【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第4章 第7讲 正弦定理和余弦定理]

第 7 讲 正弦定理和余弦定理
一、填空题 1.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是________. 解析 由题意和正弦定理,得 a2≤b2+c2-bc,∴b2+c2-a2≥bc,cos A=

b2+c2-a2 1 π ≥2,所以 0<A≤3. 2bc π? ? 答案 ?0,3? ? ? 2.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,满足(a+b)2-c2=4,且 C= 60° ,则 ab 的值为________. 解析 由(a+b)2-c2=4 及余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos 60° =(a+b)2- 4 3ab,所以 ab=3. 4 答案 3 3.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ ABC 的面积为________. 解析 不妨设 A=120° ,c<b,则 a=b+4,c=b-4,于是由 cos 120° =

b2+?b-4?2-?b+4?2 1 1 =-2,解得 b=10,S=2bcsin 120° =15 3. 2b?b-4? 答案 15 3 π 4.在△ABC 中,若 b=5,B=4,tan A=2,则 sin A=________,a=________. 解析 ∵tan A=2>0,∴A 为锐角, sin A 又cos A=2①,sin2A+cos2A=1② 2 5 bsin A 5sin A 2 5 由①②得 sin A= 5 .a= sin B = π = 2 =2 10. sin4 2 答案 2 5 5 2 10

5. 如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,

则 sin C=________. 解析 设 AB=a, ∴BD= AB2+AD2-BD2 cos A= = 2AB· AD 2 4 a, BC=2BD= a, 3 3 4 2a2-3a2 2a
2

1 =3,

2 2 ∴sin A= 1-cos2A= 3 , AB 3 2 2 6 由正弦定理知 sin C=BC· sin A= 4 × 3 = 6 . 答案 6 6

6.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A 角大小为________. 解析 由 a2-b2= 3bc,c=2 3b,得 a2=7b2,所以 cos A= b2+c2-a2 = 2bc

b2+12b2-7b2 3 π = 2 ,所以 A=6. 2 4 3b π 答案 6 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列, 3 B=30° ,△ABC 的面积为2,那么 b=________. 解析 由 a, b, c 成等差数列, 得 2b=a+c.平方得 a2+c2=4b2-2ac.又△ABC 3 的面积为2,且 B=30° , 1 1 1 3 故由 S△ABC=2acsin B=2acsin 30° =4ac=2, 得 ac=6,所以 a2+c2=4b2-12.由余弦定理 a2+c2-b2 4b2-12-b2 b2-4 3 cos B= = = = 2ac 4 2. 2×6 解得 b2=4+2 3.又因为 b 为边长,故 b=1+ 3. 答案 1+ 3 8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 3,c=2 2,

tan A 2c 1+tan B= b ,则 C=________. 解析 tan A 2c 1 2 3 由 1+tan B= b 和正弦定理得 cos A=2, ∴A=60° .由正弦定理得sin A

2 2 2 =sin C, ∴sin C= 2 ,又 c<a, ∴C<60° ,∴C=45° . 答案 45°

A+B 9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin2 2 -cos 2C 7 =2,且 a+b=5,c= 7 ,则△ABC 的面积为________. 解析 A+B 7 7 因为 4sin2 2 -cos 2C=2,所以 2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1=2, 2

7 1 1 +2cos C-2cos2C+1=2,cos2C-cos C+4=0,解得 cos C=2.根据余弦定理
2 2 1 a +b -7 有 cos C=2= 2ab ,ab=a2+b2-7,3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=

1 1 3 3 3 25-7=18,ab=6,所以△ABC 的面积 S△ABC= ab· sin C= ×6× = . 2 2 2 2 答案 3 3 2

1 10.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面积为________.[] 解析 =4 3. 答案 4 3 1 2 2 1 1 2 2 ∵cos C=3, ∴sin C= 3 , ∴S△ABC=2absin C=2×3 2×2 3× 3

二、解答题 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,求 A 的值; (2)若 c=10,A=45° ,C=30° ,求 b 的值. 解 (1)由已知得(b+c)2-a2=3bc,即 a2=b2+c2-bc. 1 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 cos A=2.

π 由于 0<A<π,所以 A=3. (2)由于 A+B+C=180° ,所以 B=180° -45° -30° =105° . 6+ 2 b c c 10 由正弦定理sin B=sin C,得 b=sin C· sin B=sin 30° · sin 105° =20× 4 = 5( 6+ 2). 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 解 (1)证明:在△ABC 中,由于 sin B(tan A+tan C)

=tan A tanC, ? sin A sin C ? sin A sin C 所以 sinB?cos A+cos C?=cos A· cos C, ? ? 因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin A sinC, 所以 sinBsin(A+C)=sin Asin C, 又 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sin B, 因此 sin2B=sin Asin C. 由正弦定理得 b2=ac, 即 a,b,c 成等比数列. (2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2, a2+c2-b2 12+22-2 3 由余弦定理得 cosB= 2ac = = , 2×1×2 4 因为 0<B<π, 7 所以 sinB= 1-cos2B= 4 . 1 1 7 7 故△ABC 的面积 S=2acsinB=2×1×2× 4 = 4 . 13. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 sin C (1)求 sin A的值; cos A-2cos C 2c-a = b . cos B

1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 解 (1)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆 半径),所以 cos A-2cos C 2c-a 2sin C-sin A = b = ,即 sin Bcos A-2sin Bcos C cos B sin B

=2sin Ccos B-sin Acos B,即有 sin(A+B)=2sin(B+C), sin C 即 sin C=2sin A,所以sin A=2. sin C c (2)由(1)知sin A=2,所以有a=2,即 c=2a, 又因为△ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a, 1 由余弦定理及 cos B=4得 b2=c2+a2-2accos B, 1 即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2×4,解得 a=1,所以 b=2. 1 14.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 b2=2ac. 3 (1)求证:cos B≥4; (2)若 cos(A-C)+cos B=1,求角 B 的大小. a2+c2-b2 解 (1)因为 cos B= = 2ac 1 2ac-2ac 2ac 3 3 =4,所以 cos B≥4. 1 a2+c2-2ac ≥ 2ac

(2)因为 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)= 1 2sin Asin C=1,所以 sin Asin C=2. 1 1 1 又由 b2=2ac,得 sin2B=2sin Asin C=4, 1 π 又 B∈(0,π),故 sin B=2.由(1),得 B=6.


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