概率论与随机过程A卷及答案

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重庆邮电大学 08-09 学年度第一学期(试题及参考 答案)

年 级 :



概率论与随机过程考试试题(A)
(时间 120 分钟) 题号 分数 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 总分

一、填空与选择题(30 分,每题 3 分)
1、从 1,2,3,4,5 中任取三个,三个数中没有数 2 1 的概率为 . 5 2、已知正态随机变量 X 的概率密度函数为 1 1 ? x 2 ? 2 x ?1 , 则 E ( X ) =1 ,D( X ) = 。 f ( x) ? e 2 ?
, 3 、 已 知 p ? A? ? 0 . 5 ,p ? B ? ? 0 . 6 ,p B A ? 0 . 4 则

专 业 : 封

班 级 :

线

p? AB? = 0.4 。 4 、 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 x?0 ? 0 ? 2 F ( x) ? ? Ax 0 ? x ?1 则 A = 1 ? 1 x ?1 ?
1 ,7) 5、已知 X ~ N (1, 4) ,Y ~ N (0,3) ,则 X ?Y ~N (

?

?

姓 名 :

6 、 设 ?X (t ), t ? 0? 是 强 度 为 ? 的 泊 松 过 程 , 则 对
?s, t ? [0,??) , 且 s ? t , 有 D( X (t ) ? X (s)) ?

? (t ? s) 。
7、设 X (t )和Y (t )(t ? 0) 是两个相互独立的、分别具 有强度为 ? 和 ? 的泊松过程,则随机过程 S (t ) ? X (t ) ? Y (t ) 的强度为_ ? ? ? ___。 8、设随机变量 X 与 Y 的相关系数 ? XY ? 0 ,则下列 错误的是( D )
1/6

学 号 :

(A) E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ; (B) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ; (C) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ; (D)X 与 Y 相互独立。 9、当 A、B 同时发生时,事件 C 必然发生,则有(B ) (A) p?C ? ? p? A? ? p?B? ?1 ;(B) p?C ? ? p? A? ? p?B? ?1 ; (C) p?C ? ? p? AB? ; (D) p?C ? ? p? A ? B? . 10、 设随机变量 X 服从二项分布,且 E( X ) ? 2.4, D( X ) ? 1.44 ,则该 二项分布的参数 n, p 的值是( B ) (A) n ? 4, p ? 0.6 ; (B) n ? 6, p ? 0.4 ; (C) n ? 8, p ? 0.3 ; (D) n ? 24, p ? 0.1

二、计算(共 70 分)
1、 (10 分)发报台分别以 0.7 和 0.3 的概率发出信号 0 和 1,由 于通信系统受到干扰, 当发出信号 0 时, 收报台分别以 0.8 和 0.2 的概率收到信号 0 和 1;又当发出信号 1 时,收报台分别以 0.9 及 0.1 的概率收到信号 1 和 0。 (1)求收报台收到信号 0 的概率。 (2)现收报台收到信号 0 ,求原发信号也是 0 的概率为多少?
解 设 A 表示“发出信号 0”的事件, B 表示“发出信号 0”的事件;由题 得

p( A) ? 0.7, p( A) ? 0.3, p( B | A) ? 0.8, p( B | A) ? 0.2, p( B | A) ? 0.9, p( B | A) ? 0.1
有全概率公式得

p( B) ? p( A) p( B | A) ? p( A) p( B | A) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.1? 0.3 ? 0.59,
有贝叶斯公式得

p ( A | B) ?

p( B | A) p( A) 0.56 ? ? 0.95 p( B | A) p( A) ? p( B | A) p( A) 0.59

2 、( 10 分 ) 设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 ? Ax 0 ? x ? 1 。 f ( x) ? ? 其它 ?0 (1)求系数 A ; (2)求随机变量 X 的分布函数 F ( x) ; (3)求概 1 率 P{3 ? X ? 2}
解 (1)由于 则

?

??

??

f ( x)dx ? 1

?

1

0

Axdx ? 1 即 A ? 2

2/6

0 0?x ? ? x ? (2) F ( x) ? ? f (t )dt ? ? ? 2tdt ? x 2 0 ? x ? 1 ?? 0 ? 1 x ?1 ? ? 8 1 (3) P{1 3 ? X ? 2} ? F (2) ? F ( 3 ) ? 9 3、 (8 分)设随机变量 ( X , Y ) 的分布率如下 Y 0 1 2 3 X 3 3 1 0 0 8 8 1 1 3 0 0 8 8 (1) 求关于 X 的边缘分布。 (2) 判断 X 与 Y 是否独立,并说明理由。 解 由题 P{ X ? i} Y 0 1 2 3 X 3 3 3 1 0 0 4 8 8 1 1 1 3 0 0 4 8 8 3 3 1 1 P{Y ? j} 8 8 8 8 X 的分布律 1 3 X 3 1 P{ X ? i} 4 4
x

因为

P{X ? 1}P{Y ? 2} ? P{X ? 1, Y ? 2} 所以 X 与 Y 不独立

4、 (12 分,普通班做) 设随机变量(X,Y)具有概率密度 ?1 ? x? 2, ? 0y ? 2 ? ( x ? y) , 0 f ( x, y) ? ?8 ? ?0 , 其它 求(1) E ( X ), E (Y ) ; (2) Cov( X , Y ) ; (3) D( X ? Y ) 。 4、 (12 分,强化班做)设 G 为由抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成区 域,二维随机变量 ( X,Y ) 在区域 G 上服从均匀分布。试求:
2

(1) X、Y 的联合概率密度; (2)求 X、Y 的边缘概率密度;
3/6

(3)判定随机变量 X 与 Y 是否相互独立; (4)协方差 Cov( X , Y ) 。 解 边缘概率密度函数 else ? 0 ?? ? f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ? x ? 1 ?? 0? x?2 ? ? 4 else ? 0 ?? ? fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ? y ? 1 ?? 0? y?2 ? ? 4 ?? ?? 7 7 E ( X ) ? ? xf X ( x)dx ? , E (Y ) ? ? yfY ( y ) dy ? ?? ?? 6 6 ?? ?? 5 5 E ( X 2 ) ? ? x 2 f X ( x)dx ? , E (Y 2 ) ? ? y 2 fY ( y )dy ? ?? ?? 3 3 11 11 D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ? , D(Y ) ? E (Y 2 ) ? E 2 (Y ) ? 36 36 4 49 1 Cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? ?? 3 36 36 5 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 cov( X , Y ) ? 9 5、 (10 分)设随机变量 X 有密度函数 ?1 ? sinx , 0 ? x ? ? f ( x) ? ? 2 ? 其它 ? 0, (1)求概率 P{ X ?

?
3

};

(2)对 X 独立观察 100 次,求其中有 18 ? 32 次使事件 " X ? 生的概率.
附正态分布表如下:

?
3

"发

x ?( x )

1.21 0.8869

1.62 0.9474
?

1.82 0.9656

1.92 0.9726

1 解 (1) P{ X ? } ? ? 3 f ( x)dx ? ?? 3 4

?

( 2 )设 Y 表示独立观察 100 次事件 " X ?
4/6

?
3

" 发生的次数,则

Y ~ b(100, 0.25) 由德莫夫-拉普拉斯定理 近似 Y ? 25 N (0,1) 100 ? 0.25 ? 0.75 ~ 所以 ?7 Y ? 25 7 P{18 ? Y ? 32} ? P{ ? ? } ? 2?(1. 62)- 1= 0. 8948 18.75 18.75 18.75

6、 (10 分)设{Xn ,n=0,1,2}是一齐次马尔可夫链, 其一步 转移概率矩阵为 ? 0.4 0.6 0 ? ? ? P ? ? 0.4 0 0.6 ? ? 0 0.4 0.6 ? ? ?
i ? 0,1, 2 初始分布 P i (0) ? P( X 0 ? i ) ? 1/ 3 ,

求: (1) P( X 0 ? 0, X 2 ? 1) ; (2) P( X 2 ? 1) 。 解
? 0.4 0.24 0 ?.36 ? ? P ? ?0 . 1 6 0 . 4 8 ? 0.36 ? 0 . 1 6 0 . 2 4 ?0 . 6 ? ?
2

1 (1)P( X 0 ? 0, X 2 ? 1) ? P( X 2 ? 1| X 0 ? 0) P( X 0 ? 0) ? p01 ? ? 0.08 3 (2) 2 1 P( X 2 ? 1) ? ? P( X 2 ? 1| X 0 ? i) P( X 0 ? i) ? (0.24 ? 0.48 ? 0.24) ? ? 0.32 3 i ?0

7、 (10 分)随机过程 X(t)=A cos?t +B sin?t , t ? (-∞,+∞),其中 A,B 独立,且 A~N(0, ? 2 ) ,B~N(0, ? 2 ),求 X (t ) 的均值函数和自相 关函数,并判定 X(t)是否为宽平稳随机过程。 解 ?X (t ) ? E[ X (t )] ? E[ A cos? t ? B sin? t ] ? E[ A]cos? t ? E[ B]sin? t ?0 RX (t , t ? ? ) ? E[ X (t ) X (t ? ? )] ? E[ A cos? t ? B sin? t ][ A cos? (t ? ? ) ? B sin? (t ? ? ) ]
? ? 2 cos? 所以 X (t ) 为宽平稳随机过程。
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