【2019年整理】第一章 函数、极限与连续01373_图文

期末考成绩(60%)
?

总成绩 平时成绩(40%)

出勤(25) 作业(10) 课堂表现(5)

1、旷课1次,扣5分;本学期旷课累计达3次及以上者, 总成绩按不及格处理。 2、本学期每人交6-8次作业。

第一章 函数、极限与连续
第一节 ? 第二节 ? 第三节 ? 第四节 ? 第五节 ? 第六节 ? 第七节
?

函数 初等函数 常用经济函数 极限的概念 极限的运算 无穷小与无穷大 函数的连续性

第一节 函数 一、实数与区间
1.数的扩展 自然数—>整数—>有理数—>实数 (1)自然数 N 0、1、2、3、4…… (2)整数 Z -2、-1、0、1、2…… (3)实数 R ①有理数Q:整数和分数的统称,包括有限小数和无 限循环小数。 ②无理数:无限不循环小数,如圆周率 π、自然对 数的底e 。 (4)虚数I:平方是负数的数。如 x2 +1=0,x=i. (5)复数:由实数和虚数组成的数。如a+bi

2、区间

定义 介于某两个实数之间的全体实数称为有限区间,这两
个实数叫做区间的端点.

(1)有限区间 ①开区间 (a, b)={x | a<x<b} ②闭区间 [a, b] ={x | a≤x≤b} ③半开半闭区间 (a, b] ={x | a<x≤b}
(2)无限区间:含有-∞或+∞的区间。

3、邻域
(1)定义
设a与δ是两个实数,且δ>0,数集{x | a-δ <x< a+δ }称为点a的 δ邻域,记为 U(a, δ )= {x | a-δ <x< a+δ }= {x | |x-a|< δ} 其中,点a叫做该邻域的中心, δ叫做该邻域的半径。

(2)a的去心的δ邻域,记为 U(a, δ )= {x | 0 <|x-a|< δ }

二、函数的概念
1.函数的定义
定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关

系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M 叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0 有定义.

如果对每一个x ? D, 都有惟一的y ? M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域.

显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系 完全相同时,这两个函数才认为是相同的.

例 f ( x) ? lg x2与g ( x) ? 2lg x是否为同一函数?

2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.

?

?
? ? ?

1. 函数中有分式,要求分母不能为零; 2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方; 3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零; 4. 函数中有三角函数和反三角函数式,要求 符合它们定义域; 5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各 部分定义域的交集。

例1 求下列函数的定义域
1 (1) y ? ? x ? 2; 2 4? x

x ?1 (2) y ? lg ; x?2

x ?1 (3) y ? arcsin ? x ? 1. 3

解(1) 因为4-x2 ? 0, 所以x ? ?2.又因为x ? 2 ? 0, 所以x ? ?2, 因此函数定义域为(-2,2) (2,+?). x -1 (2) 因为 > 0,所以x > 2或x < 1,所以函数定义域为(-?,1) x-2 (2,+?)
(3) 因为-1 ? x+1 ? 1,所以-3 ? x+1 ? 3,即-4 ? x ? 2. 3 又因为x+1 ? 0, 所以x ? ?1,因此函数的定义域为? ?1, 2? .

3.函数与函数值的记号
通常,y是x的函数,记为y = f(x),但若同一问题中,需要讨论几个 不同的函数,就要使用不同的函数记号,例如,F(x),?(x),y(x), ......
函数y = f(x),当x = x0 ? D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .

| x - 2| 例2 若f(x)= , 求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x ?1 |-4| |-2| |a -2| 解 f (2)=0,f (-2)= ? ?4, f (0)= ? 2, f(a)= , -1 1 a +1 |a +b-2| f(a +b)= . a +b+1

4. 函数的表示方法
表示函数的方法,最常用的有以下三种:

(1) 表格法 如对数表,三角函数等; (2) 图像法 用图像表示函数;
(3) 公式法(解析法) 用数学表达式表示自变量与因变量之间 的关系,如y = x a ,y =sinx等;

①显函数 ②隐函数 ③分段函数

y=x+1 ln y=sin(x+y)

在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函 数,即用几个式子合在一起表示一个函数.

求分段函数的函数值时,应将自变量的值代 入相应范围的函数表达式进行计算.

例如,函数f(x)=

?

x , x?0 ? x , x?0

是定义在区间(-?,+?)内的一个函数.当

x ? 0时f ( x) ? x ;当x<0时,f(x)= -x.它的图形如图 1-1 所示.

y ? ?x ( ?3, 3)
?2

y?

x

(4, 2)

f (4) ?

4 ? 2;

f (?3) ? -(-3)=3.
?3

O

4

图1-1 分段函数f(x) 图形

三、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
(1)如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x, 都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;

(2)如果f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x,都有f(-x)= f(x), 则称f(x)为偶函数.

(3)如果函数既非奇函数,也非偶函数,则称f(x)为非奇非偶函数.

奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称,如图1-2所示.
y
y ? f ( x)

f ( x)
?x

A

( ? x, f ( ? x))
A'

y

y ? f ( x)

( x. f ( x))
x

f ( x)

A ( x. f ( x))

O

x

A'

y ? ? f ( x)

( ? x, f ( ? x))
(a)奇函数

?x

O
(b)偶函数

x

x

图 1-2 奇函数与偶函数的图形

例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln ?(-x)+ (-x)2 ? 1 ? ? ln( x 2 ? 1 ? x) ? ?

=ln

( x 2 ? 1 ? x)( x 2 ? 1 ? x) x ?1 ? x
2

? ln

1 x2 ? 1 ? x

=ln( x2 ? 1 ? x)?1 ? ? ln( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x) 所以f(x)=ln( x 2 ? 1 ? x)为奇函数.

2.函数的单调性
如果函数y ? f ( x)在区间(a,b)内随着x的增大而增大(或减少), 即对于(a,b)内任意两x1及x2 ,当x1 ? x2时, 有f ( x1 ) ? f ( x2 )(或f ( x1 ) ? f ( x2 )), 则称函数f ( x)在区间(a,b)内单调增加(或单调减少).在定义 域内单调增加或单调减少的函数,统称单调函数,其中(a,b)叫作函 数f(x)的单调增加(或单调减少)区间,也称单调区间.

单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).

1 例4 证明f(x)= 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x

证 在区间(0,1)内任取两点x1 , x2 , 设0 ? x1 ? x2 ? 1, 则x1 ? x2 ? 0.因为
1 1 x1 ? x2 f(x2 ) ? f(x1 ) ? ? ? ?0 x2 x1 x1 x2
所以 f(x1 ) ? f(x2 )

1 根据函数单调减少的定义, 可知f ( x) ? 在区间(0,1)内是单调减少的函数. x

3.函数的周期性
如果有不为零的实数l 存在, 使得f ( x ? l ) ? f ( x)在f ( x)的定义 域内恒成立, 则称函数f(x)为周期函数.称l是f ( x)的周期, 显然 ? l , ? 2l , ?3l , 期.
一个以l为周期的函数, 它的图形在定义域内每隔长度l相邻区 间上,都有相同的形状,如图1-5所示.
y

? nl也是它的周期, 通常所说的函数的周期是指最小正周

l

y ? f ( x) f (x ? l)
x?l

f (x ? l)
x?l

f ( x)
O
x

f ( x ? 2l )
x

图 1-5 以l为周期的函数图形

4.函数的有界性
设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,如果存在一个正数M ,使得对 于区间(a,b)内的一切x值,对应的函数值f(x)都有 f(x) ? M 成立,则 称f ( x)在区间(a,b)内有界;如果不存在这样的正数M ,则称f(x)在区 间(a,b)内无界.

上述定义也适用于闭区间和无穷区间. 显然, 如果函数y ? f ( x)在区间(a, b)内是有界的, 则它的图形在
(a, b)内必介于两平行线y ? ? M 之间(见图1 ? 7).
y
M

y ? f ( x)
a

O

b

x

?M
图 1-7 函数y=f(x) 图形

四、函数关系的建立
实际问题 指 导 检 验 翻译 预测/解释 假设 简化 研 究 计 算 数学模型

分析

数学结论

例5 某地出租车收费的标准为:3公里以 内8元;超过3公里后,超过部分每公里 1.5元;超过5公里后,超过部分每公里 2.25元。 (1)请写出乘坐出租车路程x公里与收费y 元之间的函数关系式。

(2)当路程为12公里时,收费为多少?

例6 用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒,试将它的表面 积表示为底半径的函数,并求定义域. 解 设罐头筒的底半径为r ,表面积为S ,且其高为h,根据
体积公式和面积公式有:V =? r2 h, S ? 2? r 2 ? 2? rh.

由V =? r2 h得 h=

V 2 代入 S ? 2 ? r ? 2? rh, 可得 2 ?r
2

2V S =2? r ? r
这就是罐头筒的表面积S 与底半径r的函数关 系,其定义域为(0,+?).

h

r

图 1-8 例7示意图

从上面的例子可以看出,建立函数关系时,

首先要弄清题意,分析问题中哪些是变量,哪些是 常量;
其次,分清变量中哪个应作为自变量,哪个作为函 数,并用习惯的字母区分它们; 最后,把变量暂固定,利用几何关系、物理定律或 其他知识,列出变量间的等量关系式,并进行化简, 便能得到所需要的函数关系。 找出函关系式后,一般还要根据题意写出函数的定 义域。

第二节 初等函数
一、反函数 ? 二、基本初等函数
?
?

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数

三、复合函数 ? 四、初等函数
?

一、反函数
定义 设函数y = f(x),其定义域为D,值域为W,对于值域W中的任一数值y, 在定义域D上至少可以确定一个数值x与y对应,且满足关系式f(x) = y. 如果把y作为自变量,x作为函数,则由上述关系式可确定一个新的函数 x =? ( y )或x ? f ( y ),
?1

这个新函数称为函数y ? f ( x )的反函数, 它的定义域为W ,值域为D.
习惯上,自变量用x表示,因变量用y表示,所以反函数常表示为y ? f ?1 ( x).

函数y ? f ( x)的图形与其反函数y ? f ?1 ( x)的图形关于直线y = x对称.

e x ? e? x 例6 求函数y = 的反函数,并写出它的定义域. 2 e x ? e? x 解 因为 y = , 所以e2 x ? 2 ye x ? 1 ? 0, 2

2 2 y ? 4 y ?4 x e ? ? y ? y2 ?1 2

由于e x ? 0, 故取e x ? y ? y 2 ? 1, 于是 x=ln(y + y 2 +1)

所以所求反函数f ?1 ( x) ? ln( x ? x 2 ? 1), 定义域为R.

二、基本初等函数
?

1、幂函数
y ? x? (? 是任意实数),其定义域要依据?的取值而定。 1 通常? =1,2,3,,是比较常用的。 -1 2

?

2、指数函数
x

y ? a (a为常数,且a ? 0, a ? 1),其定义域为(-?, +?)。
当a ? 1时,指数函数y ? a x单调增加; 当0 ? a ? 1时,指数函数y ? a 单调减少。
x

y ? a x与y ? a - x的图形关于y轴对称。

3、对数函数
指数函数y ? a x的反函数称为对数函数,记为 y ? log a x(a为常数,且a ? 0, a ? 1),其定义域为(0, +?)。
当a ? 1时,对数函数y ? log a x单调增加; 当0 ? a ? 1时,对数函数y ? log a x单调减少。
以e为底的对数函数叫做自然对数函数,记为y ? ln x.

4、三角函数
?

(1)正弦函数

y ? sin x, 定义域(-?, +?),值域[-1,1]. 奇函数,l =2? .
?

(2)余弦函数

y ? cos x, 定义域(-?, +?),值域[-1,1]. 偶函数,l =2? .

?

(3)正切函数

y ? tan x, 定义域?x | x ? k? ? ? / 2, k ? Z ?,值域(-?, +?). 奇函数,l =? .
?

(4)余切函数

y ? cot x, 定义域?x | x ? k? , k ? Z ?,值域(-?, +?). 奇函数,l =? .

?

(5)正割函数

1 ? ? ? y ? sec x ? , 定义域 ? x | x ? ? k? , k ? Z ?,值域(-?,-1]? [1, +?). cos x 2 ? ? 偶函数,T=2? .
?

(6)余割函数
1 y ? csc x ? , 定义域 ? x | x ? k? , k ? Z ?,值域(-?,-1]?[1,+?). sin x 奇函数,T=2? .

?

余割函数

5、反三角函数
由于三角函数都不是单调函数,为了得到它 们的反函数,通常将三角函数限定在某个单调区 间内讨论。
?

通常正弦函数y ? sin x取单调区间[-

, ]; 2 2 余弦函数y ? cos x取单调区间[0,? ]; 正切函数y ? tan x取单调区间(, ); 2 2 余切函数y ? cot x取单调区间(0,? ).

? ?

? ?

?

(1)反正弦函数

y ? arcsin x, 定义域[-1,1],值域 arcsin x ?
?

?
2

.

(2)反余弦函数
y ? arccos x, 定义域[-1,1],值域0 ? arccos x ? ? .

?

(3)反正切函数

y ? arctan x, 定义域[-?,+?],值域 arctan x ?
?

?
2

.

(4)反余切函数

y ? ar cot x, 定义域[-?,+?],值域0 ? ar cot x ? ? .

三、复合函数
定义2 如果y是u的函数y = f(u),而u又是x的函数u =?(x), 通过u将y表示成x的函数,即y =f ??(x )? , 那么y就叫作x的复合函 数, 其中u叫作中间变量.

但要注意,函数u =?(x)的值域,应该与函数y = f(u)的定义域有 非空交集,否则复合函数将失去意义.
例如, 复合函数y ? lg u, u ? x ? 1.由于y ? lg u的定义域为(0, ??), 所 以中间变量u = x - 1的值域必须在(0,+?)内.即x应在(1, ??).

由此可知复合函数y ? f ?? ( x)?的定义域应为u =? ( x)的定义域 的子集.

例5 函数的复合 ? 课本21页习题1-2 第2、3题。
?

例6 指出下列复合函数的复合过程(复合函数的分解)

(1) y ? 1 ? x2 ; (2) y ? sin 2 x;(3) y ? arcsin(ln x);(4) y ? 2cos 1 ? x 2 .
解 (1)函数y ? 1 ? x 2 是由函数y= u和u ? 1 ? x 2复合而成的;
(2)函数y ? sin 2 x是由函数y ? u 2和u ? sin x复合而成的; (3)函数y ? arcsin(ln x)是由函数y ? arcsin u和u ? ln x复合而成的;

(4)函数y ? 2cos 1 ? x 2 是由函数y ? 2cos u, u ? v和v ? 1 ? x 2复合 而成的.

四、初等函数
定义4 由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三 角函数等基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数 复合而构成的,并能用一个式子表示的函数,称为初等函数.
1 cos x 例如, y =lgsinx,y ? arcsin , y ? 等都是初等函数. 2 x 1? x

初等函数的基本特征:在函数有定义的区间内,初等函数 的图形是不间断的。

分段函数若可以表示成一个式子,则为初等函数,否则不是.
? x, ? y ? x 2 ? ?0, ? ? x, ? x?0 x?0 x?0

是初等函数, 可以看作是由函数y ? u和u ? x 2复合而成的函数.

? x ? 1, x ? 0 又如,y ? ? 不能用一个式子表示,所以不是初等函数. ? x ? 1, x ? 0

初等函数的应用
?
?

1、投资增值的计算
设P为初始投资,r为年利率,n为按年计算的投资时间, S为n年后的投资增值情况。

?
? ?

(1)单利
(2)复利 (3)连续复利

s ? P(1 ? nr )

s ? P (1 ? r )

n

s ? Pe

rn

?

2、物理学中物质衰变的计算

1 t /T y ? y0 ( ) 2 其中,y0为初始质量(或初始原子数),T为该物质的半衰期, y表示该物质在t时刻剩余的质量(或原子数).
?

书本22页习题1-2第7题

第三节 常用经济函数
一、需求函数
某一商品的需要量是指在一定的价格水平下,消费者愿意 而且有支付能力购买的商品量. 消费者对某种商品的需求由多种因素决定, 诸如消费者收入 的增减、季节的变换等,而商品的价格是影响需求的一个主 要因素。现在假定价格以外的其他因素均为常量,只研究需求 与价格的关系.

设商品的价格为P,需求量为Q,那么Q = f(P)称为需求函数.

需求函数的反函数P = f(Q)称为价格函数.

一般情况下,商品的价格越低,需求量越大; 商品价格越高,需要越小.因此需求函数是单 调减少函数.
依据经济统计数据,常见的需求函数有以下几种类型.

线性函数Q ? a ? bP, (a ? 0, b ? 0); 幂函数Q = kP , (k ? 0, a ? 0);
-a

指数函数Q = ae , (a, b ? 0).
-bP

例9 设商品需求与价格之间的关系为线性关系,当P=3时,Q=46; 当P=6时,Q=42,求该商品的需求函数.

解 该商品的需求函数为Q ? a ? bP, 则

?46=a ? 3b ? ?42 ? a ? 6b 4 解得a ? 50, b ? , 即该商品的需求函数为 3
4 Q=50- P 3

二、供给函数
某一商品的供给量是指在一定的价格水平下,生产者愿意生产 并可供出售的商品量.

供给量也是由多个因素决定的,同样假定价格以外的其他因素不变,则供 给量Q就是价格P的函数.记作 Q =?(P) 称?为供给函数.

一般情况下,商品的价格越低,生产者不愿生产,供给 少;商品价格越高,生产者愿意生产并且能够向市场提供 的多,因此供给函数是单调增加的.

依据经济学中的统计数据,常见的供给函数有以下几种类型.

线性函数Q = a ? bP, (a ? 0,b ? 0) ;
幂函数Q = kP a ,(k,a > 0);

指数函数Q = ae ,(a,b > 0).
如果市场上某商品的需求量恰好等于供给量,则 称此市场处于供需平衡状态,此时的商品价格称为 均衡价格.市场上的商品价格将围绕均衡价格上下 波动.

bp

例10 某地区某天对肉鸡的需求函数为Q=65-9P,供给函 数为Q=5P-5(单位:Q为t ,P为元/kg ). (1)找出均衡价格, 并求出此时的供给量与需求量;

(2)在同一坐标中画出供给与需求曲线,并解释各交点的经济涵义.

(1)市场达到均衡价格时, 供给量与需求量相 等,即 65-9P=5P-5
得P =5元/kg ,此时Q=20t.

(2)供给曲线用AD表示, 需求函数用BC 表示, 如图1-10所示.

各交点的经济涵义:
E点为均衡价格,即价格为5元/kg时, 市场上肉鸡的供需平衡量为20t ;
A点表示当P =1元/kg时,没有养鸡者愿 意在市场上出售肉鸡,供给量为0; 65 B点表示当肉鸡价格涨到P= 时, 没有 9 人愿意购买肉鸡, 需求量为0;
E

Q
C

65

D

20 0

C点表示当肉鸡的价格为0时, 消费者对商 品的需求量为65t ,65t就是该地区对肉鸡的 饱和需求量.

1 5 B P 图 1-10 供需函数

三、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的 总费用,通常分为固定成本和可变成本.固定成本是指支付固定 生产要素的费用,包括厂房,机器设备的折旧费和广告费等记 作C固 ; 可变成本是指支付可变生产要素的费用,包括原材料,能 源消耗和工人工资等,它随着产量的变化而变化,记作C变 (Q).

设某产品的产量为Q,总成本为C,总成本函数记为 C = C(Q)= C固 ? C变 (Q)

例11 已知某商品的成本函数为 Q2 C = C(Q)=200+ 2 求产量Q为多少时,平均成本最小?此时最小平均成本是多少?



C 200 Q 平均成本C ? ? ? ,而 Q Q 2

200 Q 200 Q 200 Q ? ?2 ? ? 20,(当且仅 ? 时, 等号成立). Q 2 Q 2 Q 2
即Q ? 20时, 最小平均成本为20.

四、收益函数
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入, 平均收益是生产者出售一定量产品,平均每出售单位产 品所得到的收入,即单位产品的售价.
用Q表示出售的产品数量, R表示总收益, R表示平均收益, 则

R ? R(Q), R ?

R(Q) Q

如果产品价格为P, 则
R(Q) ? PQ R?P

五、利润函数
利润是生产中获得的总收益与总成本之差即 . L(Q)= R(Q)- C(Q)

例12 已知某产品的需求函数为P=10 ? C ? 50 ? 2Q, 求产量多少时总利润L最大?

总收益

Q 5

, 成本函数为

Q2 R = R(Q)= PQ=10Q5

总利润

Q2 L = R - C = 10Q? 50 ? 2Q 5

Q2 1 =8Q? 50 ? ? (Q ? 20) 2 ? 30 5 5 所以, Q ? 20时取得最大利润, 最大利润为30



课本29页习题1-3第6题

六、贴现
贴现:票据的持有人,为在票据到期以前获得 资金,从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到剩余金额的现金称为贴现。 ? 现值:储蓄的钱如果考虑贬值的因素,未来某 一时点上一定量资金折合成现在时点的价值就 叫做现值。 ? 未来值:现时的资金增长至将来的价值,资金 增长以复利计算。
?

利用复利公式sn ? P (1 ? r ) n ,得到第n年后价值为R元的现值为 R p= n (1+r) 其中,R表示第n年后到期的票据金额,r 表示贴现率, p表示现在进行贴现时银行付给的贴现金额.

若票据持有者手中持有多张不同期限及不同面额 的票据,且每张票据的贴现率相同,则一次性向 银行转让票据时所获得的金额为

Rn R1 R2 p =R0 ? + +……+ 2 n (1+r)(1+r) (1+r)
其中,R0为已到期的票据金额,Rn为n年后到期的票据金额.

例 某人手中持有一年到期的面额为300元和5年 到期的700元的两张票据,银行贴现率为7%, 若现在去银行进行一次性票据转让,银行所 付的贴现金额为多少?

R5 R1 + 解: p = 5 (1+r)(1+r)
300 700 ? + ? 779.46(元) 5 (1+7%)(1+7%)

思考题 1.判断两个函数是否相同的关键是什么?

答案 答案

2.有界函数的界是否唯一?

3.思考复合函数的定义,在什么情况下复合函数将失去意义?

答案

课堂练习题
1 ? ?sin 1. 求函数y = ? x ? ?0

x≠0 x=0

的定义域和值域.

答案

2. 求y =

1-x 的反函数. 1+x

答案

x 2 ,0 ? x ? 1
3、设( ? x+1) =

2x,1 ? x ? 2

求( ? x).

答案

作业1
3 ? 2x 1、求函数y ? 3 ? x ? arcsin 的定义域. 5

x ?[?1,3]
奇函数

2、判断函数y ?

的奇偶性. 1+x ? x ? 1
2

1+x 2 ? x ? 1

3、课本14页习题1-1第4题.
原函数在(0,+?)内单调递增.

4、课本29页习题1-3第7题.

第四节 极限
极限是研究自变量在某一变化过程中函数的变化趋势的工具。 函数极限的概念是在数列极限的基础上发展起来的。因此, 在研究 函数的极限之前, 先研究它的特殊形式--数列的极限.

§4.1 数列的极限
一、数列极限的定义
按一定次序排列的无穷多个数x1,x2,x3……,xn ……, 称为无穷数列,简称数列,简记为{xn }. xn 称为通项,n称为xn的下标.
数列可以看成是定义在自然数集上的函数, 记为xn ? f (n), n ? 1, 2, 对应的函数值就排成数列{x n } .

下面进一步研究当自变量n无限增大时,数列xn ? f (n)的变化趋势, 请看下面三个数列.

3 4 n ?1 (1)2, , , , , 2 3 n 1 4 n ? (?1) n ?1 (3)2, , , , , 2 3 n

1 1 1 1 (2)- , ? , ? , , ? n , 2 4 8 2

为观察各数列的变化情况, 将它的前几项分别在数轴上表示出来图1 ? 14
? n+1 ? ? ? n ? ?
0
1

? 1? ?? n ? ? 2 ?
? n ? ( ?1) n ?1 ? ? ? n ? ?

5 4 4 3 ? 1 4 1 2 ?

3 2

2

x (1) x (2)

?

1 2

1 1 1 0 ? ? 8 16 32
2

0

3 4

1

6 5

x (3)

图 1-14 三个数列的变化趋势

由图可知, 当n无限增大时, 表示数列(1)的点逐渐密集在x=1的 ? n+1 ? 右侧,即数列 ? ? 无限接近1;表示数列(2)的点逐渐密集在x ? n ? ? 1? ? 0的左侧, 即数列 ?? n ? 无限接近于0;表示数列(3)的点逐渐密 ? 2 ? ? n+(-1)n -1 ? 集在x=1的附近,即数列 ? ? 无限接近1. n ? ?

归纳三个数列的变化趋势可知,当n无限增大时,xn 均分别 无限接近一个确定的常数.一般地,有下述定义.

定义1 数列? xn ?当n无限增大时, xn 值无限接近于一个确 定的常数A,那么A就叫作数列? xn ?当n ? ?时的极限, 或称 数列? xn ? 收敛于A,记作 lim xn ? A 或 n ? ?时, xn ? A 或 xn ? A(n ? ?)
n ??

如果一个数列没有极限,就称该数列是发散的。
n ?1 因此, 数列(1)的极限为1, 记作 lim ? 1; 数列(2)的极限为 n ?? n n ? (?1) n ?1 ? 1 ? 0,记 lim ? ? n ? ? 0; 数列(3)的极限为1, 记作 lim ? 1. n ?? n ?? n ? 2 ?

例1 观察下列的通项变化趋势,写出它们的极限
1 1 (1) xn ? ; (2)xn ? 2 ? 2 n n (3)xn ? 1 ? (?1) n 1 n (4)xn =-3

n
(1) xn ?

1
1 n

2
1 2
2?
1?

3
1 3
1 1? 1 3 2

4
1 4

??
?0

1
2-1

1 (2)xn ? 2 ? 2 n
(3)xn ? 1 ? (?1)n 1 n

1 1 2? 4 9

0 -3
表1 ? 2

1 16 1 1? 4 2?

?2

?1
? ?3

(4)xn =-3

-3

-3

-3

四个数列的变化趋势

由表中各个数列的变化趋势,根据数列极限的定义可知:
1 ? ? (2)lim xn ? lim ? 2 ? 2 ? ? 2; n ?? n ?? n ?? n ? ? 1? ? (3) lim xn ? lim ?1 ? (?1) n ? ? 1; (4)lim xn ? lim(?3) ? ?3. n ?? n ?? n ?? n ?? n? ? (1) lim xn ? lim 1 ? 0; n ?? n

通过以上例题,可以推得以下常用极限: 1 (1) lim ? ? 0,(? ? 0); n?? n
n (2)lim q ? 0,( q ? 1); n??

(3)lim c ? c,(c为常数). n??

定义2 设有数列? xn ? 和常数A,若对于任意给定的正数(不论它多么小), ? 总存在正整数N,使得对于n ? N时的一切xn ,不等式 xn -A < ? 都成立,则称常数A是数列? xn ?当n ? ?时的极限, 或称数列? xn ? 收敛于A, 记作 lim xn ? A 或 n ? ?时, xn ? A 或 xn ? A(n ? ?)
n ??

如何运用定义2论证数列{x n }的极限为A?

? -N 论证法
步骤: (1)任意给定正数?; (2)由 xn ? A ? ? 开始分析倒推,推出n>?(? ); (3)N ? ??(? )?,再用? -N 语言顺述结论。



2n ? 3 2 用? -N 论证法证明 lim ? . x ?? 3n 3

解: 根据定义,任意给定正数?,只要存在正整数N,使得对于n>N时的一切xn,
2 2n ? 3 2 xn ? ? ? 都成立,那么就有 lim ? . x ?? 3 3n 3

2n ? 3 2 1 xn ? A ? ? ? 3n 3 n
2 1 1 1 要使 xn ? = ? ? 都成立,只要n> ,取N ?[ ]既可. 3 n ? ?

2n ? 3 2 所以, lim ? . x ?? 3n 3

二、数列极限的四则运算
数列极限四则运算法则:
设有数列? xn ? 和? yn ? ,且 lim xn =a,lim yn =b,则
n ?? n ??

(1)lim (xn ? yn )= lim x ? lim y =a ? b n ?? n ?? n n ?? n

(2) lim( cxn ) ? c lim x ? ca,(c为常数); n ?? n ?? n
(3) lim( xn yn ) ? lim x lim yn ? ab; n ?? n ?? n n ??
x xn lim a n ?? n (4) lim ? ? , (b ? 0). n ?? yn lim yn b n ??

例2 已知 lim xn ? 5, lim yn ? 2, 求:
n ?? n ??

yn (1)lim 3xn ; (2)lim ; n ?? n ?? 2

yn ? ? (3)lim ? 3 xn ? ? ; n ?? 2 ? ?



(1) lim3 xn ? 3lim x ? 15; n ?? n ?? n
yn 1 (2) lim ? lim yn ? 1; n ?? 2 2 n??
yn ? yn ? (3) lim 3 x ? ? lim 3 x ? lim ? 14. n ? n ?? n n?? n ?? ? 2? 2 ?

例3 求下列各极限.

1 3 ? 3n2 ? n ? 1 ? (1) lim ? ?1 ? ? 2 ? ; (2)lim . 2 n ?? n ?? n n ? 2?n ? ? 1 3 ? ?1 ? ? 解 (1) nlim ? ?? ? 2 n n ? ?
1 3 ? lim ( ? 1) ? lim ? lim 2 ? ?1 ? 0 ? 0 ? ?1 ; n ?? n ?? n ?? n n 1 1 3? ? 2 2 3n ? n ? 1 lim n n (2) lim = n?? 2 2 n ?? 2?n ?1 2 n 1 1 lim3 ? lim ? lim 2 n?? n?? n?? 3?0? 0 n n ? ? 3. ? 2 0 ?1 lim 2 ? lim1 n?? n n??

三、无穷递缩等比数列的求和公式
等比数列a1 , a1q, a1q 2 , , a1q n?1 , 当 q ? 1时,称为无穷递缩等比 数列,现在来求它的前n项和Sn当n ? ?时的极限.
a1 (1 ? q n ) 因为Sn ? , 所以 1? q
a1 (1 ? q n ) a1 n lim S ? lim ? lim lim(1 ? q ) n n ?? n ?? n ?? n ?? 1? q 1? q

a1 = lim1 ? lim q n n ?? 1 ? q n??

?

?

因为 q ?1 时,lim qn ? 0,所以 n??
a1 (1? 0) ? a1 lim S ? n?? n 1? q 1? q

把无穷递缩等比数列的前n项和当n ??的极限,叫作这个无穷 递缩等比数列的和,并用符号S 表示,因此有公式S= a1 . 1- q

这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.

1 1 1 例4 求等比数列1,- , , ? , 2 4 8

的前n项和Sn和S .



已知等比数列是一个首项a1 ?1,公比q ?? 1的无穷递缩比数列, 2 根据前n项和公式 n
? 1? 1 ? ? ? n n ? ? a1 (1 ? q ) 2 1 2? ? ? ? ? Sn ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 1? q 3? ? ? 2? ? ? 1? 2

根据无穷递缩等比数的求和公式 a 1 2 1 S ? lim S ? ? ? n ? ? n 1? q 1? 1 3 2

?

等差数列通项公式

an ? a1 ? ? n ?1? d
?等差数列求和公式

(a1 ? an )n sn ? 2

四、数列极限的性质
(1)唯一性 如果一个数列有极限,则此极限是唯一的. (2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的有限项项数无关.

(3)有极限的数列一定有界,有界数列不一定有极限,无界数列 一定无极限.

?1 ? 例如, 数列 ? ? , ??3? 等有极限则有界; 数列?1+(-1)n ? 虽有界, 但 ?n? 无极限;数列?2n ? 1? 是无界的, 所以无极限.

思考题
n 1.当 q ? 1, 或 q ? 1, lim q 是否存在? n ??

答案 答案

2.请说出数列极限的一些重要性质,并加以理解.

1? ? 3.根据数列极限定义说明数列 lim xn ? lim ? 2 ? ?的变 n ?? n ?? n? ? 化趋势. 答案

课堂练习题
? 3n ? 1 1 ? 1.求极限 lim ? 2 ?; n ?? ? ? 2n ? 1 n ?

答案

2.求极限 lim n ??

1? 2 ? 3 ? n
2

? ? n ? 1?

.

答案

§4.2 函数的极限
上一节讨论了数列{xn }当n ? ?时的极限, 现在讨论一般函数 y ? f ( x)在自变量x的某个变化过程中有什么样的变化趋势, 即函数的极限问题.自变量的变化趋势分为以下两种情况.

(1) x ? ?,即自变量x的绝对值无限增大.如果x现在从某一时刻 起只取正值且无限增大,记作x ? ??; 如果从x某一个时刻起只取 负值而其绝对值无限增大,则记为x ? ??;
(2) x ? x0 ,即自变量x无限趋近于定值x0 , 但不等于x0 , 如果x只 取比x0大的值且趋向于x0 , 记作x ? x0 ? ; 如果x只取比x0小的值且 趋向于x0 , 记作x ? x0 ? .

一、当x ? ?时,函数f ( x)的极限
定义1 如果当x ? ??(或x ? ??)时, 函数f ( x)无限接近于一 个确定的常数A, 那么称A为函数f ( x)当x ? ??(或x ? ??)时极限 记作
x ??? x ???

lim f ( x) ? A, 简记 f ( x) ? A (x ? ??) ,

(或 lim f ( x) ? A, 简记 f ( x) ? A (x ? ??).

定义2 如果当x的绝对值无限增大(即x ? ?)时,函数f ( x) 无限接近于一个确定的常数A, 那么称A为函数f ( x)当x ? ? 时极限, 记为 lim f ( x) ? A 或 f ( x) ? A (x ? ?) .
x ??

1 先考察当x ? ?时, 函数f ( x) ? 的变化趋势. x
由图1 ? 15可以看出,当x取正值且无限增大即x ? ??时, 函数 1 f ( x) ? 的值无限接近于常数0;当x取负值且其绝对值无限增大即 x 1 x ? ??时, 函数f ( x) ? 的值也无限接近于常数0.因此, 当x的绝对值 x y 无限增大时, f ( x)的值无限接近于0.

由上述定义可知, lim 1 即 lim ? 0. x ?? x

1 1 ? lim ? 0, x ??? x x ??? x

O

x

图1 ? 15 x ? ?时f ( x) ?

1 变化趋势 x

再考察当x ? ?时,函数f ( x) ? lim arctan x的变化趋势.
x ??

y

如图1 ? 16所示,
x ???

?
2

y ? arctan x
x
?

lim arctan x ?

?
2

, lim arctan x ? ?
x ???

?
2

O
? 2

因为 lim arctan x ? lim arctan x
x ??? x ??? x ??

图1 ? 16 x ? ?时f ( x) ? arctan x变化趋势

所以,当x ? ?时,函数f ( x) ? lim arctan x的极限不存在.

由以上两例可以看出,如果 lim f ( x)和 lim f ( x)都存在并且相
x ??? x ???

等,那么lim f ( x)也存在并且与它们相等;即使 lim f ( x)和 lim f ( x)
x ?? x ??? x ???

都存在, 但不相等, 那么lim f ( x)也不存在.
x ??

定理1

lim f ( x)=A的充分必要条件是 lim f ( x)= lim f ( x)=A.
x ?? x?+ ? x ???

二、当x ? x0时,函数f ( x)的极限
先看下面的例子:

1 考察x ? 2时函数f ( x) ? x ? 2变化趋势(见图1-18) 2
y

当x从左侧无限接近于2时,若x取1.99,1.999, 1.9999, 2.99995, ? 2时, 对应的函数f ( x)从2.995, 2.9995, ? 3;当x从右侧无限接近于2时, 若x取 ? 2时, 对应的函数f ( x) ?3
O
3
2

y?

1 x?2 2

2.1, 2.01, 2.001, 2.0001,

从3.05,3.005,3.0005,3.00005

1 由此可知,当x ? 2时,函数f ( x) ? x ? 2的值 2 无限接近于3.

2

x

图1 ? 18 x ? 2时,f ( x) ? 1 x ? 2的变化趋势 2

定义3 设函数f ( x)在点x0的左右近旁有定义(点x0可除外), 如果 当x ? x0时,函数f ( x)无限接近于一个确定的常数A, 那么A就叫作 函数f ( x)当x ? x0时的极限,记作 lim f ( x) ? A或当x ? x0时, f ( x)
x ? x0

? A.( x从左右两侧趋于x0 )

由定义可知,研究函数的极限只考虑x无限接近于x0时 的变化趋势,而与f ( x)在x0是否有定义无关.

x 可由定义表示为 lim f ( x) ? lim( ? 2) ? 3. x ?2 x ?2 2

例3 观察并写出下列函数的极限:
(1) lim(2 x ? 1); (2)lim sin x; (3)lim cos x (4)lim c, (c为常数) (5)lim x.
x? 1 2 x ?0 x ?0 x ? x0 x ? x0

1 x ? 1) 解 (1)如图 1-19 所示,当x无限接近 时, 2 x ? 1 ? 2, 所以lim(2 1 x? 2 2 ? 2. 如图1-20 所示, 用单位圆表示 sin x, cos x, 取?AOB ? x, 则
sin x ? AB, cos x ? OB, 当x ? 0时, AB无限接近于0, OB无限接 近1, 所以 (2) limsin x ? 0;
(3) lim cos x ? 1;
x ?0
x ?0

(4)设f ( x) ? c, 当x ? x0时, f ( x)恒为c, 所以 lim c ? c;
x ? x0

(5)设g(x)=x,当x ? x0时, g(x)的值无限趋近于x0 , 所以 lim x ? x0
x ? x0

y 2

y ? 2x ? 1
A R ?1
x sin x B

O

cos X C

O 0.5
图1-19 例3(1)示意图

x

图1-19 例3(1)示意图

三、左极限与右极限
上述讨论的当x ? x0时函数的极限中,x既从x0的左侧无限趋近
? 于x0 (记x ? x0 ? 0或者x ? x0 ), 也从x0右侧无限趋近于x0 (记x ? x0 ? ? 0或者x ? x0 ), 当x从单侧无限趋近于x0时有以下定义

定义4 当自变量x ? x0 ?时,函数f ( x)无限接近 于一个确定的常数A, 则称A为函数f ( x)当x ? x0时的 左极限,记为 lim? f ( x) ? A.
x ? x0

当自变量x ? x0 ?时,函数f ( x)无限接近 于一个确定的常数A, 则称A为函数f ( x)当x ? x0时的 右极限,记为 lim+ f ( x) ? A.
x ? x0

x ?x ? 函数f ( x) ? ? 2当x ? 2时的左极根为f (2 ) ? lim- f ( x) ? lim- ? ? 2 ? ? 3, x ?2 x ?2 ? 2 2 ? ?x ? 右极限为f (2 ) ? lim+ f ( x) ? lim+ ? ? 2 ? ? 3, 即f (2- ) ? f (2+ ), 它们都又 x ?2 x ?2 ? 2 ? x 等于函数f ( x) ? ? 2当x ? 2时的极限. 2
+

由左右极限定义, 容易得到,函数f ( x)当x ? x0时, 极限 存在的充分必要条件是它的左极限和右极限都存在并 且相等,即f ( x0- ) ? f ( x0 ? ) ? A ? lim f ( x) ? A
x ? x0

? x ? 1, x ? 0 ? 例4 讨论函数f ( x) ? ?0, x=0, ? x ? 1,x ? 0 ?


当x ? 0时的极限.
y

y ? x ?1
1

作此分段函数图形,由图可知函数f ( x)当x ? 0时 右极限为f (0? ) ? lim? f ( x) ? lim? ( x ? 1) ? 1, 左极限
x ?0 x ?0

O
?1

x

为f (0 ) ? lim? f ( x) ? lim? ( x ? 1) ? ?1,因为当x ? 0时
x ?0 x ?0

?

y ? x ?1

函数f ( x)左右极限虽存在但不相等, 所以 lim f ( x)不存
x ?0

在(见图1 ? 21).

图1 ? 21 例4示意图

x2 ?1 例5 讨论函数y ? 当x ? ?1时极限. x ?1


y

函数的定义域为(-?,-1) (-1,+?).因为 x2 ?1 x ? ?1, 所以y ? ? x ? 1, 如图1-22所示. x ?1
?1

x2 ? 1 y? x ?1
O

x

x2 ?1 由图可知,lim ? ?2.这时必有左右极限 x ??1 x ? 1 存在且相等.

?2
图1 ? 22 例5示意图

四、函数极限的性质
(1) 唯一性 如果函数f(x)的极限存在, 则极限唯一.
(2) 有界性 如果 lim f ( x) ? A, 则函数f ( x)必在点x0的 x? x
0

某个去心邻域内有界,即有极限的函数局部有界性.
(3) 保号性 如果 lim f ( x) ? A, 且A ? 0(或A ? 0), 则在点x0的某一
x ? x0

去心邻域内恒有f ( x) ? 0(或f ( x) ? 0).
推论1 如果 lim f ( x) ? A, 且在x0的某一去心邻域内恒有f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0?,
x? x0

则A ? 0( A ? 0).
注意 : x ? ?的情形, 上述定理亦成立.本定理常用来求极限.

思考题

1.理解记号f ? x0 ? ? , f ? x0 ? ?的含义及其与极限的关系.

答案

2.请说出函数极限的几个基本性质.

答案

3、若f ( x) ? 0, 且 lim f ( x)=A, 那么能否保证有A>0的结论?

课堂练习题
3 ? ? 1 1.计算极限 lim ? . 3 ? x ?1 ? ? 1? x 1? x ?

答案

x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3? ? 2.计算极限 lim .
x ??

答案

5 x3

作业2
3n ? 1 3 1、用? -N 论证法证明 lim ? . n ?? 4n ? 1 4 2、课本36页习题1-4第2题. 3、课本36页习题1-4第3题.

第五节 极限的运算
§5.1 极限的运算法则
设 lim f ( x) ? A, lim g ( x ) ? B, 则 x? x x? x

(1) lim f ( x) ? lim g ( x) ? A ? B; ? f ( x) ? g ( x)? ? lim x? x x? x x? x
0 0 0

0

0

(2) lim f ( x) lim g ( x) ? AB; ? f ( x) g ( x)? ? lim x? x x? x x? x
0 0 0

lim cf ( x) ? c lim f ( x) ? cA;(c为常数) x? x x? x
0 0

f ( x) A f ( x) lim x ? x0 (3) lim ? ? , ( B ? 0); x ? x0 g ( x) lim g ( x) B x? x
0

(4) lim ? f ( x) ? ? ?lim f ( x) ? ? An . x ? x0 ? x ? x0 ?
n

n

2 例1 求 lim( x ? 2 x ? 1). x ?1 2 2 lim( x ? 2 x ? 1) ? lim x ? lim 2 x ? lim1 =1+2+1=4. x ?1 x ?1 x ?1 x ?1



一般有 lim ? a0 x n ? a1 x n?1 ?
x? x0

? an ? ? a0 x0 n ? a1 x0 n?1 ?

? an

x2 ?1 例2 求 lim 3 . x ?2 x ? x?2
解 因为lim( x3 ? x ? 2) ? 0, 所以可以应用法则.
x ?2



x ?1 22 ? 1 3 lim 3 = = 3 = 3 x ?2 x ? x ? 2 lim( x ? x ? 2) 2 ? 2 ? 2 8
2 x ?2

2 lim( x ? 1) x ?2

x ?3 例3 求 lim 2 . x ?3 x ? 9

解 当x ? 3时, 分母的极限为0, 不能直接应用运算法则, 但在x ? 3过
去分式中的不为零的公因子.
x ?3 1 1 1 ? lim ? ? x ?3 x 2 ? 9 x ?3 x ? 3 3 ? 3 6 ?? 1 ?? 1 ?? 例4 lim ?? 2 ? ??1 ? 2 ? ? . x ?? x ?? x ? ? ?? 所以 lim

程中,由于x ? 3,即x ? 3 ? 0, 而x ? 3又是分子分母的公因子, 故可先约



?? 1 ?? 1 ?? 1? 1? ? ? lim ?? 2 ? ??1 ? 2 ? ? ? lim ? 2 ? ? lim ?1 ? 2 ? x ?? x ?? x ? ? x ?? ? x ? x ?? ? x ? ??

? (2 ? 0)(1 ? 0) ? 2

x3 ? 4 x 2 ? 2 例5 求 lim 3 . x ?? 2 x ? 5 x 2 ? 1

解:
因为当x ? ?时,分子,分母的绝对值无限增大,所以不能 直接应用商的极限运算法则.因为x ? ?,所以用无穷小因 子分出法,分子和分母同时除以分母中自变量的最高次幂, 使分母的极限存在且不为零,然后利用极限运算法则,得 4 2 1? ? 3 3 2 x ? 4x ? 2 x x 1-0+0 1 ? lim lim 3 ? ? 2 x ?? x ?? 5 1 2 x ? 5x ?1 2+0-0 2 2? ? 3 x x

2x 2 ? 2 x ? 1 例6 求 lim 3 . 2 x ?? 2x ? x ? 1
解:

2 2 1 ? 2? 3 2x ? 2 x ? 1 x x x ? 0-0-0 ? 0 lim 3 ? lim x ?? 1 1 2x ? x 2 ? 1 x ?? 2-0+0 2? ? 3 x x
2

2 x3 ? x 2 ? 5 例7 求 lim . 2 x ?? x ?3

5 2x ?1 ? 2 2x ? x ? 5 x ?? 解: lim ? lim x ?? x ?? 3 x2 ? 3 1? 2 x
3 2

归纳例5, 例6, 例7得以下一般结论,即当a0 ? 0, b0 ? 0时,
? a0 ? b , ( n ? m) 0 ? ? am ? ? ?0, ( n ? m) ? bn ? ?, ( n ? m ) ? ? ?

a0 x ? a1 x ? a2 x ? lim x ?? b x n ? b x n ?1 ? b x n ? 2 ? 0 1 2
m

m ?1

m?2



12 ? ? 1 例8 lim ? ? 3 ?. x ??2 ? x ? 2 x ?8?

1 12 因为当x ? ?2时, 和 3 都是无穷大,所以不能直接应用 x ? 2 x ?8 差的极限法则.但在x ? ?2时,
1 12 ( x 2 ? 2 x ? 4) ? 12 x2 ? 2x ? 8 ? 3 ? ? 2 x ? 2 x ? 8 ( x ? 2)( x ? 2 x ? 4) ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4)

( x ? 2)( x ? 4) ( x ? 4) ? ? 2 2 ( x ? 2)( x ? 2 x ? 4) ( x ? 2 x ? 4)
12 ? x?4 ?2 ? 4 1 ? 1 所以 lim ? 3 ? ?? ? ? lim 2 x ??2 ? x ??2 ( x ? 2 x ? 4) 4 ? 4 ? 4 2 ? x ? 2 x ?8?

例9


? 1 2 求 lim ? 2 ? 2 ? n ?? n n ?

n? ? 2 ?. n ?

2 , , n 极限都为0,但却不是有限 显然n ? ?时,各项 1 , n2 n2 n2 个项的和,不能使用运算法则而需将原式变形为

1 2 ? 2? 2 n n
所以

n 1? 2 ? 3 ? ? 2? n n2

(1 ? n)n ?n 1? n 2 ? ? 2 n 2n

n? 1? n ?1 2 ? 1 1? 1 lim ? 2 ? ? 2 ? ? lim ? lim ? ?? n?? ? 2 n?? n?? ? n ? 2n ?n n ? 2n 2 ? 2

例10

求 lim
x ?4

x?4 . x ?5 ?3

解 当x ? 4时,分母的极限趋于0,不能直接使用商的极限运算法则, 但可采用分母有理化消去分母中趋向于0的因子.

lim
x ?4

x?4 (x ? 4)( x ? 5+3 ) = lim x ? 5 ? 3 x ?4 ( x ?5 ?3 )( x ? 5+3 )

(x ? 4)( x ? 5+3 ) = lim = lim ( x ? 5+3 ) =6 x ?4 x ?4 x-4

复合函数的极限运算法则
设函数y ? f [g ( x)]是由函数y =f (u )与函数u =g ( x)复合而成,若
x ? x0

lim g ( x) ? u0, lim f (u ) ? A
u ? u0

且在x0的某去心邻域内有g ( x) ? u0,则
x ? x0

lim f [g ( x)] ? lim f (u ) ? A
u ?u0

例11

函数y ? f [ g ( x)]是由函数y ? ( f u)= sin u

x ?1
和函数u ? g (x)=

x?0
复合而成,

x ?1
求 lim f [ g ( x)].
x ?0

x?0

解: 因为 lim- g ( x)= lim ( x+1) =1, lim+ g ( x)= lim ( x-1) = -1 +
x ?0 x ?0 x ?0 x ?0
x ?0

lim- g ( x) ? lim g ( x), 所以 lim g ( x)不存在. +
x ?0 x ?0

所以 lim f [ g ( x)]的极限不存在.
x ?0

例12

求 lim 2 .
x ??

1 x

1 解 复合函数是由u =g ( x) ? 和y ? f (u ) ? 2u 复合而成, x

1 lim g ( x)= lim =0 ? u0 x ?? x ?? x

则 lim f (u) ? lim f (u)= lim 2 ? 1,
u u ?u0 u ?0 u ?0

所以 lim 2 = lim 2u ? 1
x ?? u ?0

1 x

思考题
3 ? ax 1.已知 lim ? 2则常数a为何值. x ?? 2 ? 3x

答案

2、已知 lim (5x ? ax 2 ? bx ? c)=2, 求a、b值.
x ??
2 3.求 x lim x ( 1 ? x ? x ) ?+ ?

§5.2 极限存在准则
准则1 夹逼准则 如果函数f ( x),g ( x),h( x)在同一变化过程中满足g ( x) ? f ( x) ? h( x), 且
x ? x0

lim g ( x) ? A, lim h( x) ? A,则 lim f ( x)存在, 且 lim f ( x) ? A.
x ? x0 x ? x0 x ? x0

准则2

单调有界准则

单调有界函数必有极限.

例 利用夹逼准则求 lim(
n ??

1 n ?1
2

?

1
1
2

解: 设xn ?

1 n ?1 1
2

n ?n 1 n 因xn ? ? ? ……+ = n2 ? n n2 ? n n2 ? n n2 ? n 1 1 1 n xn ? ? ? ……+ = n2 ? 1 n2 ? 1 n2 ? 1 n2 ? 1
2

?

1 n ?2 1

n ?2
2

? ……+

1 n ?n
2

).

? ……+




lim n n ?n
2

n n2 ? n
1 1? 1 n

? xn ?
n ??

n n2 ? 1
n n ?1
2

n ??

= lim

n ??

? 1, lim

= lim

1 1? 1 n2

n ??

?1

由夹逼准则得 lim xn = lim (
x ?? x ??

1 n ?1
2

?

1 n ?2
2

? ……+

1 n ?n
2

) =1

§5.3

两个重要的极限

sin x 一、 lim ?1 x ?0 x

取如图1 ? 23所示的单位圆设圆心角 . ?AOB ? x,(0 ? x ? ? ). 2 作AC ? OB, 过A作切线与OB的延长线交于D,于是?AOB的面积 ? 扇形AOB的面积 ? ?AOD的面积.
A

即1 sin x ? 1 x ? 1 tan x,sin x ? x ? tan x 2 2 2

1 x

D

由于sin x ? 0,上式除以sin x,就有
1< x ? 1 或者cos x ? sin x ? 1 x sin x cos x

O

C

B

图1 ? 23 单位圆

这一关系是当0 ? x ? ? 时得到的,而当用? x代x 2 sin x ? 时,cos x与 都不变号, 所以当 ? ? x ? 0时上 x 2 述结论 cos x ? sin x ? 1也是成立的. x

因为 limcos x ? 1,lim1 ? 1,
x ?0 x ?0

sin x 所以由夹逼性质,得 lim ?1 x ?0 x

sin x lim ? 1的其他形式. x ?0 x

sin ? ( x) 若 lim ? ( x) ? 0, 且? ( x) ? 0,则 lim =1. x ? x0 x ? x0 ? ( x)

例1 求 lim
x ?0

sin 2 x . x


lim
x ?0

sin 2 x sin 2 x sin 2 x ? lim ? 2 ? 2 lim , 设t ? 2 x当x ? 0时, t ? 0. x ?0 x ?0 x 2x 2x lim
x ?0

所以

sin 2 x sin t ? 2lim ? 2 ?1 ? 2 t ?0 x t

例2


tan x lim . x ?0 x

sin x? 1 ? ? lim sin x ? lim 1 ?1. x ? lim ? lim tan ? ? ? x?0 x x cos x x?0 x x?0? x?0 cos x ? ?

例 3 求 lim 1?cos x. x?0 x2

2 x 2 x 2sin 2sin x ? lim 2 ? lim 2 lim 1?cos 2 2 x?0 x x?0 x x?0 ? x ?2 4?? ? ? 2? 2 x sin 1 2 ? 1 ?12 ? 1. = lim 2 x?0 2 ? x ?2 2 ? ? ? 2?

tan 5 x 例4 求 lim . x?0 sin 3 x



sin 5 x 1 tan 5 x lim ? lim ? x?0 sin 3 x x?0 cos 5 x sin 3 x ? lim
x ?0

sin 5 x 5x

?

? ? sin 3 x 3 cos 5 x

3x

5

1

sin 5 x 3x 1 5 = lim ? lim ? lim x?0 x?0 3 x?0 5x sin 3 x cos 5 x 5 5 = ? 1 ? 1 ? 1= 3 3

例5 求lim cos? .
? ??

?



?? ? sin ? ? ? ? cos ? ?2 ?. 所以 lim ? lim ? ? ? ?? ? ?? 2 2 ?? ?? 2 2
设t ?

? ? 因为 cos ? ? sin(? + ) =sin[? -(? + )] ? sin( ? ? ), 2 2 2
?

2

2

??

?
2

? ? ,当? ?

?
2

时, t ? 0, 则 lim ?
??
2

?

cos ? 2 ??

? lim
t ?0

sin t ? 1. t

二、 lim 1? 1 x ?e
? ? x?? ? ? ? ? ? ?

x

其他形式:

1 ? ?z 若设z ? 1 , 则当 x ?? 时 , z ? 0 , 于是有 lim 1 ? z ? ? e. z?0 ? x ? ?

1 ? ( x) 若 lim ? ( x) ? ?, 则 lim (1+ ) =e. x ? x0 x ? x0 ? ( x)

? 1? 例6 求极限 lim ? 1 ? ? . x ?? ? x?
解 令t ? ? x, 则x ? ?t ,当x ? ?时, t ? ?, 从而

x

?1 ?t t ?? 1 ? ? ? 1? ? 1? lim 1 ? ? ? lim 1 ? ? ? lim ? ? 1 ? ? ? x?? ? t ?? ? ? x? ? t ? t ?? ? ? t ? ? ? ?

x

? lim
t ??

t ? 1? ?1? t ? ? ?

1

1 ? t ?e ? 1? lim 1 ? ? ? t ?? ? t?

1

例7 求极限lim 1+cotx
? ? ? x? ? 2

? ? ?

tan x

.

解 设t ? cot x, 当x ?
x?

?

所以 lim ?1+cotx ? ?
2

2 tanx
? ? ? ? x? 3 2

时,t ? 0.
= lim ?1+t ? =e. t ?0
1 t

例8 求极限lim 2x ?1 2x ?1
? ? x?? ? ?

.
x? 3 2

? 2x ?1 ? 解 lim ? x ?? ? 2 x ? 1 ? ?

x?

3 2

? 2x ?1? 2 ? ? lim ? ? x ?? 2 x ? 1 ? ?

2 ? ? ? lim ?1 ? ? x ?? 2 x ? 1 ? ?

x?

3 2

设t ?? 2 ,则x ?? 1 ?1,由于当x ??时,t ? 0, 2x ?1 2 t
所以lim 2x ?1 2x ?1
? ? x?? ? ? ? ? ? ? x? 3 2

? lim(1 ? t) ? lim (1? t)(1? t) t ?0
? ?

1?1 t

? lim(1 ? t) ??(1? t) t ?0

? ? t ?0 ? ? ? ?1 1? t? ? ?

1? ? ? t ? ? ?

? e?1

例8 连续复利公式S=Pern的推导.
设初始投资为P,年利率为r,按复利付息,若一年分m次付息, r mn 则第n年末的本金和为 Sn =P (1+ ) . m

r 当m ? ??时, ? 0, m

r mn r m rn r rn lim Sn = lim P (1+ ) ? P lim[(1+ ) ] ? Pe m?? m?? m?? m m

课堂练习题

1.计算极限 lim ?1 ? 2 tan x ? x ?0
2

cot 2 x

;

答案 答案

2.计算极限 lim 2n sin
n ??

x ? x ? 0?. n 2

3、3个人分19头牛的合理分法.

作业3
? 书本42页习题1-5 ? 第1题

(3)(7) ? 第2题 (3)(6) ? 第3题 (5)(6)

第六节 无穷小与无穷大
一、无穷小与无穷大的定义及其关系
1.无穷小的定义
定义1 如果当x ? x0 (或x ? ?)时,函数f ( x)的极限为零, 则称 f ( x)为当x ? x0 (或x ? ?)时的无穷小.

即极限为0的变量(函数)成为无穷小.
2 2 例如,因为lim( x ? 1) ? 0, 所以函数 f ( x )= x ? 1是当x ? 1时的无穷小. x ?1

1 1 又如,因为 lim 2 ? 0, 所以函数f ( x) ? 2 是当x ? ?时的无穷小. x ?? x x

应当注意以下几点:
(1)说一个函数f ( x)是无穷小, 必须指明自变量x的变化趋势.

(2)无穷小是一个绝对值可以任意小的变量,不等同于绝对值很小 的量.

无穷小量是函数的极限, 是无限接近于0的变量, 它是没有实际值的;很小很小的量,有实际的数值。

(3)"0"可以作为无穷小的唯一常数.因为 xlim 0 ? 0 ?x
( x?? )
0

2.无穷大的定义
定义2 如果当x ? x0 (或x ? ?)时,函数f ( x)绝对值无限增大, 则 称函数f ( x)为当x ? x0 ( x ? ?)时的无穷大量,简称无穷大.
按极限定义,如果f ( x)当x ? x0 (或x ? ?)时为无穷大,那么它的 极限是不存在的,但是为了便于描述函数的这种变化趋势,也说 "函数的极限无穷大",并记为 lim f ( x) ? ?
x ? x0 ( x ?? )

1 1 例如,当x ? 1时, 无限增大, 所以 是当x ? 1时的无穷大, x ?1 x ?1 可记作

1 lim ?? x ?1 x ?1

又如, x ? x?

?
2

?

时, tan x取正值无限增大,所以 lim tan x ? ??; ?
x?

?

?
2

?

2

时, tan x取负值且绝对值无限增大,所以 lim tan x ? ??. ?
x?

?

即lim tan x ? ? ?
x? 2

2

与无穷小相仿,应当注意以下几点:
(1)说一个函数f ( x)是无穷大, 必须指明自变量x的变化趋势;

(2)切不可把绝对值很大的常数认为是无穷大.

3.无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
例1 求极限 lim 1 . x ??1 2 x ? 2x ?1


因为x 2 ? 2 x ? 1 ? 0, ( x ? ?1), 所以x 2 ? 2 x ? 1当x ? ?1时为无穷小,

所以

1 1 是 x ? ? 1 时的无穷大 , lim ? ?. 2 x ??1 2 x ? 2x ?1 x ? 2x ?1

例2 以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相 同过程下的无穷大吗?
x ?1 (1) f ( x) ? ; (2)f ( x) ? e x . x x ?1 1 当x ? 1时,1- 1 ? 0, (1)因为 =1- , x x x x ?1 所以,函数 在x ? 1时是无穷小. x



因为在同一变化过程中,无穷小的倒数是无穷大, 1 x 所以 = 是x ? 1时的无穷大. x ?1 x ?1 x 1 x (2)因为e 是x ? ??时的无穷小, 所以 x 即e ? x是x ? ??时无穷大. e

例3 讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?

(1) y ? 3 ;


?x

1 (1) y ? 3 ? x 3
?x

2 (2)y ? . x

1 因为x ? ??时, x ? 0, 所以,x ? ??时, 3? x 为无穷小. 3

又因为x ? -?时, 3? x ? ?,所以x ? -?时, 3? x 为无穷大.
2 (2) 当x ? 0时为无穷大;当x ? ?时为无穷小. x

二、无穷小的性质
1.无穷小与函数极限之间的关系

定理 lim f ( x)=A的充要条件是f ( x)等于A与一个无穷小量之和.
2.无穷小的性质及推论 性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2 无穷小的正整数次幂仍为无穷小. 性质3 有界函数与无穷小的乘积为无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小

1 例4 求 lim x sin . x ?0 x 解 1 1 1 本题中当x ? 0时,sin 的极限不存在, 但 sin ? 1,即sin 是有 x x x 1 界函数.又因为x ? 0, x为无穷小, 所以利用性质3可得 lim x sin ? 0. x ?0 x ?2 1 ? 例5 求 lim ? 2 ?. x ?? ? ?x x ?


2 1 ?2 1 ? 因为当x ? ?时, 和 2 均为无穷小,由性质1可得 lim ? 2 ? ? 0. x ?? ? x x ?x x ?

2 x ? 3x ? 5 例6 求 lim 3 . 2 x ?? 7 x ? 4x ?1
3 2



当x ? ?时,分子和分母的极限都是无穷大, 可以采用无穷小因子分出法.
3 5 2? ? 3 2 x3 ? 3x 2 ? 5 x x lim = lim x ?? 7 x3 ? 4 x 2 ? 1 x?? 7 ? 4 ? 1 x x3 3 5 lim(2 ? ? 3) x ?? 2 x x ? ? 4 1 lim(7 ? ? 3 ) 7 x ?? x x

三、 无穷小的比较
已经知道,两个无穷小的和、差、积都是无穷小,但是两 个无穷小的商将有什么样的情况呢?

例如,当x ? 0时, x, 2 x, x 都是无穷小,
2

2x x 2x 但 lim ? 2, lim ? 0, lim 2 ? ?. x ?0 x ?0 x ?0 x 2x x
显然, 两个无穷小的商的极限会出现不同的情况, 原因在哪儿呢?首先观察表1-3.

2

表1-3 三个无穷小趋向零的快慢程度

x
2x

0.1

0.01

0.001

?0 ?0

0.2
0.01

0.02

0.002

x2

0.0001 0.000001

?0

可见当 , x?0,这三个无穷小趋向于零的快慢程度不同. x2比2x更快趋向0,反过来2x比x2较慢地趋向0,而2x与x趋向 0的快慢相仿.
还可以发现,当x ? 0时,趋向0较快的无穷小(x2 )与较慢 的无穷小(2x)之商的极限为0;趋向0较慢的无穷小(2x)与较 快的无穷小(x2 )之商的极限为?;趋向零快慢相仿的两个无 小(2x与x)之商的极限为常数(不为0),由此,引出无穷小阶 的概念.

? 也是在这一变化过程中的极限, 又lim?

定义1 设? 和? 都是当x ? x0(或x ??)时的无穷小,且? ? 0.

? ? 0,则称? 是比?高阶的无穷小,记作? =( (1)如果lim? o ?);
(2)如果lim ? ??,则称? 是比? 低阶的无穷小;

?

(3)如果lim ? ? c ? 0,则称? 与?是同阶的无穷小;

? ?1,则称? 与?是等价无穷小,记作? ? . 如果lim ?
显然, 根据以上定义,当x ? 0时, x 2是比2x高阶的无穷小;2x是 比x 2低阶的无穷小;2 x与x是同阶的无穷小.

?

但需要注意的是,并非任意两个无穷小都可以比较,如x与 1 x sin x ? limsin 1 不存 xsin 1 , 当 x ? 0 时 , 就不可能比较 , 因为 lim x?0 x?0 x x x 在上述情形 . ,一般不予讨论.
1 的阶的高低. 例1 比较当x ??时,无穷小1 与 x x2



1 1 是比 1 低阶的无穷小; x lim ? lim x ?? , 所以当 x ?? 时 , x?? x x2 1 x?? x2 1 是比 1高阶的无穷小. 反之,x 2 x

例2 比较当x ?0时,无穷小 1 ?1? x与x2的阶数的高低. 1? x 1 ?1 ? x 1 ? (1 ? x)(1 ? x) 1? x ? 解 因为 lim lim 2 x ?0 x ?0 x x 2 (1 ? x) x2 1 ? lim ? lim ? 1, 2 x ?0 x ?0 x (1 ? x) 1? x
所以当x ? 0时 1 ? 1 ? ? 1 ? x与x 2是等价的无穷小, 即? ?1? x ? 1? x ? 1? x ? x2 .

同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两 者相比,等价无穷小比同阶无穷小用得更多,所以下面重点 讨论等价无穷小.

等价无穷小的对称性,指? ? ,则? ? ; 反身性,指? ? ; 传递性,指若? ? , ? ? ,则? ? .
高阶无穷小的概念在微分学中有着重要的应用,而等价无 穷小在求极限时能化繁为简,十分有用.

定理 设? , ? ,? ', ? '为同一变化过程中的无穷小量,且 ' ? ? 也存在(或为?), ' ' ? ? , ? ? ,lim 存在(或为?),则lim? ?' ' ? ? 且lim? ? lim ?'

证 因为? ?' , ? ? ',所以lim ? ?1,lim ? ?1,故 ?' ?' ' ' ' ? ?' ' ? ? ? ? ? ? lim? ? lim ? ? ? ? lim ? ?lim ?lim ? lim ?' ?' ?' ?' ?'

本定理说明,在求商式或乘积的极限时,分子或 分母有无穷小量的因子时,可以用和它等价的无穷 小代换。这种等价无穷小代换常使计算简化,但必 须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换,而诸如 对加式、减式或幂式等函数中出现的无穷小的求极 限过程一般不能用等价无穷小代换.

以下为一些常用的等价无穷小.

当x ? 0时,有 sinx x arcsin x x tan x x 1-cosx
1 2

arctan x x x2 e x -1 x a x -1 x ln a(a ? 0)

ln(1? x) x

(1? x)? ?1 ? x(?为常数,且? ? 0)

sin ax ,其中ab ? 0. 例3 求lim x?0 tanbx

因为x ? 0时,sin ax ax,tan bx bx,所以 sin ax ? lim ax ? a lim x?0 tan bx x?0 bx b



tan x ?sin x. 例4 求lim x?0 x2 sin x 1 x2 x tan x ?sin x ? lim tan x(1?cos x) ? lim 2 ? 1 lim x?0 x?0 x?0 x2 x x2 x 2 x2 sin x

cos x ? cos3x . 例5 求lim x?0 x2



x? y x? y cos x ? cos y ? ?2sin sin 2 2 cos x ?cos3x ??2sin x?3x sin x?3x ? 2sin2xsin x
2 2

因为x ? 0时,sin x x,sin2x 2x,所以 cos x ? cos3x ? lim 2sin2xsin x ? lim 2?2x x ? 4 lim x?0 x?0 x?0 x2 x2 x2
ln(1? x). 例6 求lim x?0 2x



ln(1? x) ? lim x ? 1. 因为x ? 0时,ln(1? x) x,所以lim x?0 x?0 2 x 2x 2

四、无穷大的性质

1、两个无穷大量之和不一定是无穷大; 如 lim tan x + lim tan x =0 ? ?
x?

?

2

x?

?

2

2、有界函数与无穷大量的乘积不一定是无穷大; 如有界函数为f(x)=0时.

3、两个无穷大量之积一定是无穷大.

4.请写出当x ? 0时与x是等价无穷小的常见的无穷小量

?写至少4个 ? ;
5.当x ? 1时, 无穷小1-x与1-x3是否同阶?是否等价?;

答案 答案

6.两个无穷小趋向于0的速度的快慢是否一定可以比较?.
答案

课堂练习题

x2 ? 9 1.证明y ? 当x ? 3时为无穷小. x?3
2.求极限 lim ? 2 x 3 ? x ? 1? .
x ??

答案 答案 答案 答案

1 3.计算极限 lim x sin . x ?0 x
3

x2 ? 1 4.计算极限 lim 2 . x ?? 3x ? x ? 2

作业4
1 1、当x ? 0时,(sin x ? x cos )与(1+ cos x) ln(1+x) x 是否为同阶无穷小?
2

2、课本48页习题1-6 第3题 (1)(2)
3、课本48页习题1-6 第5题 ( 2)(4)

第七节 函数的连续性与间断性
一、函数连续性的概念
连续性是函数的重要性质之一,是相对间断而言的,它 反映了许多自然现象的一个共同特性.例如,气温的变化、 动植物的生长以及空气的流动等,都是随着时间在连续不

断地变化着.这些现象反映在数学上,就是函数的连续性.

(一)函数的增量
定义1 对函数y ? f (x),当x由初值x0到终值x1时,把差x1 ? x0叫作自变 量x的增量,用记号 x表示,即?x ? x1 ? x0或x1 ? x0 ??x,这时对应的函数值 也从f (x0)变到f (x1) ? f ( x0 ??x),把差f (x0 ??x) ? f (x0)叫作函数y的增量 用记号 y表示,即 y ? f (x0 ??x) ? f (x0).

例1 设y ? f (x) ? 3x2 ?1,求适合下列条件的自变量的增量?x和函数增量?y. (1)当x由1变到1.5;(2)当x由1变到0.5;(3)当x由1变到1+?x.
解 (1)?x ?1.5?1? 0.5,

?y ? f (1.5) ? f (1) ? 5.75? 2 ? 3.75;

(2)?x ? 0.5?1??0.5, ?y ? f (0.5) ? f (1) ? 0.75?1?2 ??2.25;

(3)?x ? (1??x) ?1??x,
?y ? f (1??x) ? f (1) ? ???3(1??x)2 ?1??? ? 2 ? 6?x ?3(?x)2.

(二)函数的连续性
1.函数在一点x0处的连续性 先从图 1? 24中直观察函数在给定x0处的变化情况.

从图 1? 24(a)中看出,函数y ? f ( x)的图形是连续不断的曲线;图 1-24(b)中,函数y ?? (x)的图形在x ? x0处是断开的因此 , ,说函数y ? f ( x)在x ? x0处连续的,而函数y ?? (x)在x ? x0处是间断的.

y

y ? f ( x)
N
M

y
M0

y ? ? ( x)

?y
?x

?y
?x

M

O

x0

x0 ? ?x

x

O

x0

x0 ? ?x

x

(a) y ? f (x)

(b) y ?? (x)

图1-24 函数连续性与间断点

那么,上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢?
y ?? ( x)在x ? x0处是间断的,当x经过x0时,函数值发生跳跃 式变化,即当x由x0有一个增量?x时,函数y得到相应的增量?y, 且当?x ? 0,曲线上的点N 就沿着曲线趋近于M 0,而不是趋近于 M ,显然有?y不趋近于0. ?y ? 0. 但在函数y ? f ( x)的图中,没有这种 现象,而是当?x ? 0时,曲线上点N 就沿着曲线趋近于点M ,即

可见,函数y ? f ( x)在x0处连续的特征是当?x ? 0 时?y ? 0,即lim ?y ? 0;当lim ?y ? 0,则函数y ?? ( x)在 x?0 x?0 x0处一定间断.

定义2 设函数y ? f ( x)在点x0及其左右近旁有定义,如果 当自变量x在x0处的增量?x趋近于零时,函数y ? f ( x)相应的 增量?y ? f ( x0 ??x) ? f ( x0)也趋近于零,即
? ? lim ? y ? lim f ( x ?? x ) ? f ( x ) ? ? ?0 0 0 x?0 x?0 ? ?
?

那么,就称函数y ? f ( x)在点x0处连续,x0叫作函数的连续点.

这一定义说明了连续的本质:当自变量变化微 小,函数值相应变化也很微小.

例2 证明函数y ? 2x2 ?1在点x ?1处是连续的.

证明 y ? 2x2 ?1 的定义域为(??, ??),故y ? 2x2 ?1在x ?1左右近旁有定义.
设自变量在点x ?1处有增量?x,则函数相应增量 为?y ? 2(1??x)2 ?1?3 ? 4?x ? 2(?x)2.
2? ? 因为lim ? y ? lim 4 ? x ? 2( ? x ) ? ? ? 0,所以根据定义2可知,函数 x?0 x?0
? ?

y ? 2x2 ?1在点x ?1是连续的.

?

?

在定义2中,如果说x ? x0 ??x,则?y ? f ( x) ? f ( x0),当?x ? 0时,有 x ? x0;当?y ? 0时,有f (x) ? f ( x0),因此,函数y ? f ( x)在点x0连续的 定义又可叙述为:

定义3 设函数y ? f (x)在点x0及其左右近旁有定义,如果函 数f (x)当x ? x0时极限存在,且等于它在点x0处的函数值f (x0),即 li m f (x) ? f (x0)那么,就称函数f (x)在点x0处连续. x? x
0

这个定义指出函数 , y ? f (x)在点x0连续要满足以下三个条件:

(1)函数f ( x)在点x0及其左右近旁有定义;

(2)lim f (x)存在; x?x
0

(3)lim f (x) ? f (x0). x?x
0

2.函数在区间 (a, b) 内的连续性
下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.

定义4 设函数f (x)在区间 (a, b] 内有定义,如果 ? ) ? lim f ( x) ? f (b), 左极限lim f ( x ) 存在 且等于 f ( b ), 即若 f ( b ? x?b x?b? 则称函数f (x)在点b左连续.

设函数f (x)在区间 [a, b) 内有定义,如果 ? ) ? lim f ( x) ? f (a), 右极限lim f ( x ) 存在且等 于 f ( a ), 即若 f ( a ? x?a x?a? 则称函数f (x)在点a右连续.

f (x)在点x0处连续的充要条件:f (x)在点x0处右连续且同时左连续. 即lim f (x) ? f (x0) ? xlim f (x) ? xl? im f (x) ? f (x0) x? x ?x ? x?
0 0 0

例4 作出函数f ( x) ? 及点x ? ?1 的连续性.

? ? ? ? ?

1, x ? ?1 的图形,并讨论函数f ( x)点x ?1 x,-1? x ?1


分段函数f ( x)在区间(??,1] 内有定义,函数图形如图1-25所示.

1
?2

y?x

?1

O
?1

1

2

图1? 25 例4示意图

因为lim f (x) ? lim x ?1,而f (1) ?1,所以函数在点x ?1左连续. x?1? x?1?

因为xlim f ( x) ? xlim x ? ?1, xlim f ( x) ? xlim1 ?1. ??1? ??1? ??1? ??1? 左极限不等于右极限,所以lim f ( x)不存在, x??1 即函数f ( x)在x ? ?1处不连续.
但由于f (?1? ) ??1? f (?1),所以函数f ( x)在点x ??1右连续.

定义5 设函数y ? f ( x)在开区间(a,b)内有定义, 若y ? f ( x)在(a, b)内每一点x处都连续, 则称函数y ? f ( x) 为该区间内的连续函数,区间(a, b)叫作函数的连续区间. 定义6 设函数y ? f ( x)在区间[a, b]上有定义, 若 y ? f ( x)在开区间(a, b)内连续, 且在左端点a处右连续, 在右端点b处左连续, 则称y ? f ( x)在闭区间[a,b]上连续.

显然,在某一区间内,连续的函数其图形是一条连 续不断的曲线,这是连续函数的几何特性.

二、函数的间断点
(一)间断点
下面三个函数在x =1的连续性.
2 x (1)函数f ( x) ? ?1由于在x ?1没有定义,故x ?1不连续(见图1-26) x ?1 ? x, ( x ?1) ? (2)函数f (x) ? ? 虽在x ?1有定义,但由于 lim f ( x)不存在,所以 ? ? x ?1,( x ?1) x?1 ? ? 函数f (x)在x ?1不连续(见图1-27) ? ? 1 x ?1, x ?1 (3)函数f (x) ? ? 虽在x ?1处有定义且 lim f (x) ? 3 存在,但 lim f ( x) ? f (1), ?2 ? 2 x?1 x?1 ?0, x ? 1 ? 故函数f (x)在x ?1不连续(见图2-28).

y

y
2

1 ?1

x2 ? 1 y? x ?1

y ? f ( x)
1

1

2

x

O
?1

x

图1? 26(1)示意图
y
2 1.5 1 ?2

图1? 27(2)示意图
y ? f ( x)

?1

O

1

2

x

图1? 28(3)示意图

以上三个函数f ( x)在x ?1都有不连续,但产生不连 续的原因却各不相同.一般来说,如果函数f ( x)有下列 三种情形之一:
(1)在x ? x0点的近旁有定义,但x ? x0点处无定义;

(2)虽在x ? x0点有定义,但lim f (x)不存在; x?x
0

(3)虽在x ? x0点有定义,且lim f (x)存在,但lim f (x) ? f (x0); x?x x?x
0 0

则函数f (x)在点x0不连续,我们把点x0称作函数f (x)的不连续 点或间断点.

(二)间断点的分类
定义7 设x0为函数y ? f ( x)的一个间断点,若当x ? x0时, f ( x) 左右极限均存在,则称x0为函数f ( x)的第一类间断点;否则即当 , x ? x0时,f ( x)的左右极限中至少有一个不存在,则称x0为函数 f ( x)的第二类间断点.?

特别,在第一类间断点中,若f ( x0 ? 0) ? f ( x0 ? 0),即lim f ( x) x? x
0

存在,则称x0为可去间断点(此时,f(x)在x0处可能有定义, 也可能无定义);若f ( x0 ? 0) ? f ( x0 ? 0),称x0为跳跃间断点.
例如,上述例(1)和例(3)中,x ?1是可去间断点,而在例(2)中 x ?1是跳跃间断点.

例5 求下列函数的间断点,并说明其类型.
sin x , x ? 0 (1) f ( x) ? x ; 0, x ?0
? ? ? ? ? ? ?

(2)y ? tan x;

x, x ? 0 (3) f ( x) ? 1 ; ,x ?0 x
? ? ? ? ? ? ?

(4)f ( x) ? ? ?

? ? x ?1, x?0 ? ? ?1,

x?0



(1)函数f ( x)在(??, ??)内定义,且由重要极限知 sin x ?1,而f (0) ? 0,即lim f ( x) ? f (0). lim f ( x ) ? lim x?0 x?0 x?0 x

所以x ? 0是函数f ( x)的间断点,又因为lim f ( x)存在,即左右 x?0 极限都存在且相等,所以, x ? 0是此函数的可去间断点;

(2)函数y ? tan x在x ? k? ? ? ,(k ?Z )的近旁有定义,但在x ? k? ? 2 ? ,(k ?Z )没定义,所以点x ? k? ? ? ,(k ?Z )是函数y ? tan x的间断点, 2 2
又 xlim tan x ? ??, xlim tan x ? ??, ?? ?0 ?? ?0
2 2

根据函数周期性,函数y ? tan x在x ? k? ? ? 处的左右极限均 2 不存在,即x ? k? ? ? 为第二类间断点. 2

x, x ? 0 (3)函数f ( x) ? 1 在x ? 0有定义, x,x ?0
? ? ? ? ? ? ?

1 ??, 但x lim f ( x ) ? lim x ? 0, lim f ( x ) ? lim ?0?0 x?0?0 x?0?0 x?0?0 x
即lim f ( x)不存在,所以x ? 0是函数f ( x)的间断点,又f (0 ? 0)不存 x?0 在,所在x ? 0为第二类间断点;

? x ?1, x ? 0 (4)函数f ( x) ? 在x ? 0有定义,但 ?1, x?0 lim f ( x) ? xlim( ? x ?1) ?1, xlim f ( x) ? xlim( ?1) ??1 x?0?0 ?0?0 ?0?0 ?0?0 即f (0 ? 0) ? f (0 ? 0),所以x ? 0是函数f ( x)的跳跃间断点.
? ? ? ? ?

思考题

1.函数y = f ? x ? 在点x ? x0处连续的三要素是什么? 2.请叙述y = f ? x ? 在闭区间? a, b? 上连续的定义.

答案 答案

3.请用简图表示出间断点的所有类型.

答案

课堂练习题

x?0 ?2e x 1.求出数a,使函数f ? x ? ? ? 在 ? ??, ?? ? ?3a ? x x ? 0 是连续函数.
答案

?2ln x x ? 0 2.求函数f ? x ? ? ? 3 的间断点并判断是哪种类型? x?0 ?x 答案

三、 初等函数的连续性
一、初等函数的连续性 1.基本初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 2.连续函数的和、差、积、商的连续性

若函数f (x), g(x)在点x0处皆连续,则它们的和,差,积,商(分母 不为零)也都在点x0连续.

3.反函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函 数且单调性不变. 4.复合函数的连续性

定理3 设函数y ? f (u)在u0处连续,函数u ??(x)在x0处连续,且 u0 ??(x),则复合函数y ? f [?(x)]在x0处也连续.
连续函数的复合函数仍为连续函数

在求复合函数极限时,若内外层函数均为连续函数, 则极限符号与函数符号可层层交换次序,即
? ? ? ? ? ? ? ? lim f ? ( x ) ? f lim ? ( x ) ? f ? (lim) x ? f ? ( x ) ? ? ? ? ? ? ? 0 ? x?x x?x x?x ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?

上式也可写成
? ? ? ? ? ? lim f ? ( x ) ? f lim ? ( x ) ? f ? ( x ) ? f (u0) ? lim f (u) ? ? ? ? ? x?x x?x u?u 0 ? ? ? ? ? 0 ? ? 0

lim f? ?(x) ? ? lim f (u) x?x ? ? u?u
0 0

? ?

0

1 例1 求limsin 1 ? n?? n
? ? ? ?

? ? ? ?

n

.



因为lim 1? 1 n
? ? n?? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

n

? e,而sin u在u ? e时连续,
? ? ? ?

所以limsin 1? 1 n?? n
? ? x?0?0 ? ?

n

? sin lim 1? 1 n
? ? ? ?

? ? ? ? n?? ? ?

? ? ? ?

n? ?
? ? ? ?

? sin e

例2 求 lim 1? e x ? ?
?
1

?1 x e 1?

? ?1? e x ? 解 设t ? e x ,当x ? 0 ? 0时,t ? 0,所以xlim ? lim(1 ? t )t ? e ?0?0 ? t ?0 ? 1 ? ?

1 x e 1?

5.初等函数的连续性 一切初等函数在定义区间内都是连续的.

例4 求limlncos x. x?0
? ? ? ? ?- , ? ,而x ? 0在该 设函数 f ( x ) ? lncos x , 它的一个定义区间为 解 ? ? ? 2 2? 区间内,所以limlncos x ? lncos0 ? 0 x?0

例5 求lim x?4

x ? 5 ? 3. x?4

x ?5 ?3 解 lim ? lim x?4 x?4 x?4

?

x ? 5 ?3 ( x ? 4)

?

??

x ?5 ?3

x ?5 ?3

?

?
1

? lim
x ?4

1 x ?5 ?3

?

? . 4?5 ?3 6

1

ln(1? cos x). 例7 求lim x?? sin x 2


因为函数f ( x) ? ln(1? cos x) 是初等函数,且x ? ? 属于其定义区 sin x 2 ?) ln(1 ? cos ln(1?0) ? 0 ln(1? cos x) ? 2 间,所以lim ? x?? sin x 1 2 sin ? 2

二、闭区间上连续函数的性质 1.最大值与最小值性质 定理4 在闭区间上连续的函数,在该区间上至少取 得它的最大值和最小值各一次.

一点?1,(a ? ?1 ? b),使得函数f (?1)为最大,即f (? ) ? f ( x),(a ? x ? b);又 1 至少有一点?2,(a ? ?2 ? b),使得函数值f (?2 )为最小即 , f (?2 ) ? f ( x),(a ? x ? b).

如图1? 29所示,设函数f(x)在闭区间??? a,b ??? 上连续,即么至少有

y

y ? f ( x)

O

a

?1

?2

b

x

图1? 29 最大值与最小值
此定理中有两点需要注意:闭区间与函数连续,即在 开区间(a,b)内连续,或在闭区间上有间断点,那么函 数在该区间上不一定有最值或最小值.

例如,在开区间(0,2)上考察连续函数f (x) ? x2,如图2 ? 30所 示,显然在此区间内既无最大值也无最小值.
??( x?1),?1? x?0 ? 再如,函数f ( x) ? ? x?0 在闭间? -1,2? 上有间断点,容易 ?0, ? ? ?2? x, 0<x?2 ? ? 看出,f ( x)在区间? -1,2? 上既无最大值也无最小值(见图1? 31) ? ?

y
4

y
?2

y ? x2

1

? O

2

x

?1

O

2

x

图1? 30 y ? x2在(0,2)内的图形

图1?31 y ? f (x)在? ?1,2? 上的图形 ? ?

2.介值性
每个介于f (a)与f (b)之间的数? ,在(a,b)内至少存在一点? , 使得f (? ) ? ? (? 不一定惟一. )
? 定理5 若函数f ( x)在闭区间? ? a,b ? 上连续,且f (a) ? f (b),则 ? ?

特别,若f (a)和f (b)异号,那么在开区间(a,b)内至少存在一点? , 使得f (? ) ? 0
由图2 ? 32可以看出,在? a,b? 上连续的曲线y ? f ( x)与直线y ? ? , ? ?

? f (a)?? ? f (b) ? 至少有一个交点,交点坐标为?? ,f (? ) ? ,其中f (? ) ? ? ? ? ? ?

y

y

f (b)

f ( a)
O

?
f ( a)
a

?
a

b

x

f (b)
?
b
x

图1-32 f (a) f (b) ? 0情况

图1-33 f (a) f (b) ? 0情况

y ? f (x)与x轴至少有一个交点,交点坐标为(? ,0).

由图1? 33可以看出如果 , f (a)与f (b)异号,在? a,b? 上连续的曲线 ? ?

例8 证明方程x3 ? x2 ? 7 x ? 2 ? 0在(0,3)内到少有一个根.



的,并在区间端点的函数值.f (0) ??2 ? 0, f (3) ?13 ? 0.

显然f (x) ? x3 ? x2 ? 7x ? 2,它在闭区间? 0,3? 上是连续 ? ?

根据介值性质,可知(0,3)内至少有一点? ,使得f (? ) ? 0. 说明方程x3 ? x2 ? 7x ? 2 ? 0在(0,3)内至少有一个根? .

思考题
1. "一切初等函数在其定义域内都是连续的 " 这一命题是 否正确 ?

答案 答案

2.闭区间上的连续函数一定有界吗?为什么?
? 1 x>0 ? 3.函数y = ? 0 x=0 是否为初等函数?为什么? ?-1 x<0 ?

答案

1.只有当它们的定义域和对应关系完全相同时, 两个函数 才是相同的.

返回

2.有界函数的界不是唯一的.

函数有界性的定义当中,只是指出了一个存在 性的条件,即只要存在一个符合条件的M值, 那么函数就是有界的。反过来,如果存在一个 确定而有限的M值,那么我们总是可以让M加以 任何一个正数,从而得到另外一个不同的M值, 也就是说我们实际上可以由此而得到无数的M 值。
返回

3.如y = f ? ? ? , ? ? ? ? x ? 则y ? f ? ?? ? x ? ? ? 就叫做x的复合函数; 若? ? ? ? x ?的值域与y ? f ? ? ?的定义域的交集为空集则复合函 数将失去意义.
返回

1.解:原分段函数的定义域D = ? -?,+? ? .即为全体实数R, 值域W = ? -1,1?.

返回

1-x 1? y 2.解:由y = 得1 ? x ? y ? xy, 即x ? , 反函数为 1+x 1? y 1? x y? . 1? x
返回

3.解 :令x+1=t,则x=t-1.
(t-1)2 ,0 ? t-1 ? 1

? (t)=
2 (t-1) ,1 ? t-1 ? 2

(x-1) ,1 ? x ? 2
2

? (x)=
2 (x-1) ,2 ? x ? 3
返回

n 1.当 q ? 1, 或 q ? 1,lim q 不存在. x ?n

返回

2.(1)如果一个数列有极限则此极限唯一.
(2)增加或减少数列的有限项并不改变数列的极限及其 有无极限.

(3)有极限的数列一定有界,有界数列不一定有极限,无界数列 一定无极限.
返回

1 3.数列X n ? 2 ? ,当n ? ?时该数列极限逐渐趋近于常数2. n

返回

1 ? 3n ? 1 1 ? 3n ? 1 1 n ?0 ? 3. 1.lim ? ? lim ? lim ? lim 2 ? n ?? ? n ?? 2 n ? 1 n 2 2n ? 1 n?? n 2 n?? 2 ? 1 ? ? n 3?

返回

2.lim n ??

1? 2 ? 3 ? n2

? ? n ? 1?

?1 ? n ? 1?? n ? 1?
?n?? lim 2 n2

n(n ? 1) 1 1 n ? 1 2 ? lim ? lim (1 ? ) = lim 2 n?? n?? n ?? n 2 n 2n

1 ? 2

返回

1.f ? x0 ? ? , f ? x0 ? ? 分别表示函数f ? x ?当x ? x0时的左极 限, 右极限.
f ? x ? 在x ? x0的极限存在的充要条件是它的左极限和右极限 存在且相等.
返回

2.(1)唯一性; (2)有界性; (3)保号性.

返回

3 ? 1 ? x ? x2 ? 3 ? 1 ? ? lim 1.解: lim 3 ? x ?1 ? x ?1 1 ? x3 ? 1? x 1? x ?

x ? 2 ?? x ? 1? ? ? lim ? ?1 ?1 ? x ? ? x ? x ? 1?
x ?1 2

返回

x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3? ? 2.解: lim
x ??

5 x3

x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3? ? x ? lim ? lim
x??

3

5 x3

x??

? 6 x2 ? 8x ? 6 5 x3

6 8 6 1? ? 2 ? 3 1 x x x ? lim ? x ?? 5 5
返回

1.很小的数与无穷小量是两个完全不同的概念,因为无穷小 量是其极限为零的量,而很小的数其极限仍为其本身.

返回

2.这一命题中"无穷大的倒数就是无穷小"是正确的,而"无 穷小的倒数就是无穷大"是错误的,因为若无穷小量为常数0,则 0的倒数是无意义的.

返回

3.答:两个无穷小的商不一定是无穷小.例如:x,sinx当x ? 0 sin x sin x 时均为无穷小,但是 lim ? 1说明 并不是当x ? 0时的无 x ?0 x x 穷小.

返回

x ? 3?? x ? 3? ? x2 ? 9 1.证明: lim ? lim ? lim x ?3 ? 0 x ?3 x ?3 x ?3 x?3 x?3

原命题得证.

返回

2.解:

1 3 1 x lim ? lim ?0 3 x ?? x ?? 1 1 2x ? x ?1 2? 2 ? 3 x x
? lim ? 2 x 3 ? x ? 1? ? ?.
x ??

返回

3 ?a 3 ? ax ?a x 1.lim ? lim ? ? 2, 可推出a ? ?6. x ?? x ?? 2 2 ? 3x ?3 3 x
返回

2.写出四则运算法则, 其中令f ? x ? ? A ? x ? x0 ? , g ? x ? ? B ? x ? x0 ?

答案

? f ? x ? ? g ? x ?? f ? x ? ? lim g ? x ? ? A ? B 2. lim ? ? ? lim x?x x?x x?x
0 0 0

lim ? ? f ? x ? g ? x ?? ? ? lim f ? x ? lim g ? x ? ? A B
x ? x0 x ? x0 x ? x0

lim x?x
0

g ? x?

f ? x?

? lim f ? x ? lim g ? x? ? x?x x?x
0 0

A B

? B ? 0?
返回

1 1? 2 x2 ? 1 x 1.解: lim 2 ? lim x ?? x ?? 3x ? x ? 2 1 2 3? ? 2 x x 1? ? lim 1 ? ? 2 ? x ?? 1 x ? ? ? ? . 1 2? ? 3 lim 3? ? 2 ? x ?? ? x x ? ?

返回

2.解:
1 x ? 0 ? x ? 0 ? ,sin 是有界函数. x
3

? 极限 lim x3 sin
x ?0

1 ? 0. x

返回

1.错误. lim x ?0

sin 2 x sin 2 x ? lim 2 ? 1? 2 ? 2. x ?0 x 2x

返回

sin x ? 1? 2.lim ? 1及 lim 1 ? ? ? e. x ?0 x ?? ? x ? x?
1 1 等价变换后 lim x sin ? 1及 lim ?1 ? x ? x ? e. x ?? x ?0 x

x

返回

1.解:
lim ?1 ? 2 tan x ?
2 x ?0 cot x
2

? ? ?lim ?1 ? 2 tan 2 x ? ? x ?0

1 2 tan 2 x

? 2 ? e . ? ?

2

返回

x sin n x n 2 x 2 sin ? lim 2.解: lim n?? 2n n?? x 2n x sin n x 2 =1, 当n ? ?时,n ? 0, 所以 lim n?? x 2 2n x n lim 2 sin n ? 1? x ? x n?? 2

返回

1.sin x, tan x, arcsin x, e x ? 1, ln ?1 ? x ?
返回

1 ? x3 2. lim ? lim ?1 ? x ? x 2 ? ? 3 x ?1 1 ? x x ?1

?1 ? x与1 ? x3在x ? 1时是同阶无穷小, 不是等价无穷小.
返回

3.答:不一定.
1 例如,当x ? 0时x是无穷小, x sin 亦是无穷小,但是 x 1 x sin x ? lim sin 1 不存在, 所以无法比较. lim x ?0 x ?0 x x

返回

1.三要素分别为(1) f ? x ? 在x0处有定义; ? 2 ? 极限 lim f ? x? x? x
0

存在; ? 3? lim f ? x ? ? f ? x0 ? .
x ? x0

返回

2.如果y ? f ? x ? 在闭区间? a, b ? 上有定义, 在开区间? a, b ? 连续且在左端点a右连续, 在右端点b左连续,则称y=f ? x ? 在闭 区间? a, b ? 上连续.

返回

? ?可去间断点 ?第一类间断点 ? ? ?跳跃间断点 3. ? ?第二类间断点 ?无穷间断点 ? ? ?振荡间断点 ?

返回

1.解: 要使f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上连续,只须使其在分段点x = 0
处连续,f ? 0 ? ? 3a.
x f ? 0-0 ? ? xlim 2 e ?2 ?0 ? 0

f ? 0 ? 0 ? ? lim ? 3a ? x ? ? 3a要使f ? x ? 在x ? 0处连续, 必须有
x ?0 ? 0

f ? 0 ? 0? ? f ? 0 ? 0? ? f ? 0?.
2 ? 可得a ? . 3

返回

2.解: 讨论在x ? 0处f ? x ?的连续性.

由f ? 0 ? 0 ? ? xlim 2ln x ? ??, ?0?0

3 f ? 0 ? 0 ? ? xlim x ? 0, ?0 ? 0

可知f ? x ? 在x ? 0处间断且x ? 0是f ? x ?的第二类间断点.
返回

1.正确.
返回

2.一定有.因为函数在闭区间连续则它一定有最大和最 小值,即函数的图像落在最大值和最小值围成的带形区域内, 函数有界.

返回

3.不是.因为它不符合初等函数定义.(或者说该函数在 x = 0处间断,不符合初等函数在其定义区间内处处连续.)

返回

1.解:

sin x sin x lim ln ? ln lim ? ln1 ? 0. x ?0 x ?0 x x

返回

1.设?1 , ? 2 ,

, ?n ,

是一给定数列, 则?1 ? ?2 ?
? n ?1

? ?n ?

称为数项无穷级数.简称级数,记作? ?n .

返回

2. q ? 1时, ? aq 收敛; q ? 1时, ? aq n ?1发散.
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

返回

3.不是.lim ?n ? 0是级数? ?n收敛的必要条件.
n ?? n ?1

?

返回

1.解:

2 3! 4! 5! n! 1 ? ? 3? 4? 5? 的前五项为 : ? 2 n 2 3 4 5 n ?1 n

?

.

返回

2.证明:

设f ? x ? ? x5 ? 5x ? 1在?1,2? 上连续且f ?1? ? 15 ? 5 ? 1 ? 0
f ? 2 ? ? 25 ? 5 ? 2 ? 1 ? 0由零点定理可知至少存在一点

? ? ?1,2 ? .
使得f ?? ? ? 0, 故原命题得证.
返回


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