(浙江专版)2019年高中数学 课时跟踪检测(八)双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1

（浙江专版）2019 年高中数学 课时跟踪检测（八）双曲线及其标准

方程 新人教 A 版选修 2-1

1．已知 F1(－8,3)，F2(2,3)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝10，则 P 点的轨迹是( )

A．双曲线

B．双曲线的一支

C．直线

D．一条射线

解析：选 D F1，F2 是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10 的点 P 的轨 迹应为一条射线．
2．在方程 mx2－my2＝n 中，若 mn<0，则方程表示的曲线是( )

A．焦点在 x 轴上的椭圆

B．焦点在 x 轴上的双曲线

C．焦点在 y 轴上的椭圆

D．焦点在 y 轴上的双曲线

y2 x2 解析：选 D 将方程化为 n－ n＝1，
－m －m

由 mn<0，知－nm>0，

所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．

3．已知定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )

1 A．2

3 B．2

C．72

D．5

解析：选 C 如图所示，点 P 是以 A，B 为焦点的双曲线的右支上的

点，当 P 在 M 处时，|PA|最小，最小值为 a＋c＝32＋2＝72．

x2 y2 4．椭圆 4 ＋a2＝1

x2 y2 与双曲线 a － 2 ＝1

有相同的焦点，则

a

的值是(

)

1 A．2

B．1 或－2

C．1 或12

D．1

解析：选 D

?? a>0， 依题意知?0<a2<4，
??4－a2＝a＋2，

解得 a＝1．

5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )

A．x2－y32＝1

B．x32－y2＝1

C．y2－x32＝1

x2 y2 D． 2 － 2 ＝1

解析：选 A 由双曲线定义知，

2a＝

＋ 2＋32－

－ 2＋32＝5－3＝2，

∴a＝1． 又 c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，

因此所求双曲线的标准方程为 x2－y32＝1．

6．设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线ym2－x92＝1 的一个焦点，则 m＝________．

解析：由点 F(0,5)可知该双曲线ym2－x92＝1 的焦点落在 y 轴上，所以 m>0，且 m＋9＝52，

解得 m＝16．

答案：16

7．经过点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是

________________． 解析：设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，

则?????972m＋ m＋284n9＝ n＝1， 1，

??m＝－715， 解得???n＝215，

y2 x2 故双曲线的标准方程为25－75＝1．
y2 x2 答案：25－75＝1

8．已知双曲线的两个焦点 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，P 是双曲线上一点，且 PF1 · PF2
＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________． 解析：由题意可设双曲线方程为 xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．

由 PF1 · PF2 ＝0，得 PF1⊥PF2．根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20． 根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a． 两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2 得 20－2×2＝4a2，解得 a2＝4，从而 b2＝5－4＝1，

所以双曲线方程为x42－y2＝1． 答案：x42－y2＝1

x2 y2 9．已知与双曲线16－ 9 ＝1

共焦点的双曲线过点

P???－

25，－

6???，求该双曲线的标准

方程．

x2 y2 解：已知双曲线16－ 9 ＝1，由

c2＝a2＋b2，

得 c2＝16＋9＝25，∴c＝5．

设所求双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．

依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，

x2

y2

故双曲线方程可写为a2－25－a2＝1．

∵点 P???－ 25，－ 6???在双曲线上，

∴???－a225???2－

－6 2 25－a2 ＝1．

化简，得 4a4－129a2＋125＝0，

解得 a2＝1 或 a2＝1425．

又当 a2＝1425时，b2＝25－a2＝25－1245＝－245<0，不合题意，舍去，故 a2＝1，b2＝24． ∴所求双曲线的标准方程为 x2－2y42 ＝1． 10．已知△ABC 的两个顶点 A，B 分别为椭圆 x2＋5y2＝5 的左焦点和右焦点，且三个内 角 A，B，C 满足关系式 sin B－sin A＝12sin C． (1)求线段 AB 的长度； (2)求顶点 C 的轨迹方程． 解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x52＋y2＝1． ∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4， 则 A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4． (2)∵sin B－sin A＝12sin C，

∴由正弦定理得 |CA|－|CB|＝12|AB|＝2<|AB|＝4，

即动点 C 到两定点 A，B 的距离之差为定值． ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支，并且 c＝2，a＝1， ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2－y32＝1(x>1)．

层级二 应试能力达标

1．设 θ

∈???3π4

，π

???，则关于

x，y

x2 的方程sin

θ

y2 ＋cos θ

＝1 所表示的曲线是(

)

A．焦点在 y 轴上的双曲线

B．焦点在 x 轴上的双曲线

C．焦点在 y 轴上的椭圆

D．焦点在 x 轴上的椭圆

解析：选 B

x2 由题意，知sin θ

y2 －－cos

θ

＝1，因为 θ

∈???34π

，π

???，所以 sin

θ

>0，

－cos θ >0，则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线．故选 B．

2．若双曲线xn2－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且满足|PF1|

＋|PF2|＝2 n＋2，则△PF1F2 的面积为( A．1

) B．12

C．2

D．4

解析：选 A 设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2 n，已知|PF1|＋|PF2|＝ 2 n＋2，解得|PF1|＝ n＋2＋ n，|PF2|＝ n＋2－ n，|PF1|·|PF2|＝2．又|F1F2|＝2 n＋1， 则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2 为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是 S△PF1F2＝12

|PF1|·|PF2|＝12×2＝1．故选 A．

3．若双曲线 8kx2－ky2＝8 的一个焦点坐标是(3,0)，则 k＝( )

A．1

B．－1

C．12

D．－12

解析：选 A

依题意，知双曲线的焦点在

x

x2 y2 轴上，方程可化为 1 － 8 ＝1，则

k>0，且

a2

kk

＝1k，b2＝8k，所以1k＋8k＝9，解得 k＝1．

4．已知双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)，F1，F2 为其两个焦点，若过焦点 F1 的直线与双曲

线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2 的周长为( )

A．4a

B．4a－m

C．4a＋2m

D．4a－2m

解析：选 C 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋

|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2 的周长 l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m．故

选 C．

x2 y2 5．已知双曲线25－ 9 ＝1

的两个焦点分别为

F1，F2，双曲线上的点

P

到

F1

的距离为

12，

则点 P 到 F2 的距离为________． 解析：设 F1 为左焦点，F2 为右焦点，当点 P 在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，
所以|PF2|＝22；当点 P 在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2． 答案：22 或 2

x2 y2 6．过双曲线144－25＝1

的一个焦点作

x

轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦

点的距离分别为________． x2 y2
解析：因为双曲线方程为144－25＝1，

所以 c＝ 144＋25＝13， 设 F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点， 则 F1(－13,0)，F2(13,0)． 设过 F1 且垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(－13，y)(y>0)，则2y52 ＝114342 －1＝12454， 所以 y＝1225，即|AF1|＝1225． 又|AF2|－|AF1|＝2a＝24， 所以|AF2|＝24＋1225＝31123． 即所求距离分别为1225，31123． 答案：2152，31123

7．已知△OFQ 的面积为 2 6，且 OF · FQ ＝m，其中 O 为坐标原点．

(1)设 6<m<4 6，求 OF 与 FQ 的夹角 θ 的正切值的取值范围；

(2)设以 O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q，如图所示，| OF | ＝c，m＝??? 46－1???c2，当| OQ |取得最小值时，求此双曲线的标准方程．

?? 解：(1)因为 21| OF |·| FQ

π －θ

?| OF |·| FQ |cos θ ＝m，

＝2 6，

所以 tan θ ＝4 m 6．

又 6<m<4 6，所以 1<tan θ <4． 即 tan θ 的取值范围为(1,4)． (2)设双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则| FQ |＝(x1－c，y1)，

所以 S△OFQ＝12| OF |·|y1|＝2

6，则

y1＝±4

c

6 ．

又 OF · FQ ＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝??? 46－1???c2，解得 x1＝ 46c，

所以| OQ |＝ x21＋y21＝

38c2＋9c62 ≥ 12＝2 3，

当且仅当 c＝4 时，| OQ |最小，

这时 Q 的坐标为( 6， 6)或( 6，－ 6)．

因为???a62－b62＝1， ??a2＋b2＝16，

所以?????ab22＝＝41，2.

x2 y2 于是双曲线的标准方程为 4 －12＝1．

8．设圆 C 与两圆(x＋ 5)2＋y2＝4，(x－ 5)2＋y2＝4 中的一个内切，另一个外切． (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程； (2)已知点 M???3 5 5，4 5 5???，F( 5，0)，且 P 为 L 上动点．求||MP|－|FP||的最大值． 解：(1)两圆的圆心分别为 A(－ 5，0)，B( 5，0)，半径为 2，设圆 C 的半径为 r．由 题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2 或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2， 两式相减得|CA|－|CB|＝－4 或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4． 则圆 C 的圆心轨迹为双曲线，其中 2a＝4，c＝ 5，b2＝1，

∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为x42－y2＝1． (2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点，如图，连接 MF 并延长交双曲 线于一点 P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．

又|MF|＝

???3

5

5 －

5???2＋???4 5 5???2＝2，

∴||MP|－|FP||的最大值为 2．