高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.3待定系数法课堂探究新人教B版必修120171026429-含答案

2.2.3 待定系数法 课堂探究 探究一用待定系数法求一次函数的解析式 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤: (1)设一次函数的解析式为 y=kx+b(k≠0); (2)根据题意列出关于 k 和 b 的方程组; (3)求出 k,b 的值,代入即可. 【典型例题 1】 已知一次函数的图象与 x 轴交点的横坐标为- =5,则这个一次函数的解析式为__________. 解析:设所求的一次函数为 y = kx + b(k≠0),由题意知一次函数图象上有两个点 3 ,并且当 x=1 时,y 2 ? 3 ? ? ? , 0 ? 和(1,5), ? 2 ? 3 ? ?k=2, ?0 ? ? k ? b, 则有 ? 解得 ? 2 ?b=3, ? ?5 ? k ? b, 所以 y=2x+3. 答案:y=2x+3 探究二 用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式常见情形如下表: 已知条件 不同的三个点的坐标 顶点坐标(h,k) 与 x 轴的两个交点(x1,0),(x2,0) 已知对称轴 x=h 形式 要确定 的系数 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) a,b,c a a a,k 【典型例题 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值为 8,试求二次函数的解析式. 解:方法 1:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 2 ? ?4a+2b+c=-1, ?a=-4, ? ? ? 则 ?a-b+c=- 1, 解得 ?b=4, ?c=7. ? 4ac ? b 2 ? ? =8, ? 4 a ? 1 所以 f(x)=-4x +4x+7. 方法 2:因为 f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为直线 x= 的最大值为 8. 所以可设 f(x)=a ? x ? 则 a?2 ? 2 2 ? ( ?1) 1 = ,又 f(x) 2 2 ? ? 1?2 ? +8(a≠0), 2? ? ? 1?2 ? +8=-1,所以 a=-4. 2? ? ? 1?2 2 ? +8=-4x +4x+7. 2? 2 故 f(x)=-4 ? x ? 方法 3:由 f(2)=f(-1)=-1,知 f(x)+1=0 的两根分别为 2 和-1,可设 f(x)+1 =a(x+1)(x-2)(a≠0),可得 f(x)=ax -ax-2a-1. 又 f(x)max= 4a(?2a ? 1) ? a 2 =8, 4a 2 解得 a=-4 或 a=0(舍去), 所以 f(x)=-4x +4x+7. 探究三 已知函数图象求函数解析式 1.由函数图象求函数的解析式,关键观察函数图象的形状,分析图象由哪几种函数的 图象组成,然后就在不同区间上,利用待定系数法求出相应的解析式. 2.分段函数的表达式要注意端点值. 【典型例题 3】 如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析 式. 思路分析:由图象可知: ①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成; ②当 x≤1 或 x≥3 时,函数解析式可设为 y=kx+b(k≠0); ③当 1≤x≤3 时,函数解析式可设为 y=a(x-2) +2(a<0)或 y=ax +bx+c(a<0). 解:设左侧的射线对应的函数解析式为 y=kx+b(k≠0,x≤1). 因为点(1,1),(0,2)在此射线上,故 ? 解得 k=-1,b=2, 2 2 2 1, ?k+b= ?b=2, 所以左侧射线对应的函数解析式为 y=-x+2(x≤1). 同理可求 x≥3 时,函数的解析式为 y=x-2(x≥3). 当 1≤x≤3 时,抛物线对应的函数为二次函数. 方法一:设函数解析式为 y=a(x-2) +2(1≤x≤3,a<0). 由点(1,1)在抛物线上,可知 a+2=1,所以 a=-1. 所以抛物线对应的函数解析式为 y=-x +4x-2(1≤x≤3). 方法二:设函数解析式为 y=ax +bx+c(a<0,1≤x≤3). 因为其图象过点(1,1),(2,2),(3,1), 2 2 2 ? a+b+c=1, ?a=-1, ? ? 所以有 ? 4a+2b+c=2, 解得 ?b=4, ?9a+3b+c=1, ?c=-2. ? ? 所以抛物线对应的解析式为 y=-x +4x-2(1≤x≤3). 2 ?-x+2, ? 2 综上,函数的解析式为 y= ?-x +4x-2, ? x-2, ? 探究四易错辨析 易错点 没有检验而导致失误 ? x ? 1, ? ?1 ? x ? 3, ? x ? 3. ? 【典型例题 4】 已知 f(x)是二次函数, 不等式 f(x)<0 的解集是{x|0<x<5}, 且 f(x) 在区间[-1,4]上的其中一个最值为 12,求 f(x)的解析式. 错解:根据 f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是{x|0<x<5},可设 f(x)=ax(x- 5)(a≠0). f(x)在[-1,4]上的其中一个最值为 12, 则有可能出现 f(-1)=12 或 f ? ? =12, 即 6a=12 或- ?5? ?2? 25 48 a=12,解得 a=2 或 a=- . 4 25 2 综上可知,f(x)=2x(x-5)=2x -10x 或 f(x)=- 48 48 2 48 x·(x-5)=- x+ x. 25 25 5 错因分析:没有对 a 的值进行检验,而出现错解现象. 正解:根据 f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是{x|0<x<5},可设 f(x)=ax(x- 5)(a≠0). f(x)在[-1,4]上的其中一个最值为 12, 则有可能出现 f(-1)=12 或 f ? ? =12, ?5? ?2? 3 即 6a=12 或- 25 48 a=12,解得 a=2 或 a=- . 4

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