2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习:第1章 计数原理1.2.1 第2课时 Word版含解析

第一章 1.2 1.2.1 第 2 课时

A 级 基础巩固 一、选择题 1.5 个人排成一排,如果甲必须站在排头或排尾,而乙不能站在排头或排尾,那么不

同站法总数为 导学号 51124119 ( B )

A.18

B.36

C.48

D.60

[解析] 甲在排头或排尾站法有 A12种,再让乙在中间 3 个位置选一个,有 A13种站法, 其余 3 人有 A33种站法,故共有 A12·A13·A33=36 种站法.
2.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天.若 7

位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排

方案共有 导学号 51124120 ( C )

A.504 种

B.960 种

C.1008 种

D.1108 种

[解析] 甲、乙相邻的所有方案有 A22A66=1440 种;其中丙排在 10 月 1 日的和丁排在 10 月 7 日的一样多,各有:A22A55=240 种,其中丙排在 10 月 1 日且丁排在 10 月 7 日的有 A22A44

=48 种,故符合题设要求的不同安排方案有:1440-2×240+48=1008 种,故选 C.

3.(2016·郑州高二检测)从 6 个人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市

游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游

览,则不同的选择方案共有 导学号 51124121 ( B )

A.300 种

B.240 种

C.144 种

D.96 种

[解析] 先从除甲、乙外的 4 人中选取 1 人去巴黎,再从其余 5 人中选 3 人去伦敦、悉

尼、莫斯科,共有不同选择方案 A14·A35=240 种.

4.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法

共有 导学号 51124122 ( B )

A.192 种

B.216 种

C.240 种

D.288 种

[解析] 分两类:最左端排甲有 A55=120 种不同的排法,最左端排乙,由于甲不能排在 最右端,所以有 C14A44=96 种不同的排法,由分类加法原理可得满足条件的排法共有 120+

96=216 种. 5.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人
参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

导学号 51124123 ( A )

A.20 种

B.30 种

C.40 种

D.60 种

[解析] 分三类:甲在周一,共有 A42种排法; 甲在周二,共有 A23种排法; 甲在周三,共有 A22种排法; ∴A24+A23+A22=20.

6.由数字 0、1、2、3、4、5 可以组成能被 5 整除,且无重复数字的不同的五位数有

导学号 51124124 ( A )

A.(2A45-A34)个

B.(2A45-A35)个

C.2A45个

D.5A45个

[解析] 能被 5 整除,则个位须为 5 或 0,有 2A45个,但其中个位是 5 的含有 0 在首位

的排法有 A34个,故共有(2A45-A34)个.

二、填空题

7.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为

__24__. 导学号 51124125

[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作 5 个空位和 3 个人满足上述两要求的一个排列,只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即可.
∴有 A34=24 种不同坐法. 8.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一

人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是__96__. 导学号 51124126

[解析] 先分组后用分配法求解,5 张参观券分为 4 组,其中 2 个连号的有 4 种分法, 每一种分法中的排列方法有 A44种,因此共有不同的分法 4A44=4×24=96(种).
9.2016 年某地举行博物展,某单位将展出 5 件艺术作品,其中不同书法作品 2 件、不 同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作 品必须相邻,2 件绘画作品不能相邻,则该单位展出这 5 件作品不同的方案有__24__种.(用

数字作答) 导学号 51124127

[解析] 将 2 件书法作品排列,方法数为 2 种,然后将其作为 1 件作品与标志性建筑设 计作品共同排列有 2 种排法,对于其每一种排法,在其形成的 3 个空位中选 2 个插入 2 件绘

画作品,故共有不同展出方案:2×2×A23=24 种. 三、解答题

10.一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单. 导学号 51124128

(1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法? [解析] (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A52种排法,再将剩余的 3 个演唱节目,3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A66种排法,故共有不同排法 A25A66=14400 种. (2)先不考虑排列要求,有 A88种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从 5 个演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有 A45A44 种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88-A45A44)=37440 种.
B 级 素养提升 一、选择题 1.用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数,其中个位数字小于十位数字的六

位数共有 导学号 51124129 ( A )

A.300 个

B.464 个

C.600 个

D.720 个

[解析] 解法一:确定最高位有 A15种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的 5 个数字中取 3 个排列,共有 A35种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由 分步乘法计数原理知,共有 A15·A35=300(个).

解法二:由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有12

A15·A55=300(个). 2.某地为了迎接 2016 年城运会,某大楼安装了 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每

个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,

记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,

而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是

导学号 51124130 ( C )

A.1205 秒

B.1200 秒

C.1195 秒

D.1190 秒

[解析] 由题意每次闪烁共 5 秒,所有不同的闪烁为 A55个,相邻两个闪烁的时间间隔为 5 秒,因此需要的时间至少是 5A55+(A55-1)×5=1195 秒.

二、填空题

3 . 6 人 站 成 一 排 , 甲 、 乙 、 丙 3 个 人 不 能 都 站 在 一 起 的 排 法 种 数 为 __576__.

导学号 51124131

[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得 A66-A33A44=

576.

4.如图是一个正方体纸盒的展开图,若把 1,2,3,4,5,6 分别填入小正方形后,按虚线折

成正方体,则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是

1 15

.

导学号 51124132

[解析] 6 个数任意填入 6 个小正方形中有 6!=720 种方法;将 6 个数分三组(1,6),(2,5), (3,4),每组中的两个数填入一对面中,共有不同填法 A33×2×2×2=48 种,故所求概率 P= 74280=115.
三、解答题 5.用 0、1、2、3、4 五个数字:(1)可组成多少个五位数;(2)可组成多少个无重复数字 的五位数;(3)可组成多少个无重复数字的且是 3 的倍数的三位数;(4)可组成多少个无重复
数字的五位奇数. 导学号 51124133
[解析] (1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理知,共有 4×5×5×5×5 =2500(个).
(2)解法一:先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有 A41种填法,其余四个位置四个数字共有 A44种,
故共有 A14·A44=96(个). 解法二:先排 0,从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有 A14种方法,其余四 个数字全排有 A44种方法, 故共有 A14·A44=96(个). (3)构成 3 的倍数的三位数,各个位上数字之和是 3 的倍数,按取 0 和不取 0 分类: ①取 0,从 1 和 4 中取一个数,再取 2 进行排,先填百位 A12,其余任排有 A22,故有 2A21·A22 种. ②不取 0,则只能取 3,从 1 或 4 中再任取一个,再取 2 然后进行全排为 2A33,所以共 有 2A12A22+2A33=8+12=20(个). (4)考虑特殊位置个位和万位,先填个位,从 1、3 中选一个填入个位有 A21种填法,然后 从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位,有 A13种填法,包含 0 在内还有 3 个数在中间三位置

上全排列,排列数为 A33,故共有 A12·A13·A33=36(个). 6.4 个男同学,3 个女同学站成一排. 导学号 51124134 (1)3 个女同学必须相邻,有多少种不同的排法? (2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? (3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种? (4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法? (5)若 3 个女生身高互不相等,女同学从左到右按高矮顺序排,有多少种不同的排法? [解析] (1)3 个女同学是特殊元素,她们排在一起,共有 A33种排法;我们可视排好的女
同学为一整体,再与男同学排队,这时是 5 个元素的全排列,应有 A55种排法,由分步乘法 计数乘法原理,有 A33A55=720 种不同排法.
(2)先将男生排好,共有 A44种排法,再在这 4 个男生之间及两头的 5 个空档中插入 3 个 女生有 A35种方案,故符合条件的排法共有 A44A35=1440 种不同排法.
(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有 A33·A44=144 种. (4)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人,有 A44种排法;由于甲、乙要相邻,故再把甲、 乙排好,有 A22种排法;最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空档 中有 A25种排法.这样,总共有 A44A22A25=960 种不同排法. (5)从 7 个位置中选出 4 个位置把男生排好,则有 A47种排法.然后再在余下的 3 个空位 置中排女生,由于女生要按身体高矮排列,故仅有一种排法.这样总共有 A47=840 种不同 排法.
C 级 能力拔高 如图所示,有一个正方体的铁丝架,把它的侧棱中点 I,J,K,L 也用铁丝依次连上, 现有一只蚂蚁想沿着铁丝从 A 点爬到 G 点,则最近的路线一共有几条?并用字母把这些路 线表示出来. 导学号 51124135
[解析] ①从 A 到 F,有 A→B→J→F,A→I→J→F,A→I→E→F,三条路线.②从 A 到 H,有 A→D→L→H,A→I→L→H,A→I→E→H,三条路线.③从 A 到 K,有 A→B→C→K, A→B→J→K,A→I→J→K,A→D→C→K,A→D→L→K,A→I→L→K,六条路线.共有 3 +3+6=12 条最短路线.逆向追踪树形图可表示这些路线,如图所示.


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