新人教B版必修2高中数学课堂设计1.2.3空间中的垂直关系(1)直线与平面垂直学案

1.2.3 空间中的垂直关系(1)——直线与平面垂直 自主学习 学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理, 并能灵活应用定理证明有关问题. 自学导引 1.如果直线 l 与平面 α 内的________________________,我们 就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 ________ ,直线 l 叫做 ____________________,平面 α 叫做________________,它们的唯 一公共点叫做________.垂线上任一点到垂足之间的线段,叫做这个 点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距 离. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内的两条 ________直线垂直,则这条直线与这个平面________. 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么 ________________________. 4.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线 ________. 5.垂直于同一条直线的两个平面________. 1 对点讲练 知识点一 线面垂直的判定 例1 如图所示, 直角△ABC 所在平面外一点 S, 且 SA=SB=SC, 点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥面 SAC. 点评 (1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路. (2)线面垂直的定义,给出了线面垂直的必备条件,即直线垂直 2 于平面内的所有直线,是直线垂直平面的必要条件.作为直线与平面 垂直的判定并不实用. 变式训练 1 如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的边 BC=AC, AD=BD, 引 BE⊥CD, E 为垂足,作 AH⊥BE 于点 H.求证:AH⊥平面 BCD. 知识点二 证明线线垂直 例2 如图所示,四边形 ABCD 为正方形,SA 垂直于四边形 ABCD 所在 3 的平面,过点 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于点 E,F, G. 求证:AE⊥SB,AG⊥SD. 点评 本题的证明过程很具有代表性,即证明线线垂直,可先证 线面垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在 线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作 用, 由于线线垂直是相互的, 应充分考虑线和线各自所在平面的特征, 以顺利实现证明需要的转化. 变式训练 2 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 4 的中点. 求证:CF⊥AE. 知识点三 直线与平面垂直的性质定理的应用 例3 已知,如图所示,直线 a⊥α ,直线 b⊥β ,且 AB⊥a,AB⊥b, 平面 α ∩β =c. 5 求证:AB∥c. 点评 判断线线、线面的平行或垂直关系,一般依赖于判定定理 和性质定理,有时候也可以放到特征几何体(如正方体,长方体,正 棱柱等)中,判断它们的位置关系. 变式训练 3 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,EF⊥AC,EF⊥A1D,求证: EF∥BD1. 6 1.直线与平面垂直的判定方法:(1)定义,(2)判定定理.由直 线和平面垂直的判定定理知,把线线垂直关系转化为线面垂直关 系.在判定定理中,注意“两条”和“相交直线”的重要性.判定线 面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直.(3)如果两 条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平 7 面.这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法.证明时常用的转化 关系:线线垂直判定定理 定义 线面垂直. 2.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结 合,利用垂直关系可判断平行,反过来由平行关系也可判定垂直,即 两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条直线也垂直于这个 平面. 课时作业 一、选择题 1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α ; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α ; ③如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂 直. A.0 B.1 C.2 D.3 2.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关 系是( ) B.相交但不一定垂直 D.不垂直也不相交 A.垂直且相交 C.垂直但不相交 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成 8 一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含 有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( A.12 B.24 C.36 ) D.48 ) 4.如果直线 l 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内( A.不存在与 l 垂直的直线 B.存在一条与 l 垂直的直线 C.存在无数条与 l 垂直的直线 D.任意一条直线都与 l 垂直 5.若 m、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题 的个数为( ① ③ A.1 题 答 号 案 1 ) α ; ② ④ B.2 2 m⊥α ? ? ? n⊥α ? ? m∥α ? ? ? m⊥n ? ? m∥n ? ? ? m⊥α ? ? m⊥α ? ? ? ? n∥α ? ; α . D.4 4 5 C.3 3 二、填空题 6.点 P 为△ABC 所在面外一点,若 PA=PB=PC,且 PO⊥面 ABC, 则 O 为△ABC 的________心. 7.已知 P 是△ABC 所在平面外的一点,点 P 与 AB、AC、BC 的距 离相等,且点 P 在△ABC 上的射影 O 在△ABC 内,则 O 一定是△ABC 的________心. 9 8.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中

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