数学:3.4《函数的基本性质》课件(1)(沪教版高一上册)_图文

函数单调性

回顾
1、函数的单调性的定义.

2、判断、证明函数的单调性方法.

3、用定义法证明函数单调性的步骤:
①取值; ②作差变形; ③定号; ④下结论 .

观察下列函数图象并指出对于任意x∈R,
f ( x) 与 f (1) 的大小关系。
y y

1

1

O

x

O

x

f ( x) ? ( x ? 1) ? 1
2

f ( x) ? ?( x ? 1) ? 4
2

任意x∈R,都有 f ( x) ? f (1)

任意x∈R,都有 f ( x) ? f (1)

函数最大值
一般地,设 y ? f ( x) 的定义域为A. 如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A, 都有

f ( x) ? f ( x0 ) ymax ? f ( x0 )

那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值,

记为

函数最小值
一般地,设 y ? f ( x) 的定义域为A. 如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A, 都有

f ( x) ? f ( x0 ) ymin ? f ( x0 )

那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最小值,

记为

讨论
设函数 y ? f ( x) 的定义域为[a,b], (1)若 y ? f ( x) 是增函数,则

ymax ? ymax ?

f (b) , ymin ? f (a) , ymin ?

f (a)

.

(2)若 y ? f ( x) 是减函数,则

f (b)

.

讨论
判断下列说法是否正确 (1)单调函数一定有最大值和最小值. (2)在定义域内不具有单调性的函数一

定没有最大值和最小值.

例2.求下列函数的最值.

(1) y ? x ? 2 x
2

1 (2) y ? , x ? [1,3] x

问题讨论
1、求下列函数的单调区间
(1) f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3

2x ? 3 (2) f ( x) ? x ?1

(3) f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |
(4) f ( x) ?| x 2 ? 2 x ? 3 |

? f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3

y

? ?( x ? 1) 2 ? 2 ,如图
? f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3
2

1 O x

在(? ?, 1 )上是单调增函数; 在( 1,??)上是单调减函数.
f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3

2x ? 3 1 (2) f ( x) ? ? 2? ,如图 x ?1 x ?1 2x ? 3 ? f ( x) ? 在(? ?, ?1 )和(? 1, ? ?) x ?1

上都是单调减函数.

y

2
-1 O x

1 f ( x) ? 2 ? x ?1

(3) f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |
1 ? ?1 ? 3 x, x ? ? 2 ? 1 ? ? ? x ? 3,? ? x ? 2 2 ? ?3x ? 1, x ? 2 ? ? ? f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1 | 1 在(? ?, ? )上为单调减函数, 2 1 在[? , ? ?)上为单调增函数。 2
y

3 O
? 1 2

2

x

(4) f ( x) ?| x 2 ? 2 x ? 3 |
? ? x ? 2 x ? 3, x ? ?1或x ? 3 ?? 2 ? ?? x ? 2 x ? 3,?1 ? x ? 3
2

y

?函数f ( x) ?| x 2 ? 2 x ? 3 | 在

(??,?1)和(1,3)上是单调减函数, (?1,1)和(3,??)上是单调增函数。

-1

O 1

3

x

2、若函数 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数,则 实数m的值为 -16 ; 变:若函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函数,则实数m的范围为 m≤-16
2
2 f ( x ) ? 4 x ? mx ? 5 ? m 的单调 变:若函数

f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 ? m在 [?2, ??)

;

递增区间为 [?2, ??) ,则实数m的值为 -16 .

3、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足f (1 ? a) ? f (2a ? 1),你知道 a 的取 值范围吗? 变:若定义在R上的函数 f ( x) 对任意的正数

d 都有 f ( x ? d ) ?

f ( x) ,求满足

f (1 ? a) ? f (2a ? 1) 的 a 的取值范围。
变:若定义域改为(-1,1)呢?

小结
1、函数的单调性的定义. 2、判断、证明函数的单调性方法.

3、函数的单调性的应用.

思考
若 f ( x)为定义在数集A上的增函数,



f ( x) ? 0 ,试判断下列函数的单调性:
(1) y ? 3 ? 2 f ( x)
1 (2) y ? 1 ? f ( x)

(3) y ? [ f ( x)]

2

(4) y ?

f ( x)


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