12-13(二)微分几何期末复习题

一,

填空

1. 若曲线C 能与另一条曲线 C1 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与 C1 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C在正则点邻近的近似曲线 C * 为x¤(s) = s; y¤(s) = k(0)2 s2;

z¤(s)

= k(0)?(0)6 s3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx¤ds = ky¤ ? 1, dy¤ds = ?kx¤ + ?z¤ dz¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r(s) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k(s) 和挠率? (s) 满

足 . 6. 设C : r = r(s) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率 有 固定比值 . 7.半径为R的圆的曲率为_____
1 ______. R

8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意 点M(t) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10,曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 __F=0___________, 坐标曲线网成为 曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11,距离单位球面球心距离为 d ? 0 ? d ? 1? 的平面与球面的交线的法曲率为

?1



12. 距离单位球面球心距离为 d ? 0 ? d ? 1? 的平面与球面的交线的测地曲率为
2 ? d

1? d 2

. 平面,球

13. 全 脐 点 曲 面 ( 即 曲 面 上 的 点 全 部 是 脐 点 ) 只 有 两 个 , 它 们 是 面 .

14,沿渐近曲线的切方向,法曲率=____0___________;沿曲率线的切方向,法 曲 率 =_________N/G_____________ ; 沿 测 地 线 的 切 方 向 , 法 曲 率 =_______ ?K ______________. 15.曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ 为

?

2

. K2=K2g+K2n


16.曲面上曲线的曲率K,测地曲率Kg,法曲率Kn之间的关系是

17. 下列关于特殊曲线的论断,不正确的是 ( A ) A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零,则曲线必为直线 B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身 C. 沿渐近曲线,曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合 D. 沿测地线,曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直 18,下列曲面不是可展曲面的是 ( A ) ? A. r ? u, v ? ? ? v cos u, v sin u, au ? b ?
? B. 曲线 r (t ) ? ? a cos t , a sin t , bt ? 的切线曲面

C. 高斯曲率恒为0的无平点曲面 D. 与平面等距等价的曲面 19,下面各量中, 不是内蕴量的是 ( C ) A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的测地曲率 C. 曲面上测地三角形的内角和 D. 曲面的高斯曲率 20,下面关于曲面上主方向的说法,不正确的一项是 【 C 】 A. 脐点处,任何方向都是主方向 B. 非脐点处,主方向垂直 C. 脐点处,无主方向 D. 非脐点处,有且仅有两个主方向 二,计算题
? 1.曲线 r (t ) ? ?cos3 t ,sin 3 t , cos 2t? ,求

? ? ? (1)基本向量 ? 、 ? 、 ? ;

(2)曲率和挠率. 答案,习题 P60 8 题

2.求自然方程为 kr ? 1 答案,课件 PDF

2as

? a ? 0? 的曲线的参数方程
例题 6

P50

3 . 计 算 单 位 球 面 r(θ ,φ ) ={cosθ sinφ ,sinθ sinφ ,cosφ } 上 曲 线 θ = logcot(π /4-t/2), φ = π /2-t 0 ≤ t ≤ π /2, 的弧长。 答案,课件 PDF P69 例题 6

4.求环面 r(θ ,φ ) = {(b+asinφ )cosθ ,(b+asinφ )sinθ ,acosφ }的面积,其 中 a,b (b > a)是正常数,参数 0≤θ ≤2π ,0≤φ ≤2π . 答案,课件 PDF P73 例题 9

5.求曲面 Z ? xy 2 的渐进网。 答案,习题 P146 8题

6.试求双曲面 z ? axy 的曲率线。 答案,习题 P146 12 题

7.试求双曲面 z ? axy ,在点 x ? y ? 0 处的平均曲率和 Gauss 曲率。 . 答案,习题 P146 21 题

8.试求下列曲面上的测地线 (1)平面; (2)圆柱面。 答案,课件 PDF P136 例题 2,例题 4,例题 5

9.求位于半径为 R 的球面上半径为 a 的圆周曲线的测地曲率(a < R). 答案,习题 P202 3题

10. 求半径为R的球面上测地三角形三内角之和 。
{球面参数方程为 r (? , ? ) ? ( R cos ? cos ? , R cos ? sin ? , R sin ? ) }

答案,习题 P202

16 题

四,证明 1. 如果曲线 ? : r = r(s) 为一般螺线, ; ?,? 为 ? 的切线向量和主法向量, R 为 ? 的曲率
半径. 证明: r * ( s ) ? R? ? ? ?ds 也是一般螺线.

?

?

?

答案,习题 P87

8题

2.证明具有常曲率 k ? 0 的曲线 C 是贝特朗曲线,且 C 的侣线 C 是 C 的曲率中心 的轨迹,并证明 C 的曲率 k = k ,挠率 ? ? k 答案,习题 P87 12 题
2

?


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