高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数课件_图文

第一章 导数及其应用

1.3.3

函数的最大(小)值与导数

第一章 导数及其应用

1. 理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联 系. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般 不超过三次).

1.函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值

[a,b] 上函数 y=f(x)的 (1)能够取得最值的前提条件:在区间_______ 连续不断 的曲线. 图象是一条___________
(2)函数的最值必在极值点或端点处取得. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤

极值 . (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的_______ 极值 与 _________________________ 端点处的函数值f(a),f(b) (2) 将函数 y = f(x) 的各 _______
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

求函数 y=f(x)在[a,b]上的最值包含以下两点 (1)给定函数的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连续但 不能保证有最大值和最小值. 常见的有以下几种情况: 图①中的函数 y=f(x)在(a,b)上有最大值而无最小值;图②中 的函数 y=f(x)在(a,b)上有最小值而无最大值;图③中的函数 y =f(x)在(a,b)上既无最大值又无最小值;图④中的函数 y=f(x) 在(a,b)上既有最大值又有最小值.

(2)函数 f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断是 f(x)在[a,b]上存 在 最 大 值 和 最 小 值 的 充 分 不 必 要 条 件 . 如 函 数 f(x) =
? ?|x|,-1≤x≤1,且x≠0, ? 的图象(如图⑤)在[-1,1]上有间断 ? ? - 1, x = 0

点,但存在最大值和最小值.

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值.( )

(2)函数 f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值一定在区间端点处 取得.( )

(3) 有 极 值 的 函 数 一 定 有 最 值 , 有 最 值 的 函 数 不 一 定 有 极 值.( )

答案:(1)√

(2)×

(3)×

函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 答案:A B.有极值 D.有最小值

)

函数 y=x3-3x+3 在区间[-3,3]上的最小值为( A.1 C.21 答案:D x 函数 f(x)= 的最大值为________. x+1
1 答案: 2

)

B.5 D.-15

探究点 1 求函数的最值 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π]. 2 【解】 (1)因为 f(x)=2x3-12x,
所以 f′(x)=6x2-12 =6(x+ 2)(x- 2), 令 f′(x)=0, 解得 x=- 2或 x= 2. 因为 f(-2)=8,f(3)=18,

f( 2)=-8 2,f(- 2)=8 2; 所以当 x= 2时, f(x)取得最小值-8 2; 当 x=3 时, f(x)取得最大值 18.

1 (2)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0, 2 2 4 又 x∈[0,2π],解得 x= π 或 x= π. 3 3 计算得
?2 ? π f(0)=0,f(2π)=π,f?3π?= + ? ? 3

3 , 2

?4 ? 2 f?3π?= π- ? ? 3

3 . 2

所以当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0; 当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π)=π.

求函数最值的步骤 第一步:求函数的定义域. 第二步:求 f′(x),解方程 f′(x)=0. 第三步:列出关于 x,f(x),f′(x)的变化表. 第四步:求极值、端点处的函数值,确定最值.

4x 1. 函 数 f(x) = 2 (x∈[ - 2 , 2]) 的 最 大 值 是 x +1 ________,最小值是________.

4(x2+1)-2x· 4x -4x2+4 解析:因为 f′(x)= = , (x2+1)2 (x2+1)2 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 又因为 f(1)=2, 8 f(-1)=-2,f(2)= , 5 8 f(-2)=- , 5 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 2,最小值为-2. 答案:2 -2

x-1 2.求函数 f(x)= x 的最值. e x-1 解:函数 f(x)= x 的定义域为 x∈R. e

1·ex-ex(x-1) 2-x f′(x)= = x , e ( ex ) 2 当 f′(x)=0 时,x=2, 当 f′(x)>0 时,x<2, 当 f′(x)<0 时,x>2. 所以 f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以 f(x)无最小值, 且当 x=2 时, 1 f(x)max=f(2)= 2. e

探究点 2

含参数的最值问题

已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e= 2.718 28…为自然对数的底数.设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求 函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值. 【解】 由 f(x)=ex-ax2-bx-1,

有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时, g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0, 2 所以 g(x)在[0,1]上单调递增,

因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0, 2 所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0, 2 2 得 x=ln(2a)∈(0,1), 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1] 上单调递增.

于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a) 2 2 -b; e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2

若将本例条件改为“当 b=0 时,函数 g(x)在区间[0,1]上的最 小值为 0”,求 a 的值.

解:当 b=0 时,因为 f(x)=ex-ax2-1, 所以 g(x)=f′(x)=ex-2ax,又 g′(x)=ex-2a, 因为 x∈[0,1],1≤ex≤e, 1 所以(1)若 a≤ ,则 2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0, 2 所以函数 g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符 合题意.

1 e (2)若 <a< , 则 1<2a<e, 于是当 0<x<ln(2a)时, g′(x)=ex-2a<0, 2 2 当 ln(2a)<x<1 时,g′(x)=ex-2a>0, 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减, 在区间(ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a) =0, e 解得 a= 不符合题意,舍去. 2

e (3)若 a≥ ,则 2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 2 所以函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减, g(x)min=g(1)=e-2a=0, e e 解得 a= .综上所述,a= . 2 2

(1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数, 从而化为不含参数函数的最值问题; ②对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质 是讨论导函数大于 0,等于 0,小于 0 三种情况.若导函数恒不 等于 0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得; 若导函数可能等于 0,则求出极值点后求极值,再与端点值比 较后确定最值. (2)已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值 (范围)是求函数最值的 逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值 点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.

已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最 大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值.

解:由题设知 a≠0,否则 f(x)=b 为常函数,与题设矛盾. 求导得 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=4(舍去). ①当 a>0,且 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -7a+b -1 (-1,0) + 增函数 0 0 b (0,2) - 减函数 -16a+b 2

由表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,也就是函数在[-1, 2]上的最大值, 所以 f(0)=b=3. 又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), 所以 f(2)=-16a+3=-29, 解得 a=2. ②当 a<0 时, 同理可得,当 x=0 时, f(x)取得极小值 b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,

所以 f(0)=b=-29. 又 f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1), 所以 f(2)=-16a-29=3, 解得 a=-2. 综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

探究点 3 函数最值问题的综合应用 设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取 得极值. (1)求 a,b 的值; (2)若对于任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范 围.
【解】 (1)f′(x)=6x2+6ax+3b, 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 时取得极值, 所以 f′(1)=0,f′(2)=0,
? ? ?6+6a+3b=0, ?a=-3, 即? 解得? ? ? ?24+12a+3b=0, ?b=4.

(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c, f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(2,3)时,f′(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=5+8c, 又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 所以当 x∈[0,3]时,

f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c2 恒成立, 所以 9+8c<c2, 解得 c<-1 或 c>9. 因此 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).

若本例中“x∈[0,3]”变为“x∈(0,3)”仍有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围.

解:由本例解析知 f(x)<f(3)=9+8c, 所以 9+8c≤c2,即 c≤-1 或 c≥9, 所以 c 的取值范围为(-∞,-1]∪[9,+∞).

不等式恒成立问题常用的解题方法

设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)<a对任意 x>0 成立.

解:(1)由题设知 f(x)的定义域为 x∈(0,+∞), 1 1 f′(x)=x,g(x)=ln x+x, x-1 所以 g′(x)= 2 . x 令 g′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,

故(0,1)是 g(x)的单调递减区间; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区 间. 因此, x=1 是 g(x)在(0, +∞)上的唯一极值点, 且为极小值点, 从而是最小值点, 所以最小值为 g(1)=1. 1 (2)g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立, a 即 ln a<g(x)对任意 x>0 成立. 由(1)知 g(x)的最小值为 1, 所以 ln a<1.解得 0<a<e.

规范解答

利用导数证明不等式

1 2 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x -aln x(a∈R). 2 (1)求 f(x)的单调区间; 1 2 2 3 (2)当 x>1 时,证明: x +ln x< x . 2 3

【解】

(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

(1 分)

2 a x -a f′(x)=x-x= x .

当a≤0 时, f′(x)>0,则 f(x)的单 调递增区间为(0,+∞), (2 分)

含参数应注意分类讨论

当a>0 时,由 f′(x)>0 得 x> a, 由 f′(x)<0,得 0<x< a, 所以当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( a,+∞),单调 递减区间为(0, a). (5 分)

(2)证明:当 x>1 时, 1 2 2 3 x +ln x< x 恒成立, 2 3 2 3 1 2 令 g(x)= x - x -ln x, 3 2 (7 分)
3 2 2 x - x -1 1 2 g′(x)=2x -x- = x x

构造新函数是本题难点

2x3-2x2+x2-1 = x

(x-1)(2x2+x+1) = , x 当 x>1 时,g′(x)>0, 故 g(x)在(1,+∞)上递增, 所以 g(x)>g(1)>0, 2 3 1 2 所以 x - x -ln x>0. 3 2

(9分)

(12 分)

利用导数解决不等式问题 (如:证明不等式,比较大小等),其 实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式 (或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通 常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的 区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.

1.若函数 f(x)导函数的图象是如图所示的一条直线,则(

)

A.函数 f(x)没有最大值也没有最小值 B.函数 f(x)有最大值,没有最小值 C.函数 f(x)没有最大值,有最小值 D.函数 f(x)有最大值,也有最小值 解析:选 C.由导函数图象可知,函数 f(x)只有一个极小值点 1,

即 f(x)在 x=1 处取得最小值,没有最大值.

2.函数 f(x)=x3-3x(-1<x<1)( A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值

)

解析:选 C.f′(x)=3x2-3=3(x2-1). 因为-1<x<1,所以 x2<1. 所以 3(x2-1)<0,即 f′(x)<0. 所以 f(x)是(-1,1)上的减函数,f(1)<f(x)<f(-1), 故 f(x)在-1<x<1 时既无最大值,也无最小值,故选 C.

3.已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值,并求 f(x)在[-2,2]上的最大值.

解:f′(x)=6x2-12x=6x(x-2). 由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -40+a -2 (-2,0) + 0 0 极大值 a (0,2) - 2 0 -8+a

所以当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,所以 a=3. 所以当 x=0 时,f(x)取到最大值 3.

知识结构

深化拓展 1. 因为函数 f(x)在(a, b)内的全部极值只能在 f(x)的导数为零的 点或导数不存在的点处取得(以下称这两种点为可疑点),所以, 如果仅仅是求最值,只需要将这些可疑点求出来,然后将函数 f(x)在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较, 就能 求得函数的最大值和最小值. 2.当图象连续不断的函数 f(x)在(a,b)内只有一个可疑点时, 若在这一点处函数 f(x)有极大(小)值,则可以判定函数 f(x)在该 点处取得最大(小)值,这里(a,b)也可以是无穷区间.


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