浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二学案新人教A版必修2

1.2.1 学习目标 任意角的三角函数(二) 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函 数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 知识点一 三角函数的定义域 π 思考 正切函数 y=tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ + ,k∈Z? 2 π 答案 当 x=kπ + ,k∈Z 时,角 x 的终边在 y 轴上,此时任取终边上一点 P(0,yP),因 2 为 无意义,因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y=tan x,必须要求 x∈R 且 x≠kπ 0 π + ,k∈Z. 2 梳理 正弦函数 y=sin x 的定义域是 R;余弦函数 y=cos x 的定义域是 R;正切函数 y=tan yP ? x 的定义域是?x?x∈R且x≠kπ + ,k∈Z ? ? ? ? ? π 2 ? ? ?. ? ? 知识点二 三角函数线 思考 1 在平面直角坐标系中,任意角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM⊥x 轴,过 点 A(1,0)作单位圆的切线,交 α 的终边或其反向延长线于点 T,如图所示,结合三角函数的 定义,你能得到 sin α ,cos α ,tan α 与 MP,OM,AT 的关系吗? 答案 sin α =MP,cos α =OM,tan α =AT. 思考 2 三角函数线的方向是如何规定的? 答案 方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值,反之,为负值. 思考 3 三角函数线的长度和方向各表示什么? 答案 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负. 1 梳理 图示 正弦线 余弦线 正切线 角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向线 段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过点 A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,有向线段 AT 即为正切线 1.正弦线 MP 也可写成 PM.( × ) 提示 三角函数线是有向线段,端点字母不可颠倒. 2.三角函数线都只能取非负值.( × ) 提示 三角函数线表示的值也可取负值. 3.当角 α 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.( √ ) 4.当角 α 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.( √ ) 类型一 三角函数线 5π 例 1 作出- 的正弦线、余弦线和正切线. 8 考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法 解 如图所示, 2 ? 5π ? sin?- ?=MP, ? 8 ? ? 5π ? cos?- ?=OM, ? 8 ? ? 5π ? tan?- ?=AT. ? 8 ? 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时, 应从点 A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T, 即 可得到正切线 AT. 1 跟踪训练 1 在单位圆中画出满足 sin α = 的角 α 的终边,并求角 α 的取值集合. 2 考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法 1 ? 1? 解 已知角 α 的正弦值, 可知 P 点纵坐标为 .所以在 y 轴上取点?0, ?,过这点作 x 轴的平 2 ? 2? 行线,交单位圆于 P1 , P2 两点,则 OP1 , OP2 是角 α 的终边,因而角 α 的取值集合为 ? ? ?α ? ? ?α =2kπ +π 或α =2kπ +5π ,k∈Z ? 6 6 ? ? ? ?. ? ? 类型二 利用三角函数线比较大小 2π 4π 2π 4π 2π 4π 例 2 利用三角函数线比较 sin 和 sin ,cos 和 cos ,tan 和 tan 的大小. 3 5 3 5 3 5 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线比较大小 2π 2π 2π 4π 4π 4π 解 如图,sin =MP,cos =OM,tan =AT,sin =M′P′,cos =OM′,tan 3 3 3 5 5 5 =AT′. 3 显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, 2π 4π ∴sin >sin ; 3 5 |OM|<|OM′|,符号皆负, 2π 4π ∴cos >cos ; 3 5 |AT|>|AT′|,符号皆负, 2π 4π ∴tan <tan . 3 5 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时, 一般分三步: (1)角的位置要“对号 入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练 2 比较 sin 1 155°与 sin(-1 654°)的大小. 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线比较大小 解 sin 1 155°=sin(3×360°+75°)=sin 75°, sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin 146°. 如图,在单位圆中,分别作出 sin 75°和 sin 146°的正弦线 M1P1,M2P2. ∵|M1P1|>|M2P2|,且符号皆正, ∴sin 1 155°>sin(-1 654°). 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度 1 利用三角函数线解不等式?组? 例 3 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合. (1)sin α ≥ 3 ; 2 1 (2)cos α ≤- . 2 4 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线解不等式 解 (1)作直线 y= 3 交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(如图(1) 2 所示的阴影部分,包括边界),即为角 α 的终边的范围. ? ? ? π 2π 故满足要求的角 α 的集合为?α ?2

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