(浙江专版)2019年高中数学 课时跟踪检测(八)双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1
(浙江专版)2019 年高中数学 课时跟踪检测(八)双曲线及其标准
方程 新人教 A 版选修 2-1
1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则 P 点的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.直线
D.一条射线
解析:选 D F1,F2 是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10 的点 P 的轨 迹应为一条射线.
2.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程表示的曲线是( )
A.焦点在 x 轴上的椭圆
B.焦点在 x 轴上的双曲线
C.焦点在 y 轴上的椭圆
D.焦点在 y 轴上的双曲线
y2 x2 解析:选 D 将方程化为 n- n=1,
-m -m
由 mn<0,知-nm>0,
所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.
3.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( )
1 A.2
3 B.2
C.72
D.5
解析:选 C 如图所示,点 P 是以 A,B 为焦点的双曲线的右支上的
点,当 P 在 M 处时,|PA|最小,最小值为 a+c=32+2=72.
x2 y2 4.椭圆 4 +a2=1
x2 y2 与双曲线 a - 2 =1
有相同的焦点,则
a
的值是(
)
1 A.2
B.1 或-2
C.1 或12
D.1
解析:选 D
?? a>0, 依题意知?0<a2<4,
??4-a2=a+2,
解得 a=1.
5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A.x2-y32=1
B.x32-y2=1
C.y2-x32=1
x2 y2 D. 2 - 2 =1
解析:选 A 由双曲线定义知,
2a=
+ 2+32-
- 2+32=5-3=2,
∴a=1. 又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,
因此所求双曲线的标准方程为 x2-y32=1.
6.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线ym2-x92=1 的一个焦点,则 m=________.
解析:由点 F(0,5)可知该双曲线ym2-x92=1 的焦点落在 y 轴上,所以 m>0,且 m+9=52,
解得 m=16.
答案:16
7.经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7),且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是
________________. 解析:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),
则?????972m+ m+284n9= n=1, 1,
??m=-715, 解得???n=215,
y2 x2 故双曲线的标准方程为25-75=1.
y2 x2 答案:25-75=1
8.已知双曲线的两个焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双曲线上一点,且 PF1 · PF2
=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为________________. 解析:由题意可设双曲线方程为 xa22-yb22=1(a>0,b>0).
由 PF1 · PF2 =0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20. 根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a. 两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2 得 20-2×2=4a2,解得 a2=4,从而 b2=5-4=1,
所以双曲线方程为x42-y2=1. 答案:x42-y2=1
x2 y2 9.已知与双曲线16- 9 =1
共焦点的双曲线过点
P???-
25,-
6???,求该双曲线的标准
方程.
x2 y2 解:已知双曲线16- 9 =1,由
c2=a2+b2,
得 c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0).
依题意,c=5,∴b2=c2-a2=25-a2,
x2
y2
故双曲线方程可写为a2-25-a2=1.
∵点 P???- 25,- 6???在双曲线上,
∴???-a225???2-
-6 2 25-a2 =1.
化简,得 4a4-129a2+125=0,
解得 a2=1 或 a2=1425.
又当 a2=1425时,b2=25-a2=25-1245=-245<0,不合题意,舍去,故 a2=1,b2=24. ∴所求双曲线的标准方程为 x2-2y42 =1. 10.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x2+5y2=5 的左焦点和右焦点,且三个内 角 A,B,C 满足关系式 sin B-sin A=12sin C. (1)求线段 AB 的长度; (2)求顶点 C 的轨迹方程. 解:(1)将椭圆方程化为标准形式为x52+y2=1. ∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4. (2)∵sin B-sin A=12sin C,
∴由正弦定理得 |CA|-|CB|=12|AB|=2<|AB|=4,
即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值. ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2-y32=1(x>1).
层级二 应试能力达标
1.设 θ
∈???3π4
,π
???,则关于
x,y
x2 的方程sin
θ
y2 +cos θ
=1 所表示的曲线是(
)
A.焦点在 y 轴上的双曲线
B.焦点在 x 轴上的双曲线
C.焦点在 y 轴上的椭圆
D.焦点在 x 轴上的椭圆
解析:选 B
x2 由题意,知sin θ
y2 --cos
θ
=1,因为 θ
∈???34π
,π
???,所以 sin
θ
>0,
-cos θ >0,则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线.故选 B.
2.若双曲线xn2-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且满足|PF1|
+|PF2|=2 n+2,则△PF1F2 的面积为( A.1
) B.12
C.2
D.4
解析:选 A 设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2 n,已知|PF1|+|PF2|= 2 n+2,解得|PF1|= n+2+ n,|PF2|= n+2- n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2 n+1, 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2 为直角三角形,且∠F1PF2=90°,于是 S△PF1F2=12
|PF1|·|PF2|=12×2=1.故选 A.
3.若双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点坐标是(3,0),则 k=( )
A.1
B.-1
C.12
D.-12
解析:选 A
依题意,知双曲线的焦点在
x
x2 y2 轴上,方程可化为 1 - 8 =1,则
k>0,且
a2
kk
=1k,b2=8k,所以1k+8k=9,解得 k=1.
4.已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0),F1,F2 为其两个焦点,若过焦点 F1 的直线与双曲
线的一支相交的弦长|AB|=m,则△ABF2 的周长为( )
A.4a
B.4a-m
C.4a+2m
D.4a-2m
解析:选 C 由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+
|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2 的周长 l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故
选 C.
x2 y2 5.已知双曲线25- 9 =1
的两个焦点分别为
F1,F2,双曲线上的点
P
到
F1
的距离为
12,
则点 P 到 F2 的距离为________. 解析:设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,当点 P 在双曲线的左支上时,|PF2|-|PF1|=10,
所以|PF2|=22;当点 P 在双曲线的右支上时,|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=2. 答案:22 或 2
x2 y2 6.过双曲线144-25=1
的一个焦点作
x
轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦
点的距离分别为________. x2 y2
解析:因为双曲线方程为144-25=1,
所以 c= 144+25=13, 设 F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点, 则 F1(-13,0),F2(13,0). 设过 F1 且垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(-13,y)(y>0),则2y52 =114342 -1=12454, 所以 y=1225,即|AF1|=1225. 又|AF2|-|AF1|=2a=24, 所以|AF2|=24+1225=31123. 即所求距离分别为1225,31123. 答案:2152,31123
7.已知△OFQ 的面积为 2 6,且 OF · FQ =m,其中 O 为坐标原点.
(1)设 6<m<4 6,求 OF 与 FQ 的夹角 θ 的正切值的取值范围;
(2)设以 O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q,如图所示,| OF | =c,m=??? 46-1???c2,当| OQ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
?? 解:(1)因为 21| OF |·| FQ
π -θ
?| OF |·| FQ |cos θ =m,
=2 6,
所以 tan θ =4 m 6.
又 6<m<4 6,所以 1<tan θ <4. 即 tan θ 的取值范围为(1,4). (2)设双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则| FQ |=(x1-c,y1),
所以 S△OFQ=12| OF |·|y1|=2
6,则
y1=±4
c
6 .
又 OF · FQ =m,即(c,0)·(x1-c,y1)=??? 46-1???c2,解得 x1= 46c,
所以| OQ |= x21+y21=
38c2+9c62 ≥ 12=2 3,
当且仅当 c=4 时,| OQ |最小,
这时 Q 的坐标为( 6, 6)或( 6,- 6).
因为???a62-b62=1, ??a2+b2=16,
所以?????ab22==41,2.
x2 y2 于是双曲线的标准方程为 4 -12=1.
8.设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M???3 5 5,4 5 5???,F( 5,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值. 解:(1)两圆的圆心分别为 A(- 5,0),B( 5,0),半径为 2,设圆 C 的半径为 r.由 题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2, 两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4. 则圆 C 的圆心轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5,b2=1,
∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为x42-y2=1. (2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图,连接 MF 并延长交双曲 线于一点 P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.
又|MF|=
???3
5
5 -
5???2+???4 5 5???2=2,
∴||MP|-|FP||的最大值为 2.