7.3等比数列(二)_图文

(1)等比数列的定义、通项公式.

(2) 达标训练7.3中相关习题.

例6

在-6与-7中间插入一个数,使得这三个

数成等比数列.



设插入数为 G , 则

?7 G ? , G ?6


G ? ? (?6) ? (?7) ? ? 42,
42 或 ? 42.

故插入的数为

一般地,在已知两个数a和b之间插入一个数G,使 a、b、G成等比数列, 则
b G ? . G a 故等比中项为:G 2 ? ab 或 G ? ? ab .

得: a、b、G成等比数列,那么G叫做a和b的等比中项.

?6,

42,

?7 ?7

?6, ? 42,

都叫做?6与?7 的等比中项

一个等比数列任意相邻的3项,其中间项 就是它的前一项与后一项的等比中项.

例7 小明、小刚和小强三个人参加钓鱼比赛,比 赛结果,他们三人钓鱼的条数恰好构成一个等比数 列,已知他们三人一共钓了14条鱼,而他们三人钓 鱼的数目相乘等于64.三人中,小强钓的鱼最多, 小明钓的鱼最少,求他们三人各钓了几条鱼? 解 设小明、小刚和小强钓鱼的条数分别为



?a ? q ? a ? aq ? 14, ? 1 ? a ? 4, q1 ? 2, q2 ? , 解得: a ? ? a ? aq ? 64. 2 ? ?q

a , a, aq, q

a 4 当 q ? 2 时, ? ? 2, aq = 4? 2 q 2
1 a 4 1 ? 8, aq = 4? 时, ? 当 q? 2 q 1 2 2

8.
2.

由于小明钓的鱼最少,故小明钓了2条鱼, 小刚钓了4条鱼,小强钓了8条鱼

a 将成等比数列的三个数设为: , a, aq q
是研究等比数列问题的常用方法.

设等比数列 {a n } 的公比为

q ,则前 n 项和为
q ,得

Sn = a1 + a2 + a3 + L + an .    ( 1)
由于 an ? q ? an ?1 (n ? N* ) ,将上式的两边同时乘以 用(1)式的两边分别减去(2)式的两边,得
n a (1 q ) 1 当 q ? 1 时,Sn = . 1- q

qSn = a2 + a3 + a4 + L + an + an+ 1,   (2)
(1- q)Sn = a1 - an+ 1 = a1 - a1 ?q n a1 (1- q n ),

a1
q(q ? 1)

可求出

Sn

等比数列前n项求和公式:
a1 (1 ? q n ) (q ? 1) Sn ? 1? q

a1q ? a n?1 ? a n q
n

a1 ? a n q Sn ? (q ? 1) 1? q

如果公比 q =1,那么等比数列的每一项都相等,

此时它的前n项和为

S n ? na1

例8 求等比数列:1,-3,9,-27,…的前8项的和. 解 因为

- 3 a1 ? 1, q = = - 3, 1
a1 (1 ? q8 ) S8 ? 1? q
1 ? [1 ? (?3)8 ] ? 1 ? (?3)
1 ? [(?3)2 ]4 ? 4



1 ? 94 ? ? ?1640. 4

注意
9 本例中, 求项数 n 时, 将等号两边化成同底数幂的形式, 例9 一个等比数列的首项是 , 末项是 4 , 4 9 利用指数相等来求解是等比数列中的常用方法. 211 , 求其公比和项数. 各项的和是 36 9 a1 ? a n q 4 211 代入公式 S n ? 解 将 a1 ? , an ? , S n ? 4 9 36 1? q



9 2 n ?1 所以通项公式为 an ? ? ( ) , 4 3

9 4 - ?q 211 4 9 = , 36 1- q

2 解得 q = 3 . .



2 即该等比数列的公比为 ,共有5项. 3

故得 n ?1 ? 4 ,从而 n ? 5,

4 9 2 n- 1 = ( ) , 即 ( 2 )n- 1 = ( 2 ) 4 , 9 4 3 3 3

例 10 等比数列:80,40,20,10,…的前多少项
5115 的和等于 ? 32 40 1 5115 ? ,设 解 数列中 a1 ? 80, q ? 是前 n 项和, 80 2 32
1 80[1 ? ( )n ] 5115 1 n 2 ? ? 160[1 ? ( ) ], 1 32 2 1? 2 1023 1 n 210 ? 1 1 n ? 1 ? ( ) ,于是 化简,得 ? 1 ? ( ) , 10 32 ? 32 2 2 2 1 10 1 n 即 1? ( ) ? 1? ( ) , 2 2 比较等式两边得, n ? 10,故所给数列的前 10 项的和

等于

5115 . 32

例 11

某人从元月份开始,每月底存入银行 1000 元,

银行以复利率 0.2 0 0 计月息, 试问年终结算时本利和总额 是多少(精确到 0.01 元)?
分析 根据复利计息法,各月的存款到年终时的本利和依次分别为 12 月末的存入,已到年终,不再计算利息,本利和为 1000 元, 11 月末的存款到年终时的本利和为 10 月末的存款到年终时的本利和为 …… 2 月末的存款到年终时的本利和为 1 月末的存款到年终时的本利和为

1000(1 ? 0.2 0 0 ) 元,
1000(1 ? 0.2 0 0 ) 2 元, 1000(1 ? 0.2 0 0 )10 元, 1000(1 ? 0.2 0 0 )11元,

从 12 月到 1 月,各月存款的本利和组成一个等比数列,这个数 的首项是 1000,公比是1 ? 0.2 0 0 ? 1.002.

例 11

某人从元月份开始,每月底存入银行 1000 元, 银行以复

利率 0.2 0 0 计月息,试问年终结算时本利和总额是多少(精确到 0.01 元)?

解 年终结算时的本利和总额是首项是 1000,公比是1.002 的等比数列的前 12 项和.

1000(1 ? 1.00212 ) (元) S12 ? ? 500000(1.00212 ? 1) ? 12132.88 1 ? 1.002 故年终结算时的本利和总额约为12132.88元.
注意:由此例可以得出,一般地,每期存入 P 元本金,按复利率i 计 算,第 n 期时的本利和总额为

P[(1 ? i) n ? 1] P[(1 ? i) n ? 1] (元) . F? ? (1 ? i) ? 1 i

练习 7.3.3 ( 15 分钟)
1 2 4 8 1.求等比数列 9 , 9 , 9 , 9 ,…的前 10 项的和. 1 243 a1 ? an ? 2, 2 , Sn ? 182,求q 与 n . 2.已知在等比数列{an}中,

3.小刚的父亲每月底将工资中的 100 元存入银行,银行以复利率 0.2 0 0 计月息, 半年以后的本利和总额应是多少 (精确到 0。 01 元) ?
答案:1. S10 ?
1023 ; 9

2. q ? 3 , n ? 6 ; 3.约为 603 元.

1.本节内容
等比数列的通项公式 等比数列(二) 等比中项和公式

等差数列的前项和公式

2.需要注意的问题 (1 )对前 n 项和公式推导方法的理解; (2)a1、 d 、n 、an 、S n 几个量在解题中的灵活运用.

课后练习: 习题7.3 A:7、8. 达标训练7.3 A:2、5.

作业: 习题7.3 A:9、10、11.
选作: 习题7.3 B. 达标训练7.3 B.


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