康德与哥德尔论数学真的客观性几个术语的异同-北京大学哲学系

康德与哥德尔论数学真的客观性
杨睿之(北京大学哲学系 北京 100871)

康德与哥德尔的哲学都体现出较明显的理性主义倾向。 本文试图通过比较分析两位理性 主义者对数学命题的真的客观性的看法, 以归纳地看科学的发展对哲学的形而上学思辩所产 生的现实的影响。

一、几个术语的异同
这部分的工作并不奢求下面的几个术语对应的概念做出完备的定义。 只是希望通过分别 展示并比较康德与哥德尔著作中对几个术语的说明与使用, 以减少歧义, 使后文更容易理解。 判断(judgement) 、命题(proposition) 。康德的著作中多用到“判断” ,而在哥德尔等现 代著作家的著作中多用到“命题”作为相应的概念。我以为在本文讨论的范围内两者可以混 用,或者可以(更精确地)将“判断”与“断定的命题”看作同义的术语。康德在《纯粹理 性批判》中也确实出现过将两者对等运用的情况。例如, “说一个物体是有广延的,这是一 [1] 个先天确定的命题,而不是什么经验判断。 ” 分析/综合。继承休谟的用法,康德也将判断划分为分析的与综合的。康德在以肯定形 式的性质判断为例说明分析判断与综合判断的区别时说道: 分析判断的谓词属于 (或包含在) [2] 主词的概念之中;而综合判断的谓词则外在于主词的概念。 哥德尔认为一个命题可以在两种意义上被称为是分析的: 第一, 它可以具有纯形式意义, 即出现的词项能被定义,使得它实际上成为同一律的特殊形式;第二,它是“由于其中出现 的概念的意义”而成立的,而这个概念的意义可以是不可定义的(当然也可以是被定义的) 。 [3] 显然,第二种意义上的分析的命题的外延要比第一种意义上的更广。哥德尔认为,根据第 一种意义,诸如数论、集合论的定理(当然不包括一阶逻辑定理)都是非分析的(如果我们 要求我们的语句和证明必须是有穷的话) ;而根据第二种意义,数论、集合论的公理大多都 可被看作是分析的。值得一提的是,哥德尔很少在与“分析的”相对的意义上用“综合的” 这一术语, 这似乎与他的概念实在主义立场是相应得。 因为在康德的用法中综合是生成概念 的途径。下文将就此问题更具体地阐述。 弗雷格也曾对分析与综合的区分做出过较明确的界定。 或许可以帮助我们更好地理解康 德与哥德尔用法之间的联系。 ……在涉及数学真的时候,……重要的是找到证明并且把它一直追溯到初真。 如果以这种方式只达到普遍的逻辑定律和一些定义,那么就有分析的真,……但是 如果不利用那些不具有普遍逻辑性质、 而涉及特殊知识领域的真就不可能进行证明 [4] 的话,句子就是综合的。 我们大致可以认为哥德尔的第一种意义上的分析判断与弗雷格的是相同的, 即只包括纯逻辑 的(或更具体地说是一阶逻辑)定理或有效式(根据一阶逻辑的可靠性与完全性定理,这两 [5] 个概念是可以等价地使用的 ) 。 康德对分析判断的界定字面上更类似哥德尔的第二种意义。 但不难找到的反例——“7+5=12” (一个数论定理)在康德看来是综合的,而在哥德尔的第 二种意义下是分析的。 因此, 我认为康德的分析判断可能更接近于哥德尔第一种意义下的分 析判断。但是,康德对于逻辑学的一个断言,即逻辑学至亚里士多德以后就已经是完成的了 [6] ,一直为后人所诟病。由于现代逻辑相对亚里士多德逻辑大大扩展了有效式的范围,故严 格的康德意义上的分析判断的外延要小于哥德尔或者弗雷格的。 但同时, 我们可以说康德的
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分析判断的全体就是他以为的逻辑有效式的全体。 因此, 不同之处仅在于康德与现代逻辑学 者对逻辑的范围的认识差异。 而我以为, 以现代一阶逻辑无可辩驳的显明性及一系列完美的 性质,纵使康德也不得不更新其对纯逻辑的范围理解。如此,我们大概可以将康德、弗雷格 及哥德尔的第一种意义上的分析判断归为一类,而将哥德尔的第二种意义作为不同的一类。 这里需要指出的是,在弗雷格的界定中, “逻辑”可能在更广的意义上被使用,即可能包括 我们今天的关于集合的一些公理。 这样的解释下, 弗雷格的界定就更接近于哥德尔的第二种 意义了。但这并不妨碍这里对两类界定的区分。 另外,值得一提的是康德著作中作为动词出现的“分析”与“综合” 。 我们的知识来自于内心的两个基本来源,其中第一个是感受表象的能力(对印 象的接受性) , 第二个是通过这些表象来认识一个对象的能力 (概念的自发性) ; …… 所以直观和概念构成我们一切知识的要素, ……我们若是愿意把我们的内心在以某 种方式受到刺激时感受表象的这种接受性叫作感性的话,那么反过来,那种自己产 [7] 生表象的能力,或者说认识的自发性,就是知性。 但我所理解的综合在最广泛的含义上是指把各种表象相互加在一起并将它们 的杂多性在一个认识中加以把握的行动。如果杂多不是经验性地、而是先天地被给 予的(如时间和空间中的杂多) ,这样一种综合就是纯粹的。在对我们的表象进行 任何分析之前,这些表象必须先已被给予了,并且任何概念按内容来说都不可能由 [8] 分析产生。 一般杂多的联结……是表象力的一种自发性行动, ……不论它是直观杂多的联 结还是各种概念的联结, 而在前一种联结中也不论它是经验性直观杂多的联结还是 非经验性直观杂多的联结,都是一个知性行动,我们将用综合这个普遍名称来称呼 它,以借此同时表明,任何我们自己没有事先联结起来的东西,我们都不能表象为 在客体中被联结了的, 而且在一切表象之中, 联结是唯一的一个不能通过客体给予、 [9] 而只能由主体自己去完成的表象,因为它是主体的自动性的一个行动。 从上面三段引文可以看出,综合所作用其上的是各种表象,表象包括直观与概念,而综合活 动的一种产物就是概念。分析在一定程度上是综合的逆活动,它不产生概念,而是从被给予 的表象(如概念)出发,分析所得的是原表象本来就包含的而不是新产生的。 概念。如上文所述,康德所谓的概念是对直观、概念等诸表象进行综合的产物。从上面 的引文中还能看出,一般综合中有一类是纯粹综合。由于完全不涉及经验性杂多,该类综合 所产生的概念就是先天概念。而先天概念又分两类。 “我们现在已经有了完全不同种类的两 类概念, 他们在双方都完全先天地与对象发生关系这点上倒是相互一致的, 这就是作为感性 [10] 形式的空间和时间的概念以及作为知性概念的范畴。 ” 与康德字面上类似构造主义的对概念的用法不同, 哥德尔甚至是在非常强的实在主义意 义上使用概念这一术语的。 哥德尔相信鲜明的概念本来就在那里, 只是我们对它们的知觉有 所模糊而已。 他甚至猜想我们具有某种肉体器官以把握概念等抽象印象, 这也正是我们对把 [11] 握概念有所弱点的原因。 哥德尔采取如此强的实在主义立场在数学实践中是有其理由的。 罗素为解决罗素悖论曾 提出恶性循环原则——没有一个总体能包含只能用这总体来定义的那些成员,或者牵涉 [12] (involving)或预设 (presupposing) 这总体的那些成员。 根据这个原则非直谓定义 (指 通过包含对象α的总体,或必须由α定义的对象,对对象α所做的定义)是不被允许的。然 而取消非直谓定义的系统将无法导出经典数学的一部分。 这意味着, 恶性循环原则与经典数 学是冲突的。 哥德尔选择站在了经典数学的立场上, 认为恶性循环原则为假。 其根据就在于, 如果概念是由我们构造的, 我们自然无法在构造某概念 a 之前先构造了以 a 为元素的概念 A; 但如果那些概念是独立于我们的构造而本来就在那里,就不存在无法解释的问题了。
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哥德尔的概念实在主义是在相对于构造主义 (即概念等所谓抽象实体是我们主观构造的 产物)的意义上的。康德的概念虽可看作是综合的产物,但与上述意义上的构造主义是否相 同还是值得商榷的,后文中也将有进一步的涉及。 直观、直觉(intuition) 。根据上文所述,在康德的用法中,直观与概念都是表象,是 构成我们知识的两种并列的要素。直观是我们感性(接收性)提供的表象;概念是知性(自 发性) 提供的表象。 从之前及下面这段引文我们大概可以进一步理解康德的直观与概念的关 系:概念可以仅通过自我迭代形成概念(即“派生概念” ,这在内容上并不带来新的东西) [13] ,也可以仅对直观的综合形成新的概念,或由对直观与概念综合而形成概念。这有些类似 我们根据集合论公理提供的方法构造集合的过程。我们可以由 ? 构造“纯集合”的结构,也 可以在引入元素 a 的前提下构造集合{a}或集合{a, ?}。 直观只是在对象被给予我们时才发生……。 通过我们被对象所刺激的方式来获 得表象的这种能力(接收能力) ,就叫做感性。所以,借助于感性,对象被给予我 们,且只有感性才给我们提供出直观;但这些直观通过知性而被思维,而从知性产 [14] 生出概念。 直观可分为经验性直观及纯直观。 “经过感觉与对象相关的直观”叫经验性直观;而“一般 感性直观的纯粹形式将会先天地在内心中被找到,……感性的这种纯形式本身也叫做纯直 [15] 观。 ” 值得一提的是,直观的纯形式与纯直观是同一个东西。前者强调它是直观得以产生 [16] 的前提条件(时间是一切直观的形式条件;空间是一切外部直观的形式条件 ) ;后者则隐 含着它本身也可以作为不依赖经验而先天地产生的表象(以被综合为概念) 。由于没有现象 [17] (即“一个经验性的直观的未被规定的对象” ) , 所以纯直观的产生必须依靠想像力。 “想 像力是把一个对象甚至当它不在场时也在直观中表象出来的能力。 ”想像力的这种活动称为 “想像力的先验综合” ,它是知性对感官的刺激行动,由此“从内部、就按照感性直观形式 [18] 所可能给予它的杂多而言来规定感性” 。 而这种纯粹的活动提供的正是上文提到的“作为 感性形式的空间和时间的概念” 。这种先天的表象正是数学知识的要素。 哥德尔对直觉的用法 (尤其在于概念的关系上) 与康德有很大的不同。 哥德尔的 (数学) 直觉可能是与我们对物理对象的感觉并列的某种能力。而(数学)直觉的对象也是与物理对 象在并列的抽象对象(概念等) 。 尽管他们远离于感官经验, 我们确乎还是具有一种对集合论对象的知觉。 这可以从那些 公理强迫我们认为它们是真的这一事实看出。我不明白,为什么我们对这类知觉,即对数学 直觉的信心就应该比感性知觉(sense perception)的信心小。这种感性知觉促使我们建立 起物理学理论,……数学直觉并不需要被设想成一种能给出对有关对象的直接知识的能力。 倒似乎是, 像在物理经验中的情形那样, 我们也是在被直接给出的别的某种东西的基础上构 [19] 成我们对那些对象的观念(ideas)的。 值得一提的是,根据上述引文, (抽象)对象通过(数学)直觉形成观念。这个观念可 能与康德所谓的直观或概念更接近。 但与其他实在主义者一样, 这里遇到了一个认识论的难 题, 即如何确保 “观念” 是对抽象对象的客观的反映。 这在哥德尔本人看来也是很难做到的。 下一部分将对此做进一步的分析。

二、数学真命题的获得
本文中所要讨论的“客观性”特指数学命题的真的客观性。类似“真” ,我们很难给出 一个“客观” 的精确定义, 因此难以给出诸如“某命题的真是客观的”之类命题的一个证明。 [20] 但我们依然可以试图对数学命题的真的客观性作一个说明或阐释。对此,康德、哥德尔等 著作家常用的说明方式大概可概括如下: 给出某类真命题的来源、 获得方式或对某类命题的 真的判定的依据及方式的解释,并指出通过这些方式只可能得到(某种程度上)唯一确定的
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真值。 下文将分别简述康德与哥德尔对数学真命题的来源或数学真的判定方式的说明, 并加 以比较。 康德认为“真正的数学命题”是先天综合判断。它们的真不能仅仅从对命题中概念的分 析而依据矛盾律得出,我们还必须借助直观,但这种直观不包含任何经验性的杂多,即纯直 [21] [22] 观。 时间和空间是仅有的两种纯直观。 时间与空间直观通过想像力的先验综合成为纯 粹感性概念,进而形成先天综合判断。纯粹感性概念的具体产生过程大概如下:想像力的先 天作用(知性对感性能力的刺激)产生感性概念的图型,进而得出诸如“三角形” (一种空 [23] 间概念)之类的纯粹感性概念。 由于一切对象都仅仅依照感性直观形式,即时间空间(空 [24] 间仅规定外部对象) ,才可能被给予我们 ;而一切感性直观只有在范畴的条件下才能聚集 [25] 到我这个意识中来 。所以我们关于时间、空间的知识(即数学知识)对于一切经验的运用 具有客观性。对此,康德总结如下: 以这样一种方式,当我们把先天直观的形式条件,把想像力的综合,以及这种综合在先 验统觉中的必然统一性,与一般可能的经验知识发生关联,并且说:一般经验可能性的诸条 件同时就是经验对象之可能性的诸条件, 因而它们在一个先天综合判断中拥有客观有效性— [26] —这时,先天综合判断就是可能的。 [27] 值得注意的是,康德主张时间、空间概念的先验观念性与经验实在性。 同时范畴在事物的 [28] 知识上也只能运用于(可能)经验的对象。 所以在康德看来,数学的真仅仅在(可能)经 验的范围中是客观的,而在超出经验的领域则不再具有客观性。 由于对概念采取强的实在主义立场, 哥德尔认为存在实在的数学真。 例如他认为对连续 统假设关于现今集合论公理的一致性证明远不是这一问题的解决, 他认为连续统假设必须或 [29] 真或假。 同时,基于概念实在主义的立场,哥德尔本人倾向于在上文所提的在第二种意义 上使用“分析”一词,概念分析可以是决定数学公理的一个有效的手段。在提到数理逻辑尚 未如人们所愿地提供数学便利的事实时,哥德尔曾写道: 因为如果我们的分析至今还不足以建立公理, 那么人们怎能期望只对出现的概 [30] 念作分析就能系统地解决数学问题呢?但是无需放弃希望。 王浩认为戴德金所引进的“皮亚诺公理”就是“哥德尔所谓通过概念分析来决定公理的一个 [31] 最精彩的例证。 但现实的情况是,人们对概念的分析并不如所期望的那样可以直接把握客观的数学真。 正如上文所提到的, 在分析之前我们首先要对概念有所直觉。 在哥德尔看来这种直觉甚至可 能是人的某个肉体器官的功能,因而是有所限制的。例如,哥德尔认为罗素悖论的出现就是 [32] 因为我们还没有“充分清晰地理解‘概念’和‘类’的概念” 。 这样,在有关数学真的客 观性问题上就遇到了与物理学等经验科学同样的认识论难题。 即我们如何确保我们对客观实 在对象的认识确实描绘了该对象, 或至少是收敛于那个客观的事实。 因为如果我们的认识甚 至是发散的话,我们假定的客观实在的对象将是毫无意义的。对此,哥德尔提出在“数学直 觉之外,存在数学公理真理性的另一(虽然只是或然的) 。判据,即它们在数学中,或许还 [33] 可以加上在物理学中,是富有成果的” 。 具体的做法是,对于那些“可验证的”推论,即 不使用新公理也能被证明的推论,在运用新公理后可以得到简单得多的证明或更容易被发 [34] 现,那么我们就应该承认该公理的真是“合理地概然的” 。 这是一种归纳的方法,即通过 归纳新公理在(原有公理)已知领域的“成功” ,预测它在未知领域也将“成功” 。这种方法 在经验科学领域当然有普遍的运用,但是我们依然很难对这种方法给出更高级的合理性证 明。

三、客观性的界限
正如上文, 所指出的, 康德的数学真的客观性在于一切现象都只能依据我们的时空纯直
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观才能被给予,因而经验必须符合数学知识。这就是说,至少相对于自然科学(后天的) , 数学真(先天的)是客观必然的,毋庸置疑的。自然科学的理论必须符合数学知识。但对于 任何超出经验之外的表象,由于时空概念是“先验的观念的” ,数学知识就成了完全主观的 东西,而数学真不再具有客观性了。在那个时代,康德可以认为他对“数学如何可能”的回 答足够令人满意了。 然而,数学等学科本身的发展,带来了新的严重的问题。首先是非欧几何的出现以及它 与后来物理学观测及理论解释的吻合, 这使得人们更倾向于相信原第五公设为假。 而这与康 德关于几何学是先天综合的说法是不符的。对康德来说,可能的应对方式有两种:一种是断 言那些物理的经验判断为假, 坚持数学是先天地规定经验的, 不接受物理等经验判断的校正; 另一种是放弃几何命题与算术命题在客观性上具有同等地位的立场, 就像之后弗雷格的做法 ——试图证明算术真是分析的,但认为几何真是综合的。其次是康托尔集合论的出现,它以 非常令人信服的方式在数学中引入可以操作的实无穷。 虽然遇到了诸如悖论、 连续统假设的 不可解性等问题以及一些反对的意见, 但人们仍逐渐倾向于接受这样的数学, 并逐一解决遇 到的问题。如果我们相信经验世界是有穷的话,那么根据康德的观点,这种数学将不具有客 观性。另外,我们似乎也可以从康德的著作中发现他直接反对实无穷的一些蛛丝马迹。康德 认为空间、时间作为直观表象是无限的, “但没有任何概念本身能够被设想为仿佛把无限数 [35] 量的表象都包含于其中的” 。 既然直观与概念同是知识的必备要素,那么我们的知识就不 能包括对无穷的东西认识。 与康德避而不谈本体论不同, 哥德尔认为存在抽象对象。 无论这种存在是在何种意义上 的存在,可以明确的是哥德尔的抽象对象是在与物理对象相同的(或不弱于的)意义上存在 的,是同等程度地(或至少不更弱地)独立于我们的主观构造的。与此相应的是,我们也有 与对物理对象的感觉相并列的数学直觉, 并且我们对数学直觉的信心至少不应小于感觉。 这 样,我们所得出的数学真命题的客观性也不会比物理领域的差。同时,抽象对象相对物理对 [36] 象的独立(同等意义上的)存在,以及感觉与数学直觉相对独立的关系 ,使得数学完全可 以超出物理经验的有穷领域并且其客观性不会有所减弱。 哥德尔所提到的对某个命题的 “成 功”的归纳法就是一种数学理论不断开拓前进的方法。当然,哥德尔同样也是在相对物理学 中的方法并不弱的意义下认可它的可靠性的。 综上, 虽然我们仍不能绝对地断定康德与哥德尔所指的数学的真的客观性的意义, 但我 们大概可以得出如下结论: 康德的数学的真的客观性仅限于有穷数学, 在可能经验的领域里 数学的客观性是强于自然科学的客观性的; 哥德尔的数学的真的客观性只是不弱于自然科学 的客观性的,并且它不限于有穷数学。

四、通过本例窥探学科进展对哲学观点的影响
粗略地看, 康德与哥德尔都是他们那个时代的理性主义者。 他们都希望能给他们所处时 代的知识确立一个理性的坚实的基础。 但是他们对于数学真的客观性问题却最终得出了不尽 相同的结论。 我以为, 这是由于数学学科基础领域研究的进展对哲学产生了无法回避的影响。 《纯粹理性批判》的课题包括“纯粹数学是如何可能的”及“形而上学作为科学是如何可能 [37] 的” 。 但在康德看来,与形而上学不同,纯粹数学在他那个时代是“现实的存在”的了。 [38] 他所需要做的仅仅是对这一实现了的可能性作一个说明。 甚至, 仍在黑暗中摸索的形而上 [39] 学也需要把数学作为范例以走上“一门科学的可靠道路” 。 然而在哥德尔的时代, 由于上文提及的各领域的进展, 人们对康德所以为的 “纯粹数学” (尤其在无穷领域)的信心显然有所减弱。并且,哥德尔第二不完全性定理断绝了试图让数 [40] 学(形式系统)自己解决自身的真的合法性的希望,即使在弱的(一致性的)意义上。 而哥德尔希望同时捍卫经典数学的客观性以及集合论等领域中一些开放问题的客观意义。 他
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必须述诸数学之外来寻找客观性的说明。如上文所述,他所找到的,是相对于物理学的客观 性的说明。 当然,学科的进步并不能证明或证否某种哲学观点。正如,物理学的研究成果并不能直 接看作欧几里德第五公设为假的证明。 面对数学一些进展, 哲学仍可以选择坚持原有观点并 且找出一些理由拒绝承认这些进展的合法性。 正如毕达哥拉斯学派的虔诚成员面对无理数的 发现所做的以及直觉主义者对实无穷的拒绝那样。 这一点就理论的一致性要求 (因为我们的 确不能对哲学理论提出过多的要求)来看应该没什么问题。但现实是,更多的哲学观点会试 图接纳新的东西, 甚至不惜弱化自己的立场, 正像康德与哥德尔对数学真的客观性的看法的 差异所体现的那样。 注释: [1][7][8][9][10][14][26] 引自康德(邓晓芒译) : 《纯粹理性批判》 ,人民出版社,2004,第 9 页,B11-B12;第 51-52 页,B74-B75;第 69-70 页,B103;第 87-88 页,B129-B130;第 80 页,B118;第 25 页,B33;第 151 页,B197。 [2][6][13][15][16][17][18][21][22][23][24][25][27][28][35][37][38][39] 参见康德(邓晓芒译) : 《纯粹理性批判》 , 人民出版社, 2004, 第 8 页, B10; 第 10 页, BVIII; 第 73-74 页, B107-B108; 第 26 页,B34;第 37 页,B50;第 25 页,B34;第 101-103 页,B151-B155;第 12-13 页, B15-B16;第 41 页,B58;第 101-103 页,B151-B155 及第 140-141 页,B180-181;第 37 页, B50-B51;第 95 页,B95;第 32 页,B44 及第 38 页,B52-53;第 97-98 页,B146-147;第 29 页,B39-B40 及第 35 页,B47-B48;第 15-17 页,B20-B23;第 86 页,B127-B128;序第 14-15 页,BXV-BXVI。 [3][12][32] 参见歌德尔: “罗素的数理逻辑” , 《数学哲学》 ,保罗塞拉夫,普特南编,朱水林 等译,商务印书馆,2003,第 540 页;第 526 页;第 540 页。 [4] 引自弗雷格(王路译) : 《算术基础》 ,商务印书馆,1998,第 13 页。 [5] 参见 Enderton. H. B.: 《数理逻辑》 (英文版· 第 2 版) , 人民邮电出版社, 2006, 第 131-141 页。 [11][31][36] 参见王浩(康宏逵译) : 《哥德尔》 ,上海世纪出版集团,2002,第 238-239 页; 第 250 页;第 237 页。 [19] 引自歌德尔: “康托尔连续统问题是什么?” , 《数学哲学》 ,第 560 页。 [20] 哥德尔提倡“理性主义的乐观主义” 。他大概相信未来可以得到一种“作为精密理论的 哲学” 。 这种哲学具有一个初始概念的完备清单, 根据这些概念可以定义较复杂的复合概念, 并找出一组公理,由此可推演出其他真命题。据哥德尔自己所说,他的想法与莱布尼茨所期 望的形而上学系统相符。 可以说他对体系哲学的信心甚至不弱于康德 (康德关于体系哲学的 看法参见《纯粹理性批判》第 25 页,BXXXVI) ,这在他所处的那个时代是较罕见的。参见 《哥德尔》第 241、242、246 页。 [29][33][34] 参见哥德尔: “康托尔连续统问题是什么?” , 《数学哲学》 ,第 551 页;第 561 页;第 552-553、561 页。 [30] 引自哥德尔: “罗素的数理逻辑” , 《数学哲学》 ,第 541 页。 [40] 哥德尔第二不完全性定理参见《数理逻辑》 (英文版·第 2 版) ,第 266-268 页。希尔伯 特计划及哥德尔不完全性定理对其的意义参见 Shapiro, S.: Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics, United States, Oxford University Press Inc., 2000, 第 165-167 页。

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