(浙江专版)2019年高中数学 课时跟踪检测(八)双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1

(浙江专版)2019 年高中数学 课时跟踪检测(八)双曲线及其标准

方程 新人教 A 版选修 2-1

1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则 P 点的轨迹是( )

A.双曲线

B.双曲线的一支

C.直线

D.一条射线

解析:选 D F1,F2 是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10 的点 P 的轨 迹应为一条射线.
2.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程表示的曲线是( )

A.焦点在 x 轴上的椭圆

B.焦点在 x 轴上的双曲线

C.焦点在 y 轴上的椭圆

D.焦点在 y 轴上的双曲线

y2 x2 解析:选 D 将方程化为 n- n=1,
-m -m

由 mn<0,知-nm>0,

所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.

3.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( )

1 A.2

3 B.2

C.72

D.5

解析:选 C 如图所示,点 P 是以 A,B 为焦点的双曲线的右支上的

点,当 P 在 M 处时,|PA|最小,最小值为 a+c=32+2=72.

x2 y2 4.椭圆 4 +a2=1

x2 y2 与双曲线 a - 2 =1

有相同的焦点,则

a

的值是(

)

1 A.2

B.1 或-2

C.1 或12

D.1

解析:选 D

?? a>0, 依题意知?0<a2<4,
??4-a2=a+2,

解得 a=1.

5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )

A.x2-y32=1

B.x32-y2=1

C.y2-x32=1

x2 y2 D. 2 - 2 =1

解析:选 A 由双曲线定义知,

2a=

+ 2+32-

- 2+32=5-3=2,

∴a=1. 又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,

因此所求双曲线的标准方程为 x2-y32=1.

6.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线ym2-x92=1 的一个焦点,则 m=________.

解析:由点 F(0,5)可知该双曲线ym2-x92=1 的焦点落在 y 轴上,所以 m>0,且 m+9=52,

解得 m=16.

答案:16

7.经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7),且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是

________________. 解析:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),

则?????972m+ m+284n9= n=1, 1,

??m=-715, 解得???n=215,

y2 x2 故双曲线的标准方程为25-75=1.
y2 x2 答案:25-75=1

8.已知双曲线的两个焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双曲线上一点,且 PF1 · PF2
=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为________________. 解析:由题意可设双曲线方程为 xa22-yb22=1(a>0,b>0).

由 PF1 · PF2 =0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20. 根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a. 两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2 得 20-2×2=4a2,解得 a2=4,从而 b2=5-4=1,

所以双曲线方程为x42-y2=1. 答案:x42-y2=1

x2 y2 9.已知与双曲线16- 9 =1

共焦点的双曲线过点

P???-

25,-

6???,求该双曲线的标准

方程.

x2 y2 解:已知双曲线16- 9 =1,由

c2=a2+b2,

得 c2=16+9=25,∴c=5.

设所求双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0).

依题意,c=5,∴b2=c2-a2=25-a2,

x2

y2

故双曲线方程可写为a2-25-a2=1.

∵点 P???- 25,- 6???在双曲线上,

∴???-a225???2-

-6 2 25-a2 =1.

化简,得 4a4-129a2+125=0,

解得 a2=1 或 a2=1425.

又当 a2=1425时,b2=25-a2=25-1245=-245<0,不合题意,舍去,故 a2=1,b2=24. ∴所求双曲线的标准方程为 x2-2y42 =1. 10.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x2+5y2=5 的左焦点和右焦点,且三个内 角 A,B,C 满足关系式 sin B-sin A=12sin C. (1)求线段 AB 的长度; (2)求顶点 C 的轨迹方程. 解:(1)将椭圆方程化为标准形式为x52+y2=1. ∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4. (2)∵sin B-sin A=12sin C,

∴由正弦定理得 |CA|-|CB|=12|AB|=2<|AB|=4,

即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值. ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2-y32=1(x>1).

层级二 应试能力达标

1.设 θ

∈???3π4

,π

???,则关于

x,y

x2 的方程sin

θ

y2 +cos θ

=1 所表示的曲线是(

)

A.焦点在 y 轴上的双曲线

B.焦点在 x 轴上的双曲线

C.焦点在 y 轴上的椭圆

D.焦点在 x 轴上的椭圆

解析:选 B

x2 由题意,知sin θ

y2 --cos

θ

=1,因为 θ

∈???34π

,π

???,所以 sin

θ

>0,

-cos θ >0,则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线.故选 B.

2.若双曲线xn2-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且满足|PF1|

+|PF2|=2 n+2,则△PF1F2 的面积为( A.1

) B.12

C.2

D.4

解析:选 A 设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2 n,已知|PF1|+|PF2|= 2 n+2,解得|PF1|= n+2+ n,|PF2|= n+2- n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2 n+1, 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2 为直角三角形,且∠F1PF2=90°,于是 S△PF1F2=12

|PF1|·|PF2|=12×2=1.故选 A.

3.若双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点坐标是(3,0),则 k=( )

A.1

B.-1

C.12

D.-12

解析:选 A

依题意,知双曲线的焦点在

x

x2 y2 轴上,方程可化为 1 - 8 =1,则

k>0,且

a2

kk

=1k,b2=8k,所以1k+8k=9,解得 k=1.

4.已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0),F1,F2 为其两个焦点,若过焦点 F1 的直线与双曲

线的一支相交的弦长|AB|=m,则△ABF2 的周长为( )

A.4a

B.4a-m

C.4a+2m

D.4a-2m

解析:选 C 由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+

|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2 的周长 l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故

选 C.

x2 y2 5.已知双曲线25- 9 =1

的两个焦点分别为

F1,F2,双曲线上的点

P



F1

的距离为

12,

则点 P 到 F2 的距离为________. 解析:设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,当点 P 在双曲线的左支上时,|PF2|-|PF1|=10,
所以|PF2|=22;当点 P 在双曲线的右支上时,|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=2. 答案:22 或 2

x2 y2 6.过双曲线144-25=1

的一个焦点作

x

轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦

点的距离分别为________. x2 y2
解析:因为双曲线方程为144-25=1,

所以 c= 144+25=13, 设 F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点, 则 F1(-13,0),F2(13,0). 设过 F1 且垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(-13,y)(y>0),则2y52 =114342 -1=12454, 所以 y=1225,即|AF1|=1225. 又|AF2|-|AF1|=2a=24, 所以|AF2|=24+1225=31123. 即所求距离分别为1225,31123. 答案:2152,31123

7.已知△OFQ 的面积为 2 6,且 OF · FQ =m,其中 O 为坐标原点.

(1)设 6<m<4 6,求 OF 与 FQ 的夹角 θ 的正切值的取值范围;

(2)设以 O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q,如图所示,| OF | =c,m=??? 46-1???c2,当| OQ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.

?? 解:(1)因为 21| OF |·| FQ

π -θ

?| OF |·| FQ |cos θ =m,

=2 6,

所以 tan θ =4 m 6.

又 6<m<4 6,所以 1<tan θ <4. 即 tan θ 的取值范围为(1,4). (2)设双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则| FQ |=(x1-c,y1),

所以 S△OFQ=12| OF |·|y1|=2

6,则

y1=±4

c

6 .

又 OF · FQ =m,即(c,0)·(x1-c,y1)=??? 46-1???c2,解得 x1= 46c,

所以| OQ |= x21+y21=

38c2+9c62 ≥ 12=2 3,

当且仅当 c=4 时,| OQ |最小,

这时 Q 的坐标为( 6, 6)或( 6,- 6).

因为???a62-b62=1, ??a2+b2=16,

所以?????ab22==41,2.

x2 y2 于是双曲线的标准方程为 4 -12=1.

8.设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M???3 5 5,4 5 5???,F( 5,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值. 解:(1)两圆的圆心分别为 A(- 5,0),B( 5,0),半径为 2,设圆 C 的半径为 r.由 题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2, 两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4. 则圆 C 的圆心轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5,b2=1,

∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为x42-y2=1. (2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图,连接 MF 并延长交双曲 线于一点 P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.

又|MF|=

???3

5

5 -

5???2+???4 5 5???2=2,

∴||MP|-|FP||的最大值为 2.


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