2019高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量训练案北师大版选修2-1

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2.1 从平面向量到空间向量

[A. 基础达标 ] 1.下列说法正确的是 ( ) A.如果两个向量不相等,那么它们的长度不相等 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C.向量模的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 解析:选 D.两个向量不相等,但它们的长度可能相等, A 不正确.任何两个向量,不论 B 不正确.向量模的大小只与其长度有关,与方向没有 同向还是不同向均不存在大小关系, 关系,故 C 不正确.由于向量的模是一个实数,故可以比较大小,只有 D 正确. 2. 如图,在四棱柱的上底面 → → A. AD 与
ABCD

中, → = → ,则下列向量相等的是
AB DC

(

)

CB
B.



与 →

→ → C. AC 与

OA OC

DB OB

→ → D. DO 与
解析:选 D. 因为






,所以四边形
ABCD

为平行四边形. 所以


DO

→ → → → → =OB, AD= BC, OA= CO. → 3.在四边形 中,若 →= → ,且 | | = | → | ,则四边形
ABCD AB DC AC BD

AB DC

为(
ABCD

)

A.菱形 C.正方形

B.矩形 D.不确定

→ → 解析:选 B. 若 AB= DC,则 AB= DC,且 AB∥ DC,所以四边 形 → → 又 | AC| = | BD| ,即 AC= BD, 所以四边形 为矩形.
ABCD

ABCD 为平行四边形.

4.下列有关平面法向量的说法中,不正确的是 ( ) A.平面 α 的法向量垂直于与平面 α 平行的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果 a, b 与平面 α 平行,则 a∥b 解析:选 D. 依据平面向量的概念可知 A, B, C 都是正确的.由立体几何知识可得 不一定平行. → → ) 5. 在正四面体 A- BCD 中,如图,〈AB, DA〉等于 ( A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° → 解析:选 D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点, 故应把向量 DA 的 → → 起点平移到 A 点处,再求夹角得〈 AB, DA〉= 120°,故选 D. 6.在正四面体 向量. 解析:由于 是正四面体,易知
AO

a, b

A BCD

中, 为平面
O BCD

的中心,连接
AO

,则 ,所以



是平面
OA

的一个 ________
BCD

AO

→ ⊥平面 是平面 的一个法向量.
BCD A BCD BCD

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答案:法
1

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7. 如图在平行六面体 → ④AC 与 HF,四对向量中不是共线向量的序号为 →
→ →

→→ → AG 中,① AH 与 BG;② AG 与 EG;③ BH 与 DF; ________.







解析:因为 AH=BG, → → 所以 AH 与 BG 共线,其他三对均不共线. 答案:②③④ 8. 如图,棱长都相等的平行六面体 ABCD-A1B1C1 D1 中,已知∠ A1AB → → → → → → =60°,则 〈 1, , 1〉 1〉= ________;〈 , 1 1〉= ______;〈
AA CC AB CD BA DD

=________. 解析:在平行六面体 → → 所以〈 AA1,CC1〉= 0°;因为 AB∥ CD,CD∥ C1D1,所以 AB∥ C1D1,所 → → → → → → →
以 AB∥ CD,但方向相反,所以〈 AB,CD〉= 180°;因为 AA= DD,所以〈 BA,DD 〉=〈 BA,

→ → ABCD-A1B1C1D1 中, AA1∥ CC1,且方向相同,


1



1

1 1
A AB

1

1

1

1


AA

1

〉= 180°-∠

=120° .

答案: 0° 180° 120° 9. 如图所示是棱长为 1 的正三棱柱 ABC-A1B1C1. 写出 (1) 在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中, → 与向量 AB 相等的向量; 写出 (2) 在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中, → 向量 AC 的相反向量; → (3) 若 E 是 BB1 的中点,写出与向量 AE 平行的向量. → → 解: (1) 由正三棱柱的结构特征知与 AB 相等的向量只有向量 A1B1. (2) 向量


的相反向量为

AC

→ , 1 1. CA CA



(3) 取 AA1 的中点 F,连接 B1F( 图略 ) ,则 B1F, FB1 ,EA 都是与 AE 平行的向量. 10.如图,在三棱锥 S- ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形, ∠ BAC= 90°, O → 是 BC 的中点,证明: SO 是平面 ABC 的一个法向量.









证明:由题意知,侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形, 故设 SA= SB= SC= a, 因为 O 是 BC 的中点, SB= SC,所以 SO⊥ BC. 2 因为∠ BAC= 90°, AB= AC= a, AO⊥ BC,所以 AO= 2 a. 2 又 SO= 2 a, SA= a,所以△ ASO 是等腰直角三角形, 即 SO⊥ OA. 又 OA∩ BC= O,所以 SO⊥平面 ABC, → 所以 SO 是平面 ABC 的一个法向量. [B. 能力提升 ] 1.空间两向量 a, b 互为相反向量,已知向量 | b| = 3,则下列结论正确的是 A. a=b

(

)

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2

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B. | a| =- | b| C. a 与 b 方向相同 D. | a| = 3 解析:选 D. a 与 b 互为相反向量,即 a 与 b 方向相反且 | a| = | b|. 2.在直三棱柱 - ′ ′ ′中,已知 = 5, =3, = 4,
ABCA B C AB AC BC CC

′= 4,则以三棱柱

的顶点为向量的起点和终点的向量中模为 A. 2 C. 8

5 的向量的个数为 ( B. 4

)

D. 10 → → → → 解析:选 C. 向量 AB, A′ B′, AC′, CA′ 及它们的相反向量的模都等于 5,共有 8 个. 3. 如图,三棱锥 P- ABC 中, PA⊥平面 ABC,∠ ABC=90°, PA= AC,则 → → → → → → 在向量 AB,BC, CA, PA, PB, PC 中,夹角为 90°的共有 ________对. 解析:因为 ⊥平面 ,所以 ⊥ , ⊥ , ⊥ ,平面 ⊥
PA ABC PA AB PA AC PA BC PAB

平面 ABC. 又平面∩平面
PAB







,所以
BC

⊥平面
PAB

,所以

→ → → → → → → → → → 由此知〈 PA, AB〉,〈 PA, BC〉,〈 PA, CA〉,〈 BC, AB〉,〈BC, PB〉都为 90° . 答案: 5 4.下列命题中,真命题有 ________个. → → ①若 A, B, C,D 是不共线的四点,则 AB=DC 是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件; | a| = | b| , ②向量 a, b 相等的充要条件是 a∥b; ③ | a| = | b| 是向量 a= b 的必要不充分条件. 解析:对于②, | a| = | b| , a∥ b 可知, a 和 b 有可能为相反向量. 答案: 2 5. 如图, AB 是圆 O 的直径, 直线 PA 所在的向量是圆 O 所在平面的一个法 向量, M 是圆周上异于 A, B 的任意一点, AN⊥ PM,点 N 是垂足,求证:直 线 AN 的方向向量是平面 PMB 的法向量. 证明:因为 AB 是圆 O 的直径, 所以 AM⊥ BM. 又 PA⊥平面 ABM, 所以 PA⊥ BM.
因为 PA∩ AM= A, 所以 BM⊥平面 PAM. 又 AN 平面 PAM, 所以 BM⊥ AN. 又 AN⊥ PM,且 BM∩ PM= M,

ABC AB BC AB

BC PB

⊥ .

所以 AN⊥平面 PBM. 所以直线 AN 的方向向量是平面 PMB 的法向量. → 6.( 选做题 ) 如图所示,正四面体 A- BCD 中, E 是 AC 的中点,求 BE 与 CD 的夹角的余弦值. → → 解:过 E 作 EF∥ CD 交 AD 于 F,连接 BF. ∠ BEF 为向量 BE 与 CD 的夹角 的 1, 补角.设正四面体的棱长为 则 = 3, = 1, = EF 2 BF 3 . 2 →

2 由余弦定理得 | BE| 2+| EF| 2- | BF| 2
cos ∠ BEF=

BE

2| BE|| EF|

3

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3 2 1 2 + 2 - 2 所以
一、选择 .下列 .绿洲 .地质 解析:选 .下列 .气候 .过度 解析:选 新中国成 .这些 .华南 .西北 .西北 .东北 .这些 .主要 .是人 .主要 .是由 解析: 位于长江 .长江 .泥沙 .水土 .气候 .河流 .根据 .四月 .七月 .茶园 .缺乏 .缺少 .土壤 .表层 解析: 二、综合 题
属于相

3 2 2

3

= →
岛生态


生态系 统和高 寒带生 态系统 问题特 天安门 别严重 已不足 ;乱垦 70 km 滥伐、 。我国

3 1 → 2 × 2 ×2
CD
等。 过度放 形成的 牧和破 沙漠化 坏植被 原因。 为人为 土地有 85% 是滥垦、
滥牧和

= 6

.
3
.

所成的角的余弦值为-

BE
对脆弱 界带 发区 相 对脆弱 洲的荒 的自然 漠化问 生态系 题特别 统常见 严重的 的有海 自然原 系统、 干旱区 的自然 生态系 统的是 D 因是 ( A 非 洲北部 ,我国 土地主 和华北 和东北 和华北 和西南 土地的 对土地 工农业 降水减 干旱,
4.A

荒漠交

6
滥伐森 林的结 果; 10%是 水资
源利用 不当和

.水土 .高寒

流失严 带生态

重区

灾害易

系统

属于非

干旱 放牧 为热带 沙漠化 要分布 地区 地区 地区 地区 形成 进行不 所致 少,蒸 沙丘不 题,沙 场,茶 坏后, 洪水排 球气候 化减小 特征可 ( 合理的 发加剧 断向农 漠化土 园面积 给下游 泄不畅 变暖 以推知 ,三次 锄草中 流失最 严重的 是 ( 开发和 利用,
使植被 在

立以来

沙漠气 土地面 (

候,降 积不断

水稀少 扩大,

,气候 河北怀

干旱, 来沙漠

荒漠化 离北京

.乱垦 .破坏 工矿建
设破坏 林草造

滥伐 植被

成的;

5% 是 沙

丘入侵

农田和

草场所

致。据

此完成



题。

沙漠化 、华东

、西南 、东北

、华北 沙漠化

是人类 类发展

受到破

坏所致

是由于 于气候

牧业土 地主要
600 亩

地推进 分布在 ,每年 来的危 洪涝灾
干旱、 四月、

3. C
中上游

第 的某茶 植被破 、湖, 趋严重 导致全 季节变 域地理

半干旱 七月、

和具有 十一月

旱害的 要锄草

半湿润 三次,

地区, 久而久

在我国 之,茶

主要分 园“消

布在东 瘦”了

北、华 。同时

北和西

,锄草

北地区 需要大

。第
量劳动

题,由 力,困

材料可 惑之际

知,我 ,茶场

国形成 主人想

的沙漠 到“羊

化土地 喜吃嫩

有 85%是滥 垦 草,却 不吃嫩

、滥牧 茶”,

和滥伐 于是把

森林的 羊引进

结果。 茶园,

既节约

人力、

物力,

又保持

了水土

,肥沃

了茶园

,可谓

一举

两得。据

此完成



题。

中上游 淤积河

地区带 ,致使

害是
害频繁

(

流失日 恶化,

径流的 长江流

,水土

、七月

.四月 .十一 ”的主 要原因




“消瘦
分解者

(


枯枝落 中有机

质被微 大量冲 7.D

生物分 走 第



土壤被

5. A 题

6.C

题,长

江中上

游植被

破坏后

,导致

水土流

失加重

,河流

含沙量

增 大 , 因而造

成下游

淤积严

重,洪

水排泄

不畅,

致使洪

涝灾害

频繁。



题,长江

流域降

水夏季

最为集

中,在

暴雨冲

刷下,

水土流

失严重

,因此

四月、

七月、

十一月

相比,

水土流

失最严

重的

是七月。





,从材

料中可

以 看 出 茶园“

消瘦”

的主要

原因是

水土流

失造成

的表层

土壤被

大量冲

走。

4

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