高中数学不等式知识点总结


弹性学制数学讲义

不等式(4 课时)

1、不等式的基本性质

★知识梳理

①(对称性) a ? b ? b ? a

②(传递性) a ? b,b ? c ? a ? c

③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c

(同向可加性)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d

(异向可减性)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d

④(可积性)a ? b,c ? 0 ? ac ? bc

a ? b,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd

(异向正数可除性)

a

?

b

?

0, 0

?

c

?

d

?

a c

?

b d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N,且n ? 1)

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b(n ? N ,且n ? 1)

a ? b ? 0? 1 ? 1;a ? b ? 0? 1 ? 1

⑧(倒数法则)

ab

ab

2、几个重要不等式

① a2 ? b2 ? 2ab ?a,b? R? ,(当且仅当 a ? b 时取" ? "号).

ab ? a2 ? b2 .

变形公式:

2

? ? ②(基本不等式)

a ? b ? ab 2

a,b ? R? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).

变形公式: a ? b ? 2 ab

ab

?

? ??

a

? 2

b

2
? ? ?

.

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、
。1


三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a?b?c 3

?

3

abc

(a、b、c ? R? )

(当且仅当

a ? b ? c 时取到等号).
④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ?a,b? R?
(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0,b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

若ab ? 0,则 b ? a ? 2



a b (当仅当 a=b 时取等号)

若ab? 0,则 b ? a? ? 2

ab

(当仅当 a=b 时取等号)



b a

?

b a

? ?

m m

?1

?

a b

? ?

n n

?

a b

,(其中 a

?

b

?

0,m

?

0, n

?

0)

规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小.

⑧当a ? 0时,x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式

①平均不等式:

a?1

2 ? b?1

?

ab ? a ? b ? 2

a2 ? b2 2 ,(a,b ? R? ,当且仅当 a ? b 时取

" ? "号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
。2



ab

?

? ??

a

? 2

b

2
? ? ?

?

a2

? 2

b2

;

a2 ? b2 ? (a ? b)2 . 2

②幂平均不等式:

a12

?

a22

? ... ?

an2

?

1 n

(a1

?

a2

? ...?

an )2.

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 (x1, y1, x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:
(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a,b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式:

设? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使? ? k ?
时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理):

设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1, c2 ,..., cn 是 b1, b2 ,..., bn 的任一排列,则

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn.(反序和 ? 乱序和

? 顺序和),当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)

若定义在某区间上的函数 f (x) ,对于定义域中任意两点 x1, x2 (x1 ? x2 ), 有

f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) 或 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) .

2

2

2

2

则称 f(x)为凸(或凹)函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;

其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法:

。3



(a ? 1)2 ? 3 ? (a ? 1)2;

①舍去或加上一些项,如 2 4

2

②将分子或分母放大(缩小),

1

1



k2

?

k(k

, ? 1)

1

1

k2

?

k(k

, ? 1)

2 ? 2 ?1?

2

,

2 k k ? k k k ? k ?1

1?

2

(k ? N*, k ? 1)

k k ? k ?1

等.

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:

一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f (x) ? 0 ? f (x)? g(x) ? 0 g(x)

f (x) g(x)

?

0

?

? f (x)? g(x)

? ?

g(x)

?

0

?

0

(“? 或 ?”时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

? f (x) ? 0



f

(x)

?

a(a

?

0)

?

? ?

f

(x)

?

a2

? f (x) ? 0



f

(x)

?

a(a

?

0)

?

? ?

f

(x)

?

a2

。4



? f (x) ? 0



f

(x)

?

g(x)

?

? ?

g(x)

?? f (x)

? ?

0 [ g ( x)]2



? ? ?

f g

(x) (x)

? ?

0 0

? f (x) ? 0

f

(x)

?

g(x)

?

? ?

g

(

x)

?

0



?? f (x) ? [g(x)]2

? f (x) ? 0

f (x) ? g(x) ? ??g(x) ? 0



?? f (x) ? g(x)

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法:

⑴当 a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x)

⑵当 0 ? a ? 1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

? f (x) ? 0

loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0

⑴当 a ?1时,

?? f (x) ? g(x)

? f (x) ? 0

loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 .

⑵当 0 ? a ? 1时,

?? f (x) ? g(x)

规律:根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法:

?a (a ? 0)

a
⑴定义法:

? ???a

. (a ? 0)

⑵平方法: f (x) ? g(x) ? f 2(x) ? g2(x).
⑶同解变形法,其同解定理有:
① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0);

② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0);
。5


③ f (x) ? g(x) ? ?g(x) ? f (x) ? g(x) (g(x) ? 0)
④ f (x) ? g(x) ? f (x) ? g(x) 或f (x) ? ?g(x) (g(x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法
解形如 ax2 ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小;
⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
⑴不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;
?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ??? ? 0. ⑵不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;
?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ??? ? 0. ⑶ f (x) ? a 恒成立 ? f (x)max ? a;
f (x) ? a 恒成立 ? f (x)max ? a;
⑷ f (x) ? a 恒成立 ? f (x)min ? a;
f (x) ? a 恒成立 ? f (x)min ? a.
15、线性规划问题 常见的目标函数的类型:
。6


①“截距”型: z ? Ax ? By; z ? y z ? y?b;
②“斜率”型: x 或 x ? a ③“距离”型: z ? x2 ? y2 或 z ? x2 ? y2 ; z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使 问题简单化.
。7


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