www.223260.com:人教版高中数学必修四3.2简单的三角恒等变换(三)练习【教师版】.docx

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高中数学学习材料
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简单的三角恒等变换(三)

一、选择题

1、已知 tan? ? ? 4 ,则 tan(? ? 1 ? ) 的值是 ( )

3

4

A.-7

B. ? 1 7

C.7

B 【答案】

D. 1 7

【解析】 tan(?

?

1 4

?

)

?

tan? ? tan 1 ? 4
1? tan? tan 1 ?

?

1

?4 3
? (?

?1 4 ) ?1

?

?

1 7

故选 B。

4

3



2.已知 cos(? ? x) ? 3 , x ? (? ,2? ) ,则 sin x ? ( ) 5

A. ? 3 5
【答案】B

B. ? 4 5

C. 3 D. 4

5

5

【解析】∵ cos(? ? x) ? 3 ,∴ ? cos x ? 3 ,即 cos x ? ? 3 ;又 x ?(?,2 )? ,∴ sin x ? ? 1? cos2 x ? ? 4

5

5

5

5。

故选 B。

3、函数 y ? sin2 x ? sin x cos x 的最小正周期 T= ( )

A.2π 【答案】B

B.π

C. ? 2

D. ? 3

【解析】y ? sin2 x ? sin x cos x ? 1? cos 2x ? 1 sin 2x ? 1 (sin 2x ? cos 2x) ? 1 ? 2 sin(2x ? ? ) ? 1 ,

22

2

22

42

∴最小正周期 T=π .故选 B。

4.函数 y ? 2 cos2 (x ? ? ) ?1的一个单调递增区间是 ( ) 4

A.

? (

,

3?

)

22

B.

? (

,

3?

)

44

C. (? ? , ? ) 22

B 【答案】

D. (? ? , ? ) 44

【解析】∵ y ? 2cos2 (x ? ? ) ?1 ? cos 2(x ? ? ) ? cos(2x ? ? ) ? ?sin 2x ,

4

4

2

∴找原函数的单调递增区间,就是找 y ? sin 2x 的单调递减区间;



y

?

sin

2x

在区间

? (

,

3?

)

上是减函数,

44

5.已知 tan? ? 4 ,则 sin? ? cos? 的值为 ( ) 3 sin? ? cos?

∴故选 B.

A. 1 3
【答案】C

B. ? 1 3

C.7

D. ? 7

【解析】 sin? sin?

? cos? ? cos?

?

tan? tan ?

?1 ? ?1

4 ?1

3 4

?

1

?

7

.故选

C。

3

6.已知? 是第二象限角,且 sin? ? 3 ,则 tan 2? ? ( ) 5

A. 24 7
B 【答案】

B. ? 24 7

C. 7 24

D. ? 7 24

【 解 析 】 由 ? 是 第 二 象 限 角 且 sin? ? 3 得 cos? ? ? 4 ; ∴ sin 2? ? 2sin? cos? ? ? 24 ,

5

5

25

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 7 ;∴ tan 2? ? sin 2? ? ? 24 .故选 B.

25

cos2? 7

二、填空题

7、把函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 4

坐标不变),所得函数图象的解析式为



【答案】 y ? cos x

【解析】把函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ? 个单位长度,得 y ? sin(2x ? ? ) ,即 y ? cos 2x 的图象,把

4

2

y ? cos 2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y ? cos x 的图象;

8、若角? 的始边为 x 轴非负半轴,顶点是原点,点 P(?4,3) 为其终边上一点,则 cos 2? 的值为



【答案】 7 25

【解析】由三角函数的定义知 sin? ? y ?

3

? 3 , cos? ? ? 4 ;

r (?4)2 ? 32 5

5

∴ cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 16 ? 9 ? 7 . 25 25 25

9、已知

f

(x)

?

cos 3x 2

cos

x 2

?

sin

3x 2

sin

x 2

?

2 sin

x cos x

,当

x

?

?? ?? 2

,?

? ??



f

(x)

的零点为

.

【答案】 x ? 5? 8

【 解 析 】 f (x) ? cos2x ? sin 2x = 2 cos(2x ? ? ) , 令 f (x) ? 0 , 得 2 c o s?( ? 2x) =0 , 又

4

4

?

x

?

?? ?? 2

,?

? ??



? 5? ? ? ? 2x ? 9? ,?? ? 2x ? 3? ,

44

44

2

∴ x ? 5? ,即函数 f (x) 的零点是 8

x ? 5? 8

10、已知函数 f (x) ? Asin(?x ??), (A ? 0,? ? 0, ? ? ? , x ? R) 的图象的一部分如下图所示,则函数 f (x) 2

的解析式为

.

f (x) ? 2sin(? x ? ? )

【答案】

44

【解析】由图像知 A ? 2. T ? 8 , T ? 2? ? 8 ,?? ? ? ,

?

4

∴ f (x) ? 2sin(? x ??) ;又图象经过点(-1,0), ∴ 2sin(? ? ??) ? 0 ,∵ ? ? ? ,

4

4

2

| ? |? ? ?? ? ? ,

2

4

三、解答题

? f (x) ? 2sin( ? x ? ? ) 44

11、已知函数 f (x) ? 2sin x cos x ? 2 cos2 x ?1 ,

(1)求 f (x) 的最大值及相应的 x 的值;

(2)若

f

(?

)

?

3 5

,求

cos

2

? ??

π 4

?

2?

? ??

的值。

【答案】(1)

x

?



?

3 8

π



k

?coZs 2)??? 时π4 ?,2?f

(???x?)

c取os得??? 最π2 ?大4值? ???

?2si;n(4?2)?

16 25

【解析】(1) f (x) ? sin 2x ? (2cos2 x ?1) ? sin 2x ? cos 2x ? 2 sin(2x ? ? ) ,(…4 分) 4

∴当 2x ? π ? 2kπ ? π ,即 x ? kπ ? 3 π ( k ?Z )时, f (x) 取得最大值 2 ;(……6 分)

4

2

8

(2)由 f (? ) ? sin 2? ? cos2? ,及 f (? ) ? 3 得: sin 2? ? cos2? ? 3 ,

5

5

两边平方得1? sin 4? ? 9 ,即 sin 4? ? 16 ;

25

25

(…………10 分)



cos

2???

π 4

?

2?

? ??

?

cos

? ??

π 2

?

4?

? ??

?

sin

4?

?

16 25



(…………12 分)


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