2019高中数学第三章不等式3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域练习新人教A版必修5

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3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课后篇巩固探究

A组

1.若不等式 Ax+By+5<0 表示的平面区域不包括点(2,4),且 k=A+2B,则 k 的取值范围是( )

A.k≥-

B.k≤-1

C.k>-

D.k<-

解析由于不等式 Ax+By+5<0 表示的平面区域不包括点(2,4),所以 2A+4B+5≥0,于是 A+2B≥-,

即 k≥-.

答案 A

2. 图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为

()

A.

B.

C.

D.

解析取原点 O(0,0)检验,它满足 x+y-1≤0,故异侧点应满足 x+y-1≥0,排除 B,D.点 O 的坐标 满足 x-2y+2≥0,排除 C.故选 A. 答案 A

3.若点 P A. C.

所确定的平面区域内,则实数 a 的取值范围为( ) B. D.

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解析由题意,知

解得≤a≤.

答案 A

4.不等式(x+2y-2)(x-y+1)≥0 表示的平面区域是

()

解析不等式(x+2y-2)(x-y+1)≥0 等价于
等式表示平面区域的判断规则知 A 正确. 答案 A

由二元一次不

5. 在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域的面积

为 2,则 a 的值为 ( )

A.-5

B.1

C.2

D.3

解析图中的阴影部分即为满足 x-1≤0 与 x+y-1≥0 的平面区域,而直线 ax-y+1=0 恒过点

(0,1),故可看作直线绕点(0,1)旋转.当 a=-5 时,满足题意的平面区域不是一个封闭区域;当

a=1 时,满足题意的平面区域的面积为 1;当 a=2 时,满足题意的平面区域的面积为;当 a=3 时,

满足题意的平面区域的面积为 2.故选 D.

答案 D

6.不等式组

表示的平面区域的面积为 .

解析该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形及其内部,其面积等于×3×6=9.

答案 9

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7. 若点(1,2)与点(-3,4)在直线 x+y+a=0 的两侧,则实数 a 的取值范围是

.

解析由题意,得(1+2+a)(-3+4+a)<0,

解得-3<a<-1.故实数 a 的取值范围是(-3,-1).

答案(-3,-1)

8.若不等式组



.

表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围

解析不等式组

表示的平面区域如图中的阴影部分所示,画出直线 x+y=0,并将其

向右上方平行移动,直至直线过点(1,0),均满足题意,此时 0<a≤1;将其再向右上方平移,原

不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了,直至直线经过点 A ;当直线再向右上
方移动时,原不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分,此时 a≥.故满足题意的 a 的取值 范围为 0<a≤1 或 a≥.

答案 0<a≤1 或 a≥ 9.画出以 A(3,-1),B(-1,1),C (1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括边界),并写出该区域所表示 的二元一次不等式组. 解 如图所示,直线 AB,BC,CA 所围成的区域就是所要画的△ABC 的区域,其中直线 AB,BC,CA 的方程分别为 x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0.

在△ABC 内取一点 P(1,1),将其代入 x+2y-1,得 1+2×1-1=2>0; 代入 x-y+2,得 1-1+2>0; 代入 2x+y-5,得 2×1+1-5<0. 又所画区域包括边界, 所以该区域所表示的二元一次不等式组为

10.

导学号 04994072 在平面直角坐标系中,求不等式组

示的平面区域的面积.

所表

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解原不等式组可化为 上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,则△ABC 的面积即为所求.

易知点 B 的坐标为

,点 C 的坐标为(-1,-2),

所以 S△ABC=S△ADC+S△ADB=×2×1+×2×

.

B组 1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域(阴影部分)是下列图形中的 ()

解析∵(x-2y+1)(x+y-3)≤0,
∴ 答案 C

故选 C.

2.二元一次不等式组

表示的平面区域中的整点的个数为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知图中阴影部分有 4 个整点,分别是

(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2),故选 B.

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答案 B

3.若不等式组 是( ) A.(-∞,5) B.[7,+∞) C.[5,7) D.(-∞,5)∪[7,+∞)

表示的平面区域是一个梯形,及其内部,则实数 a 的取值范围

解析作出不等式组

表示的平面区域(图略),易知当 a<5 时,原不等式组表示

的平面区域为梯形及其内部.故选 A.

答案 A

4.如图,四条直线 x+y-2=0,x-y-1=0,x+2y+2=0,3x-y+3=0 围成一个四边形,则这个四边形的

内部区域(不包括边界)可用不等式组

表示.

解析点(0,0)在该平面区域内,点(0,0)和平面区域在直线 x+y-2=0 的同侧,把(0,0)代入 x+y-2,得 0+0-2<0,所以对应的不等式为 x+y-2<0. 同理可得其他三个相应的不等式为 x+2y+2>0,3x-y+3>0,x-y-1<0.
故所求不等式组为
答案

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5.若直线 y=kx+1 将不等式组

数 k 的值为

.

解析

表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,△ABC 是等腰直角三角形,且 BC⊥x 轴,A(-1,1).直线 y=kx+1 经过点(0,1),要使直线将△ABC 的面积等分,则 k=0. 答案 0 6.画出不等式|x|+|y|≤1 所表示的平面区域,并求该区域的面积.
解先考虑第一象限(及 x 轴、y 轴正半轴),不等式等价于

易作出其表示的平面区域.由关系式的特征知原不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示, 该区域是边长为 的正方形,故其面积为 2.

7.

导学号 04994073 某公司从银行贷款不足 250 万元,分配给下属甲、乙两个

工厂用以进行技术改造,已知甲厂可以从投入的金额中获取 20%的利润,乙厂可以从投入的

金额中获取 25%的利润.如果该公司计划从这笔贷款中至少获利 60 万元,请列出甲、乙两个

工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.

解设 x,y(单位:万元)分别表示甲、乙两个工厂分配到的贷款金额,根据题意,可得

即 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.

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