高中数学选修4-4-极坐标与全参数方程-知识点与题型

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选做题部分 极坐标系与参数方程

一、极坐标系

1.极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系:如图 4-4-1 所示,在平面内取一个定

点 O,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选

定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通

常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标:平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长

度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ ,θ )称为点 M 的极坐标.其中 ρ 称为点 M 的极径,θ 称为点 M 的极角. 2.极坐标与直角坐标的互化

点M

直角坐标(x,y)

极坐标(ρ,θ)

互化

公式

题型一 极坐标与直角坐标的互化

1、已知点 P 的极坐标为 ( 2, ? ) ,则点 P 的直角坐标为 ( ) 4

A.(1,1)

B.(1,-1)

C.(-1,1)

D.(-1,-1)

2、设点 P 的直角坐标为 (?3,3) ,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系

(0 ? ? ? 2? ) ,则点 P 的极坐标为( )

A. (3 2, 3? ) 4

B. (?3 2, 5? ) 4

C. (3, 5? ) 4

D. (?3, 3? ) 4

3.若曲线的极坐标方程为 ρ =2sin θ +4cos θ ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.

4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A.ρ =cos θ B.ρ =sin θ C.ρ cos θ =1 D.ρ sin θ =1

5.曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________.

6. 在极坐标系中,求圆 ρ=2cos θ 与直线 θ=π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标.

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题型二 极坐标方程的应用

由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解

决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.

1.在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P(

π 2, 4

),圆心为直线

ρ

sin???θ

π -3

???=-

3 2 与极

轴的交点,求圆 C 的直角坐标方程.

2.圆的极坐标方程为 ρ =4cos θ ,圆心为 C,点 P 的极坐标为???4,π3 ???,则 |CP|=________.

3.在极坐标系中,已知直线

l

的极坐标方程为

ρ

sin???θ

π +4

???=1,圆

C

的圆心的极坐标

是 C???1,π4 ???,圆的半径为 1.

(i)则圆 C 的极坐标方程是________; (ii)直线 l 被圆 C 所截得的弦长等于________.

4.在极坐标系中,已知圆 C:ρ =4cos θ

被直线

l:ρ

sin???θ

π -6

???=a

截得的弦长为

2 3,则实数 a 的值是________.

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二、参数方程

1.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而

从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求

出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么,?????xy= =fg??tt??, 就是曲线的参数方程.

2.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

普通方程

参数方程

直线

y-y0=tan α(x-x0)

??x=x0+tcos α
?
??y=y0+tsin α

(t 为参数)



x2+y2=r2

??x=rcos θ
?
??y=rsin θ

(θ 为参数)

椭圆

ax22+by22=1(a>b>0)

??x=acos φ
?
??y=bsin φ

(φ 为参数)

题型一 参数方程与普通方程的互化 【例 1】把下列参数方程化为普通方程:
?x=3+cos θ, (1)??y=2-sin θ;

??x=1+12t,

(2)? ??y=5+

3 2 t.

题型二 直线与圆的参数方程的应用

1、已知直线

l

的参数方程为???x=1+t, ??y=4-2t

(参数

t∈R),圆

C

的参数方程为???x=2cos ??y=2sin

θ+2, θ

(参

数 θ∈[0,2π]),求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

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2、曲线 C 的极坐标方程为:ρ =acosθ (a>0),直线 l 的参数方程为: (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程;(2)若直线 l 与曲线 C 相切,求 a 值.

3、在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为

,(α 为参数),以原点 O

为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 .

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离最小值.

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综合应用

1、曲线

?x

? ?

y

? ?

?2 1?

? 5t 2t

(t为参数)

与坐标轴的交点是(



A (0, 2)、(1 , 0) B (0, 1)、(1 , 0) C (0, ?4)、(8, 0) D

52

52

(0, 5)、(8, 0) 9

3、参数方程

?? ? ??

x y

? ?

2? sin

sin 2?

2

?

(? 为参数)化为普通方程为(



A. y ? x ? 2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

3.判断下列结论的正误. (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系( )

π (2)若点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的一个极坐标是(2,- 3 )( )

(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程 θ =π (ρ ≥0)表示的曲线是一条直线( )

4.参数方程为

??x ?

?

t

?

1 t

(t为参数)

表示的曲线是(



?? y ? 2

A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线

5.与参数方程为

?? x ?

?

t

(t为参数) 等价的普通方程为( )

?? y ? 2 1? t

A. x2 ? y2 ? 1 4

B. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

C. x2 ? y2 ? 1(0 ? y ? 2) D. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)

4

4

15.参数方程

?x

? ?

y

? ?

2 tan?

?

cot?

??为参数?所表示的曲线是

A.直线 B.两条射线 C.线段

D.圆

()

16.下列参数方程(t 是参数)与普通方程 y 2 ? x 表示同一曲线的方程是: ( )

?x ? t A. ??y ? t 2

B.

?x ?

?

sin 2

t

?y ? sin t

C.

??x ? ?? y

? ?

t

t

D.

??x ?

?

1 1

? ?

cos2t cos2t

??y ? tan t

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? ? 3.由参数方程

?x ? ?y

? 2 sec2 ? ? 2tan?

?1 ???为参数,? ?

?

2

?

0

?

? 2

?? 给出曲线在直角坐标系下的方程 ?





4.若直线

l

的参数方程是

???x

?

? ??

y

? ?

3? ?2

4 5
?

t
3 5

t

(t

是参数),则过点(4,-1)且与

l

平行

的直线在 y 轴上的截距是



5.方程

?x

? ?

y

? ?

5? ?3

t sin50? ? t cos50?

(t

是参数)表示的是过点

,倾斜角为

直线。

8.在极坐标系有点

M(3,

? 3

),若规定极径?<0,

极角??[0,2?],则 M 的极坐标为



若规定极径?<0,极角??(-?,?),则 M 的极坐标为

.

9.

?OP1 P2

的一个顶点在极点

O,其它两个顶点分别为

P1

?? ?

?

5,3? 4

???,P2

?? ?

4,? 12

?? ?

,则

?OP1 P2

的面积为



6.(2013·北京高考)在极坐标系中,点???2,π6 ???到直线 ρ sin θ =2 的距离等于 ________.

7、平面直角坐标系中,将曲线

? ? ?

x y

? ?

2 cos ? sin ?

?

2

(?

为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐

标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 ,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐

标系中,曲线 C2 的方程为 ? ? 4sin?

(Ⅰ)求 C1 和 C2 的普通方程:(Ⅱ)求 C1 和 C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.

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8、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? ? 2sin? ? 0,以极点为平面直角坐标系的原

点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

? ??x ? ? ??

? y

1 2 ?

?2 2
2t 2

t

(t

为参数).

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB 的值.

?x=1+cos θ,

?x=2+tcos α,

7、已知圆 C:??y=sin θ

(θ 为参数)和直线 l:??y= 3+tsin α (其中 t 为

参数,α 为直线 l 的倾斜角).

(1)当 α=23π时,求圆上的点到直线 l 距离的最小值;

(2)当直线 l 与圆 C 有公共点时,求 α 的取值范围.

28.参数方程

? ? ?

x y

? ?

cos? (sin? sin? (sin?

? ?

cos? ) cos? )

(?为参数)

表示什么曲线?

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21.点 P 在椭圆 x2 ? y2 ? 1上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9
22.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角? ? ? , 6
(1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积
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