803482com:高一数学人教A版必修4课件:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 2.4 读教材·填要点 课前预习·巧设计 第 二 章 平 面 向 量 平 面 向 量 的 数 量 积 2.4.2 平面向 量数量 积的坐 标表示 、模、 夹角 小问题·大思维 考点一 名师课堂·一点通 考点二 考点三 解题高手 NO.1课堂强化 创新演练·大冲关 NO.2课下检测 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [读教材·填要点] 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积 的 数量积 和,即a· b= x1x2+y1y2 两个向 量垂直 a⊥b? x1x2+y1y2=0 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 2.三个重要公式 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [小问题·大思维] 1.已知向量a=(x,y),与向量a共线的单位向量a0的坐 标是什么? a 1 提示:∵a0=± =± 2 2(x,y), |a| x +y x y ∴a0=(- 2 2,- 2 2) x +y x +y x y 或 a0=( 2 2, 2 2). x +y x +y 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 2.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a在向量b方向 上的投影怎样用a,b的坐标表示? 提示: 向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ(θ 为向 a· b 量 a 与 b 的夹角),而 cos θ= , |a||b| a· b x1x2+y1y2 ∴|a|cos θ= = 2 2 . |b| x2+y2 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [研一题] [例1] 已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求: (1)2a· (b-a); (2)(a+2b)· c. [自主解答] 法一:(1)∵2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), ∴2a· (b-a)=(2,6)· (1,2) =2×1+6×2=14. 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 (2)∵a+2b=(1,3)+2(2,5) =(1,3)+(4,10)=(5,13), ∴(a+2b)· c=(5,13)· (2,1) =5×2+13×1=23. 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 法二:(1)2a· (b-a) =2a· b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9) =14. (2)(a+2b)· c =a· c+2b· c =1×2+3×1+2(2×2+5×1) =23. 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 本例条件中“c=(2,1)”若变为“c=(2,k)”,且“(a- c)⊥b”,求k. 解:∵a=(1,3),c=(2,k), ∴a-c=(-1,3-k), 又(a-c)⊥b,∴-1×2+(3-k)×5=0, 13 ∴k= . 5 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [悟一法] 1.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应 注意与函数、方程等知识的联系. 2.向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另 一种是坐标式,两者相互补充. 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [通一类] 1.若向量a=(4,-3),|b|=1,且a· b=5,求向量b. 解:法一:设 b=(x,y),则由|b|=1 可得 x2+y2=1. 由 a· b=5,a=(4,-3),可得 4x-3y=5. 4 3 4 3 联立①②,解得 x= ,y=- ,故 b=( ,- ). 5 5 5 5 法二:由于 a=(4,-3),∴|a|=5,设 a 与 b 的夹角为 θ, a· b 则 cos θ= =1,∴θ=0° ,从而 a,b 同向且共线, |a||b| a 1 4 3 又|b|=1,∴b= = (4,-3)=( ,- ). |a| 5 5 5 返回 ① ② 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [研一题] [例 2] 平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点(如图).已知点 A(16,12)、B(-5,15). (1)求| OA |,| AB |; (2)求∠OAB. [自主解答] (1)由 OA =(16,12), AB =(-5-16,15-12)=(-21,3),得 | OA |= 162+122=20, | AB |= ?-21?2+32=15 2. 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 AO · AB (2)cos∠OAB=cos〈 AO , AB 〉= . | AO || AB | 其中 AO · AB =- OA · AB =-(16,12)· (-21,3) =-[16× (-21)+12× 3]=300. 300 2 故 cos∠OAB= = . 20×15 2 2 ∴∠OAB=45° . 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [悟一法] 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为: (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= x2+y2求两向量的模. (3)代入夹角公式求 cos θ,并根据 θ 的范围确定 θ 的值. 返回 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、 正切公式 [通一类] 2.已知 a,b 为平面向量,

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