) 的单调区间;

(3)若 a ? (0,

1) 2

,证明对任意 x1, x2

?[

1 2

,1](

x1

?

x2 ) , |

f

(x1) ? x12 ?

f (x2 ) | x22

?

1 2

恒成立。

20.(本小题满分 14 分)
已 知 f ( x?) la o g? (a ?0 , 数 1列) {an} , 若 数 列 {an} 使 得 2 ,

f (a2 ), f (a2 ), f (a3), , f (an ) , 2n ? 4(n ? N *) 成等差数列。

(1)求数列{an}的通项公式 an ;

(2)设 bn

?

an

?

f

(an

)

,若

{bn

}

的前

n

项和是

S

n

,且

2a4 1? a

2

? 1 ,求证:Sn

?

2na 2 n ? 4 1? a2

? 3.

数学发展性试题(共 15 分)

1.已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的

最大值为



2.若曲线 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m

的取值范围是



3.设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,对 ?x ? R ,均有 f (x) ? 0 且 f (x ? 3) ? f (5 ? x) ,且



?x1, x2

?[0,

1] 2







f ( x1 ?

x2 )?

f( x1 ) f( 2x,) 且 f (1)? 4. 数 列 {an} 中 ,

an

?

f [( 2n ? 2n

12) ] 则. {an}的通项公式为




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