高中数学选修1-1(人教A版)综合素质检测

高中数学选修 1-1(人教 A 版)综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( A.不存在 x0∈R,2x0>0 C.对任意的 x∈R,2x≤0 )

B.存在 x0∈R,2x0≥0 D.对任意的 x∈R,2x>0

2.设 p:大于 90°的角叫钝角,q:三角形三边的垂直平分线交于一点,则 p 与 q 的复合命题的真假是( A. “p∨q”假 ) B. “p∧q”真 C. “?q”真 D. “p∨q”真

3. 已知抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8), 点 P 为抛物线上一点, 则|PA|+|PF| 的最小值为( A.16 ) B.6 C.12 D.9

1 4.如果双曲线经过点(6, 3),且它的两条渐近线方程是 y=± x,那么双曲线方 3 程是( A. ) - =1 36 9

x2

y2

B.

- =1 81 9

x2

y2

C. -y2=1 9

x2

D.

- =1 18 3 )

x2

y2

5.设 f(x)可导,且 f′(0)=0,又lim x→0 A.可能不是 f(x)的极值 C.一定是 f(x)的极小值 6.下列判断不正确 的是( ... )

f′(x) =-1,则 f(0)=( x

B.一定是 f(x)的极值 D.等于 0

A.命题“若 p 则 q”与“若?q 则?p”互为逆否命题 B. “am2<bm2”是“a<b”的充要条件 C. “矩形的两条对角线相等”的否定为假 D.命题“? {1,2}或 4∈{1,2}”为真

1

3 7. “x>0”是“ x2>0”成立的( A.充分非必要条件

) C.非充分非必要条件 D.充要条件 )

B.必要非充分条件

8.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值依次是( A.12,-15 B.5,-15 C.5,-4

D.-4,-15

9.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x-1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 ( ) A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-3 或 a>6 D.a<-1 或 a>2

10.已知抛物线 y2=2px(p>0),过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 B.x=-1 C.x=2 ) D.x=-2

x2 y2 11.设 F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,∠F1PF2=90°,若 4a a
Rt△F1PF2 的面积是 1,则 a 的值是( A.1 B. 5 2 ) C.2 D. 5

12.下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序 号是( ) B.③④ C.①③ D. ①④

A.①②

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.实系数方程 x2+ax+b=0 的两个实根一个比 1 大,一个比 1 小的充要条件是 ________. 14.使 y=sinx+ax 为 R 上的增函数的 a 的范围为______. 15.一座抛物线形拱桥,高水位时,拱顶离水面 2m,水面宽 4m,当水面下降 1m 后, 水面宽________m. 16.以下四个关于圆锥曲线的命题: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若|→ PA|-|→ PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;

2

1 ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若→ OP= (→ OA+→ OB),则动点 P 的轨 2 迹为椭圆; ③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线 - =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点. 25 9 35

x2

y2

x2

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本题满分 12 分)已知 P:{x|a-4<x<a+4},Q:{x|x2-4x+3<0},且 x∈P 是

x∈Q 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)求与⊙C1:(x+1)2+y2=1 相外切且与⊙C2:(x-1)2+y2=9 相内切的动圆圆心 P 的轨迹方程.

19. (本题满分 12 分)过抛物线 y=ax2(a>0)的顶点 O 作两条相互垂直的弦 OP 和 OQ, 求证:直线 PQ 恒过一个定点.

3

20.(本题满分 12 分)已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=loga(x+1)在 x∈(0,+∞) 内单调递减;q:曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点,如果 p 与 q 有且只 有一个正确,求 a 的取值范围.

21.(本题满分 12 分)设 a∈R,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[0,2]时,若|f(x)|≤2 恒成立,求 a 的取值范围.

4

22.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函 数. (1)求 f(x)的表达式: (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.

1[答案] D [解析] 特称命题的否定为全称命题,故选 D. 2[答案] D [解析] p 假,q 真,故“p∨q”真. 3[答案] D

5

[解析] 如图, 过点 A 作准线的垂线,B 为垂足,与抛物线交于一点 P,则点 P 为所求的点,|PA| +|PF|的最小值为|AB|的长度.

4[答案] C [解析] C. 5[答案] B [解析] 由lim x→0 时, ?1 ? ?1 ? 设双曲线方程为 ? x+y?? x-y?=λ 将点(6, 3)代入求出λ 即可.答案 ?3 ? ?3 ?

f′(x) =-1,故存在含有 0 的区间(a,b)使当 x∈(a,b),x≠0 x

f′(x) <0,于是当 x∈(a,0)时,f′(x)>0;当 x∈(0,b)时,f′(x)<0,这样 f(x) x

在(a,0)上单增,在(0,b)上单减. 6[答案] B [解析] am2<bm2? a<b,但 a<b? / am2<bm2. 例如:m=0 时. 7[答案] A [解析] 本题考查了充要条件的判定问题,这类问题的判断一般分两个方向进行,

x>0 显然能推出 x2>0,而 x2>0?|x|>0?x≠0,不能推出 x>0,故选 A.
8[答案] B [解析] y′=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)(x+1),令 y′=0,得 x=-1 或 x=2,∵x∈[0,3],∴x=-1 舍去. 列表如下:

3

3

6

x f′
(x)

0

(0,2) -

2 0 极小值-15

(2,3) +

3

f(x)

5

-4

由上表可知,函数在[0,3]上的最大值为 5,最小值为-15,故选 B. 9[答案] C [解析] f′(x)=3x2+2ax+a+6,令 f′(x)=0, 即 3x2+2ax+a+6=0, 由题意,得Δ =4a2-12(a+6)=4(a2-3a-18)=4(a-6)(a+3)>0, ∴a>6 或 a<-3,故选 C. 10[答案] B [解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题,可设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中 点(

x1+x2 y1+y2
2 ∴ , 2

),
2

y1+y2
2

?y1=2px1 =2,? 2 ?y2=2px2

① ②

2 ①-②得 y2 1-y2=2p(x1-x2)?

y1-y2 2p p p = = , ∴kAB=1= ? p=2, ∴y2=4x, x1-x2 y1+y2 y1+y2 2
2

∴准线方程式为:x=-1,故选 B. 11[答案] A [解析] ∵||PF1|-|PF2||=4 a(a>0), ∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|=16a, 又∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=20a, 1 ∴|PF1|?|PF2|=2a,∴S△F1PF2= |PF1|?|PF2|=a=1. 2 12[答案] B [解析] 二次函数为导函数,③中 x<0 时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,0)内应递增,

7

故③为假,同理,知④也为假. 13[答案] a+b+1<0 [解析] 实系数方程 x2+ax+b=0 的两个实根一个比 1 大, 一个比 1 小的充要条件 是 f(1)=a+b+1<0. 14[答案] a≥1 [解析] y′=cosx+a≥0 在 R 上恒成立, ∴a≥-cosx 在 R 上恒成立, 又 cosx∈[-1,1],∴-cosx∈[-1,1],∴a≥1. 15[答案] 2 6 [解析] 设抛物线方程为:x2=-2py(p>0),点(2,-2)在抛物线上,∴p=1, 设水面下降 1m 后,水面宽 2xm,则点(x,-3)在抛物线上,∴x2=6,∴x= 6. 16[答案] ③④ [解析] ①中当 k=|AB|时,点 P 的轨迹是一条射线. ②中,点 P 的轨迹是以 AC 中点为圆心,以定圆半径的一半长为半径的圆. 17[解析] 因为 P:{x|a-4<x<a+4},

Q:{x|1<x<3},又因为 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,所以 Q? P,
?a-4≤1 所以? ?a+4≥3 ?a≤5 ?? ?a≥-1 ,即-1≤a≤5.

18[解析] 设动圆圆心 P 的坐标为(x,y),半径为 r, 由题意得|PC1|=r+1,|PC2|=3-r, ∴|PC1|+|PC2|=r+1+3-r=4>|C1C2|=2, 由椭圆定义知,动圆圆心 P 的轨迹是以 C1、C2 为焦点,长轴长 2a=4 的椭圆,椭圆 方程为: + =1. 4 3
2 19[解析] 证明:设 P(x1,ax2 1),Q(x2,ax2),则直线 PQ 的斜率为 kPQ=a(x1+x2)

x2 y2

∴其方程为 y-ax2 1=a(x1+x2)(x-x1), 即 y-a(x1+x2)x+ax1x2=0,

8

∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1? a2x1?x2=-1. 1 ∴y- =a(x1+x2)(x-0).

a

1? ? ∴PQ 恒过定点?0, ?. a? ? 20[解析] 当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减; 当 a>1 时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减. 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同两点等价于(2a-3)2-4>0. 1 5 即 a< 或 a> . 2 2 (1)p 正确,q 不正确. ? ?1 5 则 a∈(0,1)∩?a? ≤a≤ 且a≠1 2 ? ?2 (2)p 不正确,q 正确. ? ? 1 5 则 a∈(1,+∞)∩?a?0<a< 或a> 2 2 ? ? ?5 ? 即 a∈? ,+∞?. ?2 ? ?1 ? ?5 ? 综上,a 取值范围为? ,1?∪? ,+∞?. ?2 ? ?2 ? 21[解析] (1)对函数 f(x)求导数, 得 f′(x)=3x2-2x-1. 1 令 f′(x)>0,解得 x>1 或 x<- ; 3 1 令 f′(x)<0,解得- <x<1. 3 1 所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,- )和(1,+∞), 3 ? ?, ? ? ?1 ? ?,即 a∈? ,1?. ?2 ? ?

f(x)的单调递减区间为?- ,1?.

? ?

1 3

? ?

9

(2)由(1)知,f(x)在(0,1)上是递减的,在(1,2)上是递增的, 所以,f(x)在[0,2]上的最小值为 f(1)=-1+a; 由 f(0)=a,f(2)=2+a,知 f(0)<f(2), 所以,f(x)在[0,2]上的最大值为 f(2)=2+a. 因为,当 x∈[0,2]时, |f(x)|≤2?-2≤f(x)≤2 ?-1+a≥-2 ?? ?2+a≤2 ,解得-1≤a≤0,

即 a 的取值范围是[-1,0]. 22[解析] 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识.考查导数在函 数中的应用,同时还考查综合分析问题和解决问题的能力. 解:(1)由题意得 f′(x)=3ax2+2x+b, 因此 g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 因为函数 g(x)是奇函数, 所以 g(-x)=-g(x), 即对任意 x, 有 a(-x)3+(3a+1)(-

x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(ba+1)x2+(b+2)x+b]
1 从而 3a+1=0,b=0,解得 a=- ,b=0. 3 1 因此 f(x)的解析表达式为 f(x)=- x3+x2. 3 1 (2)由(1)知 g(x)=- x3+2x,所以 g′(x)=-x2+2,令 g′(x)=0. 3 解得 x1= 2,x2= 2, 则当 x<- 2或 x> 2时,g′(x)<0 时,从而 g(x)在区间(-∞,- 2],[ 2,+ ∞)上是减函数; 当- 2<x< 2时,g′(x)>0,从而 g(x)在区间[- 2, 2]上是增函数,由单调性 5 可知, 在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 2, 2 时取得, 而 g(1)= , g( 2) 3

10



4 2 4 ,g(2)= . 3 3 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= 4 2 4 ,最小值为 g(2)= . 3 3

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