2010年海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文科)(含答案)

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (文科) 2010.4 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1. 在复平面内,复数 i(1 ? i) ( i 是虚数单位)对应的点位于( A.第一象限
? ?



B.第二象限
? ?

C.第三象限 )

D.第四象限

2. sin 75 cos30 ? cos75 sin 30 的值为( A. 1 B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2


3. 已知向量 a, b ,则“a //b”是“a+b=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足

S3 S 2 ? ?1, 则数列 {an } 的公差是 ( ) 3 2
D.3

A.

1 2

B.1

C.2

5.在 同一坐标 系中画出 函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图象 , 可能正 确的是 ( )
y 1 y y y

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

A

B

C

D

6.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的 左视图的面积为( A. 6 3 B.8 ) C. 8 3 D.12

7.给出下列四个命题: ①若集合 A, B 满足 A ? B ? A, 则 A ? B ; ②给定命题 p, q , 若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真; ③设 a, b, m ? R, 若 a ? b, 则 am ? bm ;
2 2

④若直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 1 . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

8.直线 2ax ? by ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a, b 是实数) ,且 ?AOB 是 直角三角形(O 是坐标原点),则点 P ( a, b) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为( A )

2 ?1

B. 2

C.

2

D.

2 ?1

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 若 x ? 0, 则 y ? x ?

4 的最小值是____________________. x

10. 已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l : x ? ?2 的距离相等,则点 P 的轨 迹方程为_________.

?y ? x ? 11. 已知不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域的面积为 4,点 P( x, y) 在所给平面区域 ?x ? a ?
内, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为______.

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况, 抽查了 100 名同学, 统计他们每天平均学习 时间,绘成频率分布直方图(如图).则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时内的同学为 _______人. 频率/组距
开始

x
0.14 0.12 0.05 0.04

a =2,i=1 i≥20
否 是

a ?1?
2 4 6 8 10 12 小时 第 12 题

1 a

输出 a 结束

i=i+1 第 13 题图

第 10 题图 13. 已知程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是_______________.

14. 若点集 A ? {( x, y)10 x2 ? y 2 ? 1}, B ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1} ,则(1)点集 第 | 题图 图 P ? ?( x, y ) x ? x1 ? 1, y ? y1 ? 1, ( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_____; (2)点集 M ? ( x, y ) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B? 所表示的区域 的面积为___________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 其部分图象如图所示. (I)求 f ? x ? 的解析式; (II)求函数 g ( x ) ? f ( x ?

?

?
2

?? ?

?
2

),

?
4

) ? f (x ?

?

? ?? ) 在区间 ?0, ? 上的 4 ? 2?

最大值及相应的 x 值.

16. (本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、 10 元、0 元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可 能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消 费了 218 元 ,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其 共获得了 30 元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动. (I )若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? (II)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率?

20元 10元 0元

17. (本小题满分 14 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD, 点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 . (I) 证明:
P

BC ⊥平面 AMN ;
(II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存 在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.
B M

N A

C

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) .
2

(I)若 f ( x), g ( x) 的图象在点 (1,0) 处有公共的切线,求实数 a 的值; (II)设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F (x) 的极值.

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 该椭圆上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 1

1 3 , 且点(1, )在 2 2

6 2 ,求圆心在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程. 7

20. (本小题满分 13 分)

? 1 ? 2a n , n为偶数, ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ? ? , 1 ? ? 2a n ?1 , n为奇数, ?2 ? 2
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值;

n ? 2 , 3 , ?, 4

.

(Ⅱ)设 bn ? a2n?1 ? 1 , n ? 1, 2,3... ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出其通项公式; (III)对任意的 m ? 2, m ? N ,在数列 {an } 中是否存在连续的 2 项构成等差数列?若 ..
*
m

存在,写出这 2 项,并证明这 2 项构成等差数列;若不存在,说明理由.

m

m

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(文) 2010.4

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不 得超过原题分数. 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A

第 II 券(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9.4 10. y 2 ? 8x 11.6 12.30 13.

1 2

14. ? , 12 ? ?

15.(本小题满分 13 分) 解: (I)由图可知,A=1

????1 分 ?????2

T ? ? , 所以 T ? 2? 4 2
分 所以 ? ? 1 又 f ( ) ? sin(

?????3 分

?

?
4

4

? ? ) ? 1 ,且 ?

?
2

?? ?

?
2
?????5

所以 ? ? 分

?
4

所以 f ( x ) ? sin( x ? 分

?
4

).

?????6

(II)由(I) f ( x ) ? sin( x ?

?
4

),

所以 g ( x ) ? f ( x ?

?
4

) ? f (x ?

?
4

) = sin( x ?

?
4

?

?
4

) ? sin( x ?

?
4

?

?
4

)

? ? sin( x ? ) sin x 2
? cos x ? sin x


?????8 分 ?????9

?
分 因为 x ? [0,

1 sin 2 x 2

?????10

?
2

] ,所以 2 x ? [0, ? ] , sin 2 x ? [0,1]

故:

1 1 sin 2 x ? [0, ] , 2 2

当x?

?
4

时, g (x) 取得最大值

1 . 2

????? 13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)设“甲获得优惠券”为事件 A ???? ? 1 分 因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分的面积相等, 所以指针停在 20 元,10 元,0 元区域内的概率都是

1 . 3

????? 3 分

顾客甲获得优惠券,是指指针停在 20 元或 10 元区域, 根据互斥事件的概率,有 P ( A) ?

1 1 2 ? ? , 3 3 3 2 . 3

????? 6 分

所以,顾客甲获得优惠券面额大于 0 元的概率是

(II)设“乙获得优惠券金额不低于 20 元”为事件 B ????? 7 分 因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为 x 元,第 二次获得优惠券金额为 y 元,则基本事件空间可以表示为:

? ? {(20, 20),(20,10),(20,0),(10, 20),(10,10), (10,0),(0, 20),(0,10),(0,0)} ,
????? 9 分

即 ? 中含有 9 个基本事件,每个基本事件发生的概率为 而乙获得优惠券金额不低于 20 元,是指 x ? y ? 20 , 所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个, 所以乙获得优惠券额不低于 20 元的概率为 P ( B ) ?

1 . ???? 10 分 9

???? 11 分

6 2 ? 9 3

???? 13 分

答:甲获得优惠券面额大于 0 元的概率为

2 ,乙获得优惠券金额不低于 20 元的 3

概率为

2 . 3

17. (本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形,所以 AB=BC 又 ?ABC ? 60 ,所以 AB=BC=AC,
?

?????1 分 ????? 2 分 ????? 4 分 ????? 5 分 ????? 6 分

又 M 为 BC 中点,所以 BC ? AM 而 PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD,所以 PA ? BC 又 PA ? AM ? A ,所以 BC ? 平面 AMN (II)因为 S?AMC ?

1 1 3 AM ? CM ? ? 3 ?1 ? 2 2 2

又 PA ? 底面 ABCD, PA ? 2, 所以 AN ? 1 所以,三棱锥 N ? AMC 的体积 V ?

1 S ? AN 3 ?AMC

???? 8 分

1 3 3 ? ? ?1 ? 3 2 6
(III)存在 取 PD 中点 E,连结 NE,EC,AE, 因为 N,E 分别为 PA,PD 中点,所以 NE //

???? 9 分 ????? 10 分

1 AD 2

????? 11 分

又在菱形 ABCD 中, CM / /

1 AD 2

所以 NE//MC , MCEN 是平行四边形 即 所以, NM // EC , 又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE 所以 MN // 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE , 此时 PE ?

????? 12 分

????? 13 分

1 PD ? 2 . 2

????? 14

分 18. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f (1) ? 0, g (1) ? 0 , 所以点 (1,0) 同时在函数 f ( x), g ( x) 的图象上
2 因为 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? a ln x , f '( x) ? 2 x ,

????? 1 分 ?????3 分 ?????5 分

g '( x) ?

a x

由已知,得 f ' (1) ? g ' (1) ,所以 2 ?
2

a ,即 a ? 2 1

?????6 分 ?????7 分 ?????8 分

(II)因为 F ( x) ? f ( x) ? 2g ( x) ? x ? 1 ? 2a ln x ( x ? 0) 所以 F ' ( x) ? 2 x ? 当 a ? 0 时,
2 因为 x ? 0 ,且 x ? a ? 0, 所以 F ' ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,

2a 2( x 2 ? a) ? x x

所以 F (x) 在 (0,??) 上单调递增, F (x) 无极值 当 a ? 0 时, 令 F ' ( x) ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍) 所以当 x ? 0 时, F '( x), F ( x) 的变化情况如下表:

?????10 分;

?????11 分

x
F ' ( x)

(0, a )
?

a
0

( a , ??)
+

F (x)

?

极小 值

?
?????13 分

所以当 x ? a 时, F ( x) 取得极小值,且

F ( a ) ? ( a )2 ? 1 ? 2a ln a ? a ? 1 ? a ln a .
综上,当 a ? 0 时,函数 F (x) 在 (0,??) 上无极值;

?????14 分

当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在 x ? a 处取得极小值 a ? 1? a ln a . 19. (本小题满分 13 分) 解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 c 1 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? 2 a 2 a b
2

,

2 2 2 又 a ? b ? c ,所以 b ?

3 2 a 4

?????2 分

3 因为椭圆 C 经过(1, ) ,代入椭圆方程有 2
解得 a ? 2 分 所以 c ? 1 , b ? 4 ? 1 ? 3 故椭圆 C 的方程为
2

9 1 ? 4 ?1 a2 3 a2 4
?????4

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????5

分 (Ⅱ)解法一: 当直线 l ? x 轴时,计算得到: A(?1, ? ), B (?1, ) ,

3 2

3 2

1 1 3 S?AOB ? ? | AB | ? | OF1 |? ?1? 3 ? ,不符合题意. 2 2 2
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) , k ? 0

?????6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y ,得 ( 3? 4 x ? 8 x? 4 ? 1 2 ????7 分 k2 )2 k2 k2 ? 0 ?1 ? ? ?4 3

显然 ? ? 0 成立,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ? 分 又 | AB |?

8k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

4k 2 ? 12 3 ? 4k 2

?????8

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2

? 1? k 2


64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2
12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
1? k 2 ? |k| 1? k 2

?????9

即 | AB |? 1 ? k ?
2

又圆 O 的半径 r ? 分 所 以 S?AOB ? 11 分

| k ?0 ? 0 ? k |

?????10

1 1 12(k 2 ? 1) | k | 6 | k | 1? k 2 6 2 ????? ? | AB | ?r ? ? ? ? ? 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 7 1? k 2
4 2

化简,得 17k ? k ? 18 ? 0 ,即 (k 2 ?1)(17k 2 ? 18) ? 0 , 解得 k1 ? 1, k2 ? ?
2 2

18 (舍) 17

?????12

分 所以, r ?

|k| 1? k 2

?

1 2 2 2 ,故圆 O 的方程为: x ? y ? . 2 2

?????13

分 (Ⅱ)解法二: 设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,

? x ? ty ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 x,得 (4 ? 3t ) y ? 6ty ? 9 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4


?????7

因为 ? ? 0 恒成立,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

6t 9 , y1 ? y2 ? ? 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2
( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2

?????8 分

所以 | y1 ? y2 |?

12 t 2 ? 1 36t 2 36 ? ? ? 4 ? 3t 2 (4 ? 3t 2 )2 4 ? 3t 2
分 所以 S?AOB ?

?????9

1 6 t 2 ?1 6 2 ? | FO | ? | y1 ? y2 |? ? 1 2 4 ? 3t 2 7
4 2

化简得到 18t ? t ? 17 ? 0 ,即 (18t 2 ? 17)(t 2 ? 1) ? 0 , 解得 t12 ? 1, t2 ? ?
2

17 (舍) 18

????11 分

又圆 O 的半径为 r ?

| 0 ? t ? 0 ? 1| 1? t
2

?

1 1? t2

?????12 分

所以 r ?

1 1? t
2

?

1 2 2 2 ,故圆 O 的方程为: x ? y ? 2 2

?????13 分.

20.(本小题满分 13 分)
解: (Ⅰ)因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 1 ? 2a1 ? 3 , a3 ?

1 5 ? 2a1 ? , 2 2
????3 分

a4 ? 1 ? 2a2 ? 7 , a5 ?

1 13 ? 2a2 ? 2 2

(Ⅱ)由题意,对于任意的正整数 n , bn ? a2n?1 ? 1 , 所以 bn?1 ? a2n ? 1 又 a2n ? 1 ? (2a2n ? 1) ? 1 ? 2(a2n?1 ? 1) ? 2bn
2

????4 分

所以 bn?1 ? 2bn 又 b1 ? a21?1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2

????6 分 ????7 分

所以 ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 bn ? 2n (III)存在. 事实上, 对任意的 m ? 2, k ? N * ,在数列 {an } 中,

????8 分

a2m , a2m ?1, a2m ?2, ...., a2m ?2m ?1 这连续的 2m 项就构成一个等差数列
我们先来证明:

??10 分

“对任意的 n ? 2, n ? N * , k ? (0, 2n?1 ), k ? N * ,有 a2n?1 ? k ? 2 ? 1 ?
n

k ” 2

由(II)得 bn ? a2n?1 ?1 ? 2 ,所以 a2n?1 ? 2 ?1 .
n n

当 k 为奇数时, a2n?1 ? k ?

1 1 ? 2a2n?1 ?k ?1 ? ? 2a n?2 k ?1 2 ? 2 2 2 2
2n?2 ? 2 k 2

当 k 为偶数时, a2n?1 ?k ? 1 ? 2a2n?1 ?k ? 1 ? 2a

? k k为偶数, ? 2, ? 记 k1 ? ? ? k ? 1 , k为奇数, ? 2 ?
因此要证 a2n?1 ? k ? 2 ? 1 ?
n

k k n ?1 ,只需证明 a2n?2 ? k ? 2 ? 1 ? 1 , 1 2 2

其中 k1 ? (0, 2n?2 ), k1 ? N * (这是因为若 a2n?2 ? k ? 2
1

n ?1

?1?

k1 k ?1 ,则当 k1 ? 时,则 k 一定是奇数, 2 2

有 a2n?1 ? k ?

1 1 ? 2a2n?1 ?k ?1 ? ? 2a n?2 k ?1 2 ? 2 2 2 2

k ?1 1 k1 1 k = ? 2(2n ?1 ? 1 ? ) ? ? 2(2n ?1 ? 1 ? 2 ) ? 2n ? 1 ? ; 2 2 2 2 2
当 k1 ?

k 时,则 k 一定是偶数,有 a2n?1 ?k ? 1 ? 2a2n?1 ?k ? 1 ? 2a n?2 k 2 ? 2 2
2

k k k = 1 ? 2(2n ?1 ? 1 ? 1 ) ? 1 ? 2(2n ?1 ? 1 ? 2 ) ? 2n ? 1 ? ) 2 2 2
如此递推,要证 a2n?2 ? k ? 2
1

n ?1

?1?

k1 k n?2 , 只要证 明 a2n?3 ? k ? 2 ? 1 ? 2 , 2 2 2

? k1 k1为偶数, ? 2, ? 其中 k2 ? ? , k2 ? (0, 2n?3 ), k2 ? N * k1 ? 1 ? , k1为奇数, ? 2 ?
如此递推下去, 我们只需证明 a21 ? k 即 a21 ?1 ? 2 ? 1 ?
2

n?2

? 22 ? 1 ?

kn ? 2 , kn?2 ? (0, 21 ), kn?2 ? N * 2

1 1 5 5 ? 3 ? ? ,即 a3 ? ,由(I)可得, 2 2 2 2
n

所以对 n ? 2, n ? N * , k ? (0, 2n?1 ), k ? N * ,有 a2n?1 ? k ? 2 ? 1 ? 对任意的 m ? 2, m ? N
*

k , 2



a2m ?i ? 2m?1 ? 1 ?

i i ?1 m ?1 , a2m ?i ?1 ? 2 ? 1 ? ,其中 i ? (0,2m ? 1),i ? N * , 2 2

所以 a2m ?i ?1 ? a2m ?i ? ? 又 a2m ? 2
m?1

1 2
1 1 ,所以 a2m ?1 ? a2m ? ? 2 2
m

?1 , a2 m ?1 ? 2m ?1 ? 1 ?

所以 a2m , a2m ?1, a2m ?2, ...., a2m ?2m ?1 这连续的 2 项, 是首项为 a2m ? 2
m?1

1 ?1 ,公差为 ? 的等差数列 . 2

????13 分

* * 说明:当 m2 ? m1 (其中 m1 ? 2, m1 ? N , m2 ? N )时,

因为 a

2

m2

, a2

m2

?1

, a2

m2

?2

,..., a2

m2

?2

m2

?1

构成一个项数为 2

m2

的等差数列,所以从这

个数列中任取连续的 2 项,也是一个项数为 2 ,公差为 ?
m1 m1

1 的等差数列. 2


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