【解析版】江苏省扬州中学2014届高三上学期开学检测数学试题

2013-2014学年江苏省扬州中学高三(上)开学数 学试卷
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分) 1.(5分)在复平面内,复数 (其中i为虚数单位)对应的点位于第 一 象限. 考 复数的代数表示法及其几何意义. 点: 专 计算题. 题: 分 由复数的除法运算把复数化简为a+bi(a,b∈R)的形式,求出对 析: 应的点,则答案可求. 解 解:由 答: = . 所以复数 (其中i为虚数单位)对应的点为 . 位于第一象限. 故答案为一. 点 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的几何意义, 评: 是基础题. 2.(5分)已知集合M={a,0},N={x|2x2﹣3x<0,x∈Z},如果 M∩N≠?,则a= 1 . 考 一元二次不等式的解法. 点:

专 计算题;不等式的解法及应用. 题: 分 求解二次不等式化简集合N,然后由交集的运算可得a的值. 析: 解 解:由N={x|2x2﹣3x<0,x∈Z}={x|0<x< 答: ,x∈Z}={1}, 又M={a,0}且M∩N≠?,所以a=1. 故答案为1. 点 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了交集及其运算,是基 评: 础题. 3.(5分)已知 , ,则 = ﹣  . 考 两角和与差的正切函数. 点: 分 所求式子利用诱导公式化简,将sinα算出并求出tanα带入可求出 析: 值. 解 ∵ 答: ∴sinα= =﹣

即tanα= ∴tan( )=

=﹣ 故答案为:﹣ 点 考查了两角和公式的应用,属于基础题. 评:   4.(5分)设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn.若 a1=1,a3=4,Sk=63,则k= 6 . 考 等比数列的前n项和;等比数列的通项公式. 点: 专 计算题;等差数列与等比数列. 题: 分 先由已知的项可求等比数列的公比,然后代入等比数列的求和公 析: 式即可求解k 解 解:由等比数列的通项公式可得, 答: =4 又∵an>0 ∴q>0 ∴q=2

∵Sk=63, ∴

∴2k=64 ∴k=6 故答案为:6 点 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属 评: 于基础试题   5.(5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下 列正确命题的序号是 ① . ①若m∥n,m⊥β,则 n⊥β; ②若m∥n,m∥β,则n∥β; ③若m∥α,m∥β,则α∥β; ④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β. 考 命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 对每一选择支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证 析: 明一下即可. 解 解:对于①,根据线面垂直的判定定理,如果两平行直线中的一 答: 条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.可知该命题 正确; 对于②,根据线面平行的判定定理可知少条件:“n不在平面β内”, 故不正确; 对于③,若m∥α,m∥β,则α∥β或α与β相交.可知该命题不正 确; 对于④,根据面面平行的判定定理可知“α∥β”,故不正确. 故答案为:①. 点 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与 评: 平面之间的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力,属于

基础题.   6.(5分)(2013?南通二模)根据如图所示的伪代码,最后输出的S的 值为 145 .

考 伪代码. 点: 专 图表型. 题: 分 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序, 析: 可知:该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+… +28时,S的值. 解 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 答: 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值. ∵S=1+4+7+10+13+…+28=145, 故输出的S值为145. 故答案为:145. 点 本题考查的知识点是伪代码,其中根据已知分析出循环的循环变 评: 量的初值,终值及步长,是解答的关键.   7.(5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 的最大值为 1 . 考 平面向量数量积的运算. 点: 专 平面向量及应用. 题:

分 建系,由向量数量积的坐标运算公式,可得得 析: =x,结合点E在线段AB上运动,可得到x的最大值为1,即为所求 的最大值. 解 解:以AB、AD所在直线为x轴、y轴,建立坐标系如图 答:

可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1) 设E(x,0),其中0≤x≤1 ∵ =(x,﹣1), =(1,0), ∴ =x?1+(﹣1)?0=x, ∵点E是AB边上的动点,即0≤x≤1, ∴x的最大值为1,即 的最大值为1 故答案为:1 点 本题考查向量数量积的最大值,建立坐标系是解决问题的关键, 评: 属中档题.   8.(5分)已知Ω={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0},A={(x,y)|x< 4,y>0,x﹣2y>0},若向区域Ω上随机投掷一点P,则点P落入区域A 的概率为 

 . 考 几何概型. 点: 专 计算题. 题: 分 根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理,分别作出集合Ω和 析: 集合A对应的平面区域,得到它们都直角三角形,计算出这两个直 角三角形的面积后,再利用几何概型的概率公式进行计算即可. 解 解:区域Ω={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0}, 答: 表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分, 如图的红色三角形的内部, 它的面积S= ; 再观察集合A={(x,y)|x<4,y>0,x﹣2y>0}, 表示的图形在直线x﹣2y=0下方,直线x=4的左边 并且在x轴的上方,如图的黄色小三角形内部 可以计算出它的面积为S1= =4 根据几何概率的公式,得向区域Ω上随机投一点P,P落入区域A的 概率为P= 故答案为:

点 本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模 评: 型,准确画作相应的平面区域,熟练地运用面积比求相应的概 率,是解决本题的关键,属于中档题.   9.(5分)函数 的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移 单位后,得到的图象解析式为 y=sin(2x﹣ ) .

考 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 点: 专 计算题;三角函数的图像与性质. 题: 分 由图知,A=1,

析: T= π,可求ω,再由 ω+φ= 可求得φ,从而可得y=f(x)的解析式,利用y=Asin(ωx+φ)的图 象变换及可求得答案. 解 解:由图知,A=1, 答: T= π, ∴T=π,ω= =2,又 ×2+φ= +2kπ(k∈Z), ∴φ=2kπ+ (k∈Z),又|φ|< , ∴φ= ; ∴y=f(x)的解析式为y=sin(2x+

), ∴将y=f(x)的图象向右平移 单位后得y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ ). 故答案为:y=sin(2x﹣ ). 点 本题考查y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定函数解析式,考查函数 评: y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查识图与运算能力,属于中档 题.   10.(5分)已知0<y<x<π,且tanxtany=2, ,则x﹣y=   . 考 两角和与差的余弦函数. 点: 专 计算题;三角函数的求值. 题: 分 由题意可得cosxcosy= 析: ,进而可得cos(x﹣y)=cosxcosy+sinxsiny=

,由余弦函数可知x﹣y的值. 解 解:由题意可得tanxtany= 答: =2, 解得cosxcosy= ,故cos(x﹣y)=cosxcosy+sinxsiny= 故x﹣y=2kπ± ,k∈Z, 又0<y<x<π,所以﹣π<x﹣y<π. 所以x﹣y= 故答案为: 点 本题考查同角三角函数的基本关系,以及两角和与差的余弦函 评: 数,属基础题.   11.(5分)(2013?黑龙江二模)求“方程( )x+( )x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=( )x+(

)x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解 x=2.类比上述解题思路,方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集为  {﹣1,2} . 考 类比推理. 点: 专 规律型. 题: 分 类比求“方程( 析: )x+( )x=1的解的解题思路,设f(x)=x3+x,利用导数研究f(x)在R 上单调递增,从而根据原方程可得x2=x+2,解之即得方程 x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集. 解 解:类比上述解题思路,设f(x)=x3+x,由于f′(x)=3x2+1≥0, 答: 则f(x)在R上单调递增, 由x6+x2=(x+2)3+(x+2)即(x2)3+x2=(x+2)3+(x+2), ∴x2=x+2, 解之得,x=﹣1或x=2. 所以方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集为{﹣1,2}. 故答案为:{﹣1,2}. 点 本题主要考查了类比推理,考查了导数与单调性的关系,函数单 评: 调性的应用,属于中档题.   12.(5分)(2011?扬州三模)已知实数p>0,直线3x﹣4y+2p=0与抛 物线x2=2py和圆

从左到右的交点依次为A、B、C、D,则 的值为   . 考 直线与圆锥曲线的综合问题. 点: 专 综合题. 题: 分 设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,由题 析: 得|BF|=|CF|= .由抛物线的定义得:|AB|=|AF|﹣|BF|=y1,同理|CD|=y2所以 =

.联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出 进而得到答案. 解 解:设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F, 答: 由题意得|BF|=|CF|= 由抛物线的定义得:|AB|=|AF|﹣|BF|= +y1﹣ =y1,同理得|CD|=y2所以

= . 联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得:8y2﹣ 17py+2p2=0 解得: 所以

. 故答案为: . 点 解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉,即抛物线上的点 评: 到定点的距离与到定直线的距离相等.   13.(5分)(2013?崇明县二模)设函数

,函数y=f[f(x)]﹣1的零点个数为 2 . 考 函数的零点;根的存在性及根的个数判断. 点: 分 根据函数 析: ,根据指数函数和对数函数的性质,我们可以分类讨论,化简函 数函数y=f[f(x)]﹣1的解析式,进而构造方程求出函数的零点, 得到答案.

解 解:∵函数 答: , 当x≤0时 y=f[f(x)]﹣1=f(2x)﹣1= ﹣1=x﹣1 令y=f[f(x)]﹣1=0,x=1(舍去) 当0<x≤1时 y=f[f(x)]﹣1=f(log2x)﹣1= ﹣1=x﹣1 令y=f[f(x)]﹣1=0,x=1 当x>1时 y=f[f(x)]﹣1=f(log2x)﹣1=log2(log2x)﹣1 令y=f[f(x)]﹣1=0,log2(log2x)=1 则log2x=2,x=4 故函数y=f[f(x)]﹣1的零点个数为2个 故答案为:2 点 本题考查的知识点是函数的零点,根的存在性及根的个数判断, 评: 其中根据指数函数和对数函数的图象和性质,化简函数的解析式 是解答的关键.   14.(5分)(2013?南通二模)设实数x1,x2,x3,x4,x5均不小于 1,且x1?x2?x3?x4?x5=729,则max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}的最小 值是 9 . 考 进行简单的合情推理;函数的值. 点: 专 新定义. 题: 分 先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2

析: ,即取定一个x5后,x1x2,x3x4不会都小于 ,及x2x3+x4x5≥2

+ ≥2 ,再研究使三个不等式等号都成立的条件,即可得出max{x1x2, x2x3,x3x4,x4x5}的最小值. 解 解:∵x1x2+x3x4≥2 答: ,即取定一个x5后,x1x2,x3x4不会都小于 , 同样x2x3+x4x5≥2 , + ≥2

, 使三个不等式等号都成立,则 x1x2=x3x4= , x2x3=x4x5= , x1=x5即x1=x3=x5,x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以 729=x13×x22=

,(x1x2)3=729×x2 x2最小为1, 所以x1x2最小值为9, 此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1. 故答案为:9. 点 本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用,属于 评: 中档题.   二.解答题 15.(14分)(2013?朝阳区二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且f(A)=

. (Ⅰ)求函数f(A)的最大值; (Ⅱ)若

,求b的值. 考 正弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的正弦函数;二倍角的 点: 正弦;二倍角的余弦. 专 解三角形. 题: 分 (Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数f(A)为 析: ,根据0<A<π,利用正弦函数的定义域和值域求得f(A)取得最 大值. (Ⅱ)由题意知 ,由此求得A的值,再根据C的值,求得B的值,利用正弦定理求 出b的值. 解 解:(Ⅰ) 答: = . 因为0<A<π,所以 . 则所以当 ,即 时,f(A)取得最大值,且最大值为 .…(7分) (Ⅱ)由题意知

,所以 . 又知 ,所以 ,则 . 因为 ,所以 ,则 . 由 得,



…(13分)

点 本题主要考查三角恒等变换,正弦定理、正弦函数的定义域和值 评: 域,属于中档题.   16.(14分)(2013?黑龙江二模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱 PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形,E为PD上一点,AD=2AB=2AP=2, PE=2DE. (I)若F为PE的中点,求证BF∥平面ACE;

(Ⅱ)求三棱锥P﹣ACE的体积.

考 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 (I)由题意可得E、F都是线段PD的三等分点.设AC与BD的交点 析: 为O,则OE是△BDF的中位线,故有BF∥OE,再根据直线和平面 平行的判定定理证得 BF∥平面ACE. (II)由条件证明CD⊥平面PAE,再根据三棱锥P﹣ACE的体积VP ﹣ACE=VC﹣PAE= S△PAE?CD= ( ? ?PA?PD)?AB= ?PA?PD?AB,运算求得结果. 解 解:(I)若F为PE的中点,由于底面ABCD为矩形,E为PD上一 答: 点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE,故E、F都是线段PD的三等分 点. 设AC与BD的交点为O,则OE是△BDF的中位线,故有BF∥OE, 而OE在平面ACE内,BF不在平面ACE内,故BF∥平面ACE. (II)由于侧棱PA丄底面ABCD,且ABCD为矩形,故有 CD⊥PA,CD⊥AD,故CD⊥平面PAE,.

三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE= S△PAE?CD= ?( ?S△PAD)?AB= ( ? ?PA?PD)?AB= ?PA?PD?AB= ?1?2?1= . 点 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,用等体积法求 评: 棱锥的体积,属于中档题.   17.(15分)某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有 商品按标价的八折出售,折后价格每满500元再减100元.如某商品标价 为1500元,则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000(元). 设购买某商品得到的实际折扣率= .设某商品标价为x元,购买该商品得到的实际折扣率为y. (1)写出当x∈(0,1000]时,y关于x的函数解析式,并求出购买标价 为1000元商品得到的实际折扣率;

(2)对于标价在[2500,3500]的商品,顾客购买标价为多少元的商品, 可得到的实际折扣率低于 ? 考 根据实际问题选择函数类型;函数解析式的求解及常用方法. 点: 专 函数的性质及应用. 题: 分 (1)由已知中的折扣办法,分x∈(0,625)和x∈[625,1000]两 析: 种情况,分别求出函数的解析式,将1000代入计算实际付款额可 得实际折扣率. (2)根据(1)中解析式,结合实际折扣率低于 ,构造关于x的不等式,结合标价在[2500,3500],可得答案. 解 解:(1)∵500÷0.8=625 答: ∴

…(4分) 当x=1000时,y= =0.7   …(5分) 即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7.   …(6 分) (Ⅱ)当x∈[2500,3500]时,0.8x∈[2000,2800]…(7分) ①当0.8x∈[2000,2500)即x∈[2500,3125)时, 解得x<3000 ∴2500≤x<3000; …(10分) ②当0.8x∈[2500,2800]即x∈[3125,3500]时,

解得x<3750 ∴3125≤x≤3500; …(13分) 综上,2500≤x<3000或3125≤x≤3500 即顾客购买标价在[2500,3000)∪[3125,3500]间的商品,可得 到的实际折扣率低于 .…(14分) 点 本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型,其中根据已知 评: 求出函数的解析式是解答的关键.   18.(15分)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C: =1的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆C上且异于点A、B,直线 AP、BP与直线l:y=﹣2分别交于点M、N; (I)设直线AP、BP的斜率分别为k1,k2求证:k1?k2为定值; (Ⅱ)求线段MN长的最小值; (Ⅲ)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结 论.

考 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (Ⅰ)由椭圆方程求出两个顶点A,B的坐标,设出P点坐标,写 析: 出直线AP、BP的斜率k1,k2,结合P的坐标适合椭圆方程可证结 论; (Ⅱ)分别求出M和N点的坐标,由(Ⅰ)中的结论得到两直线斜 率间的关系,把|MN|用含有一个字母的代数式表示,然后利用基

本不等式求最值; (Ⅲ)设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标,由 列式得到圆的方程,化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定 点的坐标. 解 (Ⅰ)证明:由题设椭圆C: 答: =1可知,点A(0,1),B(0,﹣1). 令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0. ∴直线AP的斜率 ,PB的斜率为 . 又点P在椭圆上,所以 ,从而有

= ; (Ⅱ)解:由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1(x﹣0), 直线PB的方程为y﹣(﹣1)=k2(x﹣0). 由

,解得

; 由

,解得

. ∴直线AP与直线l的交点N( ),直线PB与直线l的交点M( ). ∴|MN|=| |,又 . ∴|MN|=| |= . 等号成立的条件是 ,即 . 故线段MN长的最小值为

. (Ⅲ)解:以MN为直径的圆恒过定点 或 . 事实上,设点Q(x,y)是以MN为直径圆上的任意一点,则 , 故有 . 又 .所以以MN为直径圆的方程为 . 令 ,解得 或 . 所以以MN为直径的圆恒过定点 或 . 点 本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了 评: 代入法,考查了利用基本不等式求最值,考查了圆系方程,考查 了学生的计算能力,是有一定难度题目.

  19.(16分)(2011?江苏)已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax, g(x)=x2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数,若 f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调 性一致 (1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[﹣1,+∞)上单调性一 致,求实数b的取值范围; (2)设a<0,且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间 上单调性一致,求|a﹣b|的最大值. 考 利用导数研究函数的单调性. 点: 专 计算题. 题: 分 (1)先求出函数f(x)和g(x)的导函数,再利用函数f(x)和 析: g(x)在区间[﹣1,+∞)上单调性一致即f'(x)g'(x)≥0在[﹣ 1,+∞)上恒成立,以及3x2+a>0,来求实数b的取值范围; (2)先求出f'(x)=0的根以及g'(x)=0的根,再分别求出两个函 数的单调区间,综合在一起看何时函数f(x)和g(x)在以a,b为 端点的开区间上单调性一致,进而求得|a﹣b|的最大值. 解 解:f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b. 答: (1)由题得f'(x)g'(x)≥0在[﹣1,+∞)上恒成立.因为a>0, 故3x2+a>0, 进而2x+b≥0,即b≥﹣2x在[﹣1,+∞)上恒成立,所以b≥2. 故实数b的取值范围是[2,+∞) (2)令f'(x)=0,得x= . 若b>0,由a<0得0∈(a,b).又因为f'(0)g'(0)=ab<0, 所以函数f(x)和g(x)在(a,b)上不是单调性一致的. 因此b≤0. 现设b≤0,当x∈(﹣∞,0)时,g'(x)<0; 当x∈(﹣∝,﹣

)时,f'(x)>0. 因此,当x∈(﹣∝,﹣ )时,f'(x)g'(x)<0.故由题设得a≥﹣ 且b≥﹣ , 从而﹣ ≤a<0,于是﹣ <b<0,因此|a﹣b|≤ ,且当a=﹣ ,b=0时等号成立, 又当a=﹣ ,b=0时,f'(x)g'(x)=6x(x2﹣ ),从而当x∈(﹣ ,0)时f'(x)g'(x)>0. 故函数f(x)和g(x)在(﹣ ,0)上单调性一致,因此|a﹣b|的最大值为

. 点 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当 评: 导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递 减.   20.(16分)已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足 anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*). (Ⅰ)当数列{an}是常数列(各项都相等的数列),且b1= 时,求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列,求证:数列{an}有无 穷多个,而数列{bn}惟一确定; (Ⅲ)设an+1=

,Sn= ,求证:2< <6. 考 数列与不等式的综合;数列递推式. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 (I)设an=a>0,利用数列{an}、{bn}满足 析: anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*),可得bn+1+bn=2n, (n∈N*),于是当n≥2时,bn+bn﹣1=2(n﹣1).于是bn+1﹣bn

﹣1=2.可知:数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为
公差的等差数列,利用等差数列的通项公式即可得出; (II)设{an}、{bn}公差分别为d1、d2,可得其通项公式,代入 anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).可得[a1+(n﹣1)d1] [b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n﹣1)d2]=2n(a1+nd1),对于任意 n恒成立,可得

,解出即可; (III)利用

,可得an+1﹣an=

﹣an=

,于是an<an+1.利用anbn+1+an+1bn=2nan+1< an+1bn+1+an+1bn,可得2n<bn+1+bn.又anbn+1=(2n﹣bn) ?an+1>0,an+1>0,可得2n﹣bn>0.可得 ,进而得出. 解 (I)解:设an=a>0,∵数列{an}、{bn}满足 答: anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*), ∴bn+1+bn=2n,(n∈N*),于是当n≥2时,bn+bn﹣1=2(n﹣ 1). ∴bn+1﹣bn﹣1=2. ∴可知:数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差 的等差数列,

又 ,b1+b2=2,可得 . ∴ = , = , 即 (n∈N*). (2)证明:设{an}、{bn}公差分别为d1、d2, 则an=a1+(n﹣1)d,bn=b1+(n﹣1)d2, 代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*). 可得[a1+(n﹣1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n﹣1) d2]=2n(a1+nd1),对于任意n恒成立, 可得

,解得

, 可得an=na1,bn=n. ∴只有取a1>0可得数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定; (3)证明:∵

, ∴an+1﹣an=

﹣an=

, ∴an<an+1. ∴anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn,可得2n< bn+1+bn. 因此 =(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n﹣1+b2n)>2[1+3+…+(2n﹣ 1)]=2n2. 又anbn+1=(2n﹣bn)?an+1>0,an+1>0, ∴2n﹣bn>0. ∴

=2n(1+2n)=4n2+2n, ∴ , ∴

. 点 熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、 评: 放缩法等是解题的关键.   21.求 展开式中的常数项. 考 二项式定理. 点: 专 计算题;概率与统计. 题: 分 在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即 析: 可求得常数项的值. 解 解:展开式的通项公式为 Tr+1= 答: ?x12﹣2r?x﹣r = ?x12﹣3r, 令12﹣3r=0,r=4, 故该展开式中的常数项为 =15. 点 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展 评: 开式中某项的系数,二项式系数的性质, 属于中档题.   22.某舞蹈小组有2名男生和3名女生.现从中任选2人参加表演,记X 为选取女生的人数,求X的分布列及数学期望.

考 离散型随机变量的期望与方差. 点: 专 概率与统计. 题: 分 本题是一个超几何分步,随机变量X表示所选2人中女生的人数, 析: X可能取的值为0,1,2,结合变量对应的事件和超几何分布的概 率公式,写出变量的分布列和数学期望. 解 解:依题意,X所有取值0,1,2. 答: P(X=0)=

= ,P(X=1)=

= , P(X=2)=

= . X的分布列为: X P EX=0× 0 1 2

+1× +2× = . 点 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望,考查超几何分 评: 步,考查互斥事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能 力.   23.(2013?丰台区二模)如图(1),等腰直角三角形ABC的底边 AB=4,点D在线段AC上,DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE 的位置(如图(2)). (Ⅰ)求证:PB⊥DE; (Ⅱ)若PE⊥BE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.

考 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的判定;直线 点: 与平面所成的角. 专 计算题;空间角. 题: 分 (I)根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直,结合线面垂直的判定定 析: 理可得DE⊥平面PEB,再由线面垂直的性质可得PB⊥DE; (II)分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所 示空间直角坐标系.设PE=a,可得点B、D、C、P关于a的坐标形 式,从而得到向量 、

坐标,利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组,解出平面PCD 的一个法向量为 =(1,1, ),由PD与平面PBC所成的角为30°和向量 的坐标,建立关于参数a的方程,解之即可得到线段PE的长. 解 解:(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,….(2分) 答: ∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面PEB, 又∵PB?平面PEB,∴BP⊥DE; ….(4分) (Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE, ∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系(如图),…(5分) 设PE=a,则B(0,4﹣a,0),D(a,0,0),C(2,2﹣a, 0), P(0,0,a),…(7分) 可得 , ,…(8分) 设面PBC的法向量 , ∴ 令y=1,可得x=1,z= 因此 是面PBC的一个法向量,…(10分) ∵

,PD与平面PBC所成角为30°,…(12分) ∴ ,即

,…(11分) 解之得:a= ,或a=4(舍),因此可得PE的长为 .…(13分)

点 本题给出平面图形的翻折,求证线面垂直并在已知线面角的情况 评: 下求线段PE的长,着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间 向量研究直线与平面所成角的求法等知识,属于中档题.   24.数列{2n﹣1}的前n项组成集合 ,从集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)个数,其所有可能的k个数 的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记 Sn=T1+T2+…+Tn.例如:当n=1时,A1={1},T1=1,S1=1;当n=2 时,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7. (Ⅰ)求S3; (Ⅱ)猜想Sn,并用数学归纳法证明. 考 数学归纳法;归纳推理.

点: 专 点列、递归数列与数学归纳法. 题: 分 (Ⅰ)当n=3时,求得A3={1,3,7},T1、T2 、T3的值,可得 析: S =T +T +T 的值.

3

1

2

3

(Ⅱ)由S1=1=21﹣1=﹣1,S2=7=23﹣1=﹣1,S3=63=26﹣1=﹣ 1,猜想 Sn= ﹣1,用数学归纳法进行证明. 解 解:(Ⅰ)当n=3时,A3={1,3,7}, 答: T =1+3+7=11,T =1×3+1×7+3×7=31,T =1×3×7=21, 1 2 3 所以S3=11+31+21=63. (Ⅱ)由S1=1=21﹣1=﹣1,S2=7=23﹣1=﹣1,S3=63=26﹣1=﹣ 1, 猜想 Sn= ﹣1,下面证明:(1)易知n=1时成立. (2)假设n=k时,Sn=Sk= ﹣1, 则n=k+1时,Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1 =[T1′+(2k+1﹣1)]+[T2′+(2k+1﹣1)T1′]+[T3′+(2k+1﹣1) T2′]+…+[Tk′+(2k+1﹣1)] (其中Ti′,i=1,2,…,k,为n=k时可能的k个数的乘积的和为 Tk), =( T1′+T2′+T3′+…+Tk′)+(2k+1﹣1)+(2k+1﹣1)( T1′ +T2′+T3′+…+Tk′)

=Sk+(2k+1﹣1)+(2k+1﹣1)Sk =2k+1( )+(2k+1﹣1) =2k+1? = ﹣1,即n=k时, Sk+1= ﹣1也成立, 综合(1)(2)知对n∈N*,Sn= ﹣1成立. 所以,Sn= ﹣1. 点 本题主要考查用数学归纳法证明等式,证明当n=k+1时命题成立, 评: 是解题的关键,属于中档题.  


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