高一数学-高一数学第二章(第29课时)函数复习小结(2) 精品

课 题:函数复习小结(二) 教学目的: 1.熟悉并掌握函数的对称语言. 2.进一步熟悉二次函数性质及其应用. 3.把握数形结合的特征和方法. 4.能够应用函数思想解题. 5.了解与函数有关的数学模型. 教学重点:数形结合的特征与方法 教学难点:函数思想的应用 授课类型:复习课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、引入: 通过上一节学习,大家了解了本章内容的整体结构,明确了本章的重难点 知识,并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法,这一节,我们将通过例题分 析重点掌握数形结合的特征与方法,并进一步认清函数的思想实质,进而掌握 其应用. 二、例题分析: 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 1 若函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 x 都有 f(2+x)=f(2-x),那么( 2 ) A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 分析:此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解:由 f(2+x)=f(2-x)可知:函数 f(x)的对称轴为 x=2,由二次函数 f(x)开 口方向向,可得 f(2)最小,又 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) 在 x<2 时,y=f(x)为减函数 ∵0<1<2,∴f(0)>f(1)>f(2) 即 f(2)<f(1)<f(4) 答案:A 通过此题可将对称语言推广如下: (1)若对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,则 x=a 是函数 f(x)的对称轴 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 (2)若对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(b-x)成立,则 x= 轴. a?b 是 f(x)的对称 2 例 2 求 f(x)=x -2ax+2 在[2,4]上的最大值和最小值. 解:先求最小值. 2 因为 f(x)的对称轴是 x=a,可分以下三种情况: (1)当 a<2 时,f(x)在[2,4]上为增函数,所以 f(x)min=f(2)=6-4a; (2)当 2≤a<4 时,f(a)为最小值,f(x)min=2-a ; (3)当 a>4 时,f(x)在[2,4]上为减函数,所以 f(x)min=f(4)=18-8a 2 ?6 ? 4a, ? 2 综上所述:f(x)min= ?2 ? a , ?18 ? 8a, ? (a ? 2) (2 ? a ? 4) (a ? 2) 王新敞 奎屯 新疆 最大值为 f(2)与 f(4)中较大者:f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a (1)当 a≥3 时,f(2)≥f(4),则 f(x)max=f(2)=6-4a; (2)当 a<3 时,f(2)<f(4),则 f(x)max=f(4)=18-8a. 3 9 2 2 8 -10 -5 0 2 4a 5 -2 -4 -6 10 15 20 25 7 1 6 -4 -2 5 -1 0 -2 2 2 a 4 4 6 8 -8 -10 4 -12 3 -14 -3 2 -16 -18 -4 1 -20 -6 -4 -2 0 a -1 2 2 4 4 -5 6 8 -22 故 f(x)max= ? ?6 ? 4a, ?8 ? 8a, (a ? 3) (a ? 3) 评述:本题属于二次函数在给定区间上的最值问题,由于二次函数的系数含有 参数,对称轴是变动的,属于“轴动区间定” ,由于图象开口向上,所以求最小 值要根据对称轴 x=a 与区间[2,4]的位置关系,分三种情况讨论;最大值在 端点取得时,只须比较 f(2)与 f(4)的大小,按两种情况讨论即可,实质上是讨 论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. 例 3 已知 f(x)=|lgx|,且 0<a<b<c,若? f(b)<f(a)<f(c),则下列一定 成立的是( ) A.a<1,b<1,且 c>1 B.0<a<1,b>1 且 c>1 C.b>1,c>1 D. c>1 且 1 1 <a<1,a<b< c a 1.2 分析:画出 y=|lgx|的图象如图:f(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞) 上为增函数. 观察图象,因为 f(a)<f(b)<f(c),所以 c>1 1 0.8 且 1 1 <a<1,a<b< .答案:D c a 评述:通过此题体会数形结合思想,体会函数 0.6 0.4 0.2 -0.2 0 1 c 0.5 -0.4 a 1 1 b 1.5 1 a 2 c 2.5 -0.6 图象在函数单调性问题中的应用. 例 4 函数 f(x)=x -bx+c, 满足对于任何 x∈R 都有 f(1+x)=f(1-x), 且 f(0)=3, 则 f(b )与 f(c )的大小关系是( A.f(b )≤f(c ) C.f(b )<f(c ) x x x x x x 2 ) B.f(b )≥f(c ) D.f(b )>f(c ) x x x x 分析:由对称语言 f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴,从而确定 b 值,再 由 f(0)=3,可确定 c 值,然后结合 b ,c 的大小关系及二次函数的单调区间使 问题得以解决. 解:∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴 x=∴b=2,又 f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)=x -2x+3 2 王新敞 奎屯 新疆 x x ?b =1 2 (1)当 x>0 时,1<2 <3 ,且 f(x)在[1,+∞ ) 上是增函数 所以 f(2 )<f(3 ),即 f(b )<f(c ) x x x x x x x x 王新敞 奎屯 新疆 (2)当 x<0 时

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