2017_2018学年高中数学第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测课件苏教版选修2_2_图文

知 识 整 合 与 阶 段 检 测 核心要点 归纳 阶段质量 检测 一、合情推理和演绎推理 1.归纳和类比是常用的合情推理,都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后 提出猜想的推理.从推理形式上看,归纳是由部分到整体, 个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理,演绎推理 是由一般到特殊的推理. 2. 从推理所得结论来看, 合情推理的结论不一定正确, 有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前 提下,得到的结论一定正确.从二者在认识事物的过程中 所发挥作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成 的.合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的 内容一般是通过合情推理获得.合情推理可以为演绎推理 提供方向和思路. 二、直接证明和间接证明 1.直接证明包括综合法和分析法: (1)综合法是“由因导果”.它是从已知条件出发,顺 着推证,用综合法证明命题的逻辑关系是:A?B1?B2?… ?Bn?B(A 为已经证明过的命题,B 为要证的命题).它的 常见书面表达是“∵,∴”或“?”. (2)分析法是“执果索因”, 一步步寻求上一步成立的 充分条件.它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知 想需知, 由需知逐渐地靠近已知(已知条件, 包括学过的定 义、定理、公理、公式、法则等).用分析法证明命题的逻 辑关系是: B ? B1 ? B2 ? … ? Bn? A. 它的常见书面表达是“要 证……只需……”或“?”. 2.间接证明主要是反证法: 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推 理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题 成立,这样的证明方法叫做反证法,反证法是间接证明的一 种方法. 反证法主要适用于以下两种情形: (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨 论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形. 三、数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为归纳奠 基,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点, 这个基础必须真实可靠;它的第二步称为归纳递推,是 命题具有后继传递性的保证,两步合在一起为完全归纳 步骤,这两步缺一不可,第二步中证明“当n=k+1时 结论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是 错误的. 一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分, 把答案填在题中横线上) 1.(新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 解析:由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙的回答可得乙去过 A 城市. 答案:A 2.周长一定的平面图形中圆的面积最大,将这个结论类比到 空间,可以得到的结论是________. 解析:平面图形中的图类比空间几何体中的球,周长类 比表面积,面积类比体积. 故可以得到的结论是:表面积一定的空间几何体中,球 的体积最大. 答案:表面积一定的空间几何体中,球的体积最大 3.下列说法正确的是________.(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 结论一定是正确的 论”形式 ②演绎推理得到的 ③演绎推理的一般模式是“三段 ④演绎推理得到的结论的正误与大、 小前提和 推理形式有关 解析:如果演绎推理的大前提和小前提都正确,则结论一 定正确.大前提和小前提中,只要有一项不正确,则结论 一定也不正确.故②错误. 答案:①③④ 4.“因为AC,BD是菱形ABCD的对角线,所以AC,BD 互相垂直且平分.”以上推理的大前提是_______. 答案:菱形对角线互相垂直且平分 5.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的 面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱 长比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 Sh V1 3 1 1 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =?S ?· = × = . V2 1 ? 2 ? h2 4 2 8 Sh 3 2 2 答案:1∶8 6.(陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 5 6 三棱柱 6 6 五棱锥 6 8 立方体 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是____. 解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方 体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2. 答案:F+V-E=2 7.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出 正四面体的一个性质为________. 解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在 的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各 正三角形的中心,故可猜想:正四面体的内切球切于四个 侧面各正三角形的中心. 答案:正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8.已知 x,y∈R+,当 x2+y2=________时,有 x 1-y2+ y 1-x2=1. 解析:要使 x 1-y2+y 1-x2=1, 只需 x2(1-y2)=1+y2(1-x2)-2y 1-x2, 即 2y 1-x2=1-x2+y2. 只需使( 1-x2-y)2=0, 即 1-x2=y,∴x2+y2=1. 答案:1 9.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n 1=2n-1(n∈N*)的 - 过程如下: ①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立; ②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1+2+22+…+ 2k 1=2k-1; - k+1 1 - 2 - ③则当n=k+1时,1+2+22+…+2k 1+2k= = 2k

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