高一数学第二学期期中考试试卷2

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考试号_______________

高一数学第二学期期中考试试卷





一、填空题:(每小题 5 分,共 70 分)

得 分_______________

1. ?ABC 中 a ? 3, b ? 2, ?A ? 600 , 则 ?ABC 的面积 S=___▲ _ ;

2. 等差数列{an} 中, a2 ? 8 , a8 ? 2 ,那么 a10 ? ▲



3. 在 ?ABC 中, a ? 7,b ? 8, cos C ? 13 ,则最大角的余弦值是





14

4.

数列 ?an ?

中, a1

? 1, an

?

1 an?1

? 1,则

a4

?





5. 等差数列?an? 的首项 a1 ? 1,公差 d ? 0 ,如果 a1 、a2 、a5 成等比数列,那么 d 等于 ▲ ;
6. 已知线段 AB 两个端点到平面? 的距离分别是 3 和 4,则 AB 的中点到? 的距离是 ▲ ;
7. 已知锐角三角形的边长分别是 4,5, x ,则 x 的取值范围是 ▲ ;
8. 如右图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点, 则在正方体盒子中,∠ABC 等于_▲________;

姓名_______________

9.

已知 x,y 满足约束条件

???xx

? ?

y?5?0 y ? 0 ,则

z

? 4x

?y

的最小值为 ▲ ;

??x ? 3

10. 一几何体是由几个相同长方体组成,它的三视图如右,

则此几何体共由___▲___块长方体堆成。

主视图

左视图

班级_______________

11. 设函数 f(x)满足 f (n ?1) = 2 f (n) ? n (n∈N*)且 f (1) ? 2 , 2
则 f (20) = ▲ ;

俯视图

12. 设 x>0,y>0,x+y+xy=2,则 x+y 的最小值是 ▲ ;

13. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1? y) ,若不等式 (x ? a) ? (x ? a) ? 1对任意实数x

成立,则实数 a 的取值范围是___▲ __; 14. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体表面上与点 A 距 离是 2 3 的点形成一条曲线,这条曲线的总长度是 ▲ .
3

陈集中学 2007—2008 第二学期期中考试试卷

一、填空题:(共 70 分)

数 学 (答 题 卷)

1、

; 2、

;3、



4、

; 5、

;6、



7、

; 8、

;9、



10、

;11、

;12、



13、

;14、



二、解答题(90 分)
15.(12 分)如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 C,D,已知△ACD 为边长等于 a 的正三

角形, 当敌目标出现于 B 时,测得∠CDB=45°∠BCD=75°,且 A、B、C、D 在同一平面上,我炮

兵欲发射炮弹击中目标,则炮弹飞行的距离是多少?(结果保留根式形式)

B

D

C

A
16. (14 分)解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.

17. (16 分)咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克;乙种饮料每杯含奶 粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克.已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克.如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元,乙种饮料每杯能获 1.2 元,每天在原料的使用限额内饮料能 全部售出,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?

18. (16 分)如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的底是边长为 a 的等边三角形,侧棱与底面垂直,且侧棱长

为 2a .

( 1) 求异面直线 AC1 与 CB1 所成的角; (2) 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角。

C1

A1

B1

C

A

B

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19.(16 分) ?ABC 的三边 a、b、c 和面积 S 满足 S ? c2 ? (a ? b)2 , (1)求 cosC 的值; (2)若 a ? b ? 2 ,求面积 S 的最大值。
20. (16 分)已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 Sn = 2an - 2(n = 1, 2, 3 ) , 数列 {bn }中, b1 = 1,点 P(bn , bn+1) 在直线 y = x + 2 上. (1)求数列 {an }, {bn }的通项公式 an 和 bn ;
? ? (2) 设 cn ? an bn ,求数列 cn 的前 n 项和Tn ,并求满足Tn < 167 的最大正整数 n .

数学(答案)

1.?? 3 ; 2
2.??a10 ? 0; 3.??? 1 ;
7 4.??5 ;
3 5.???2; 6.??7 或 1 ;
22 7.??x ? (3, 41); 8.??60o ; 9.??? 25 ;
2 10.??4; 11.??97;
12.??? ? ? 2; 13.??? ??? ? , 3)
?2 14.??? ? ? .
6

15.

在?BCD中,sin?BCBDC

?

DC sin?CBD

?

BC

?

6 a, 3

在?ABC中,由余弦定理得:AB ? 5 ? 2 3 a. 3

16. (1)当 a=0 时,不等式的解集为 x>1;

………………………… 2 分

(2)当 a≠0 时,将原不等式分解因式,得 a(x- 1 )(x-1)<0 ……………… 4 分 a

①当 a<0 时,原不等式等价于(x- 1 )(x-1)>0,不等式的解集为 x>1 或 x< 1 ;…6 分

a

a

②当 0<a<1 时,1< 1 ,不等式的解集为 1<x< 1 ; ……………………………8 分

a

a

③当 a>1 时, 1 <1,不等式的解集为 1 <x<1;

a

a

④当 a=1 时,不等式的解为 ? .

综上,当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞);

…………………………10 分 ………………………12 分

当 a<0 时,不等式的解集为(-∞, 1 )∪(1,+∞);当 0<a<1 时,不等式的解集为(1, 1 );

a

a

当 a>1 时,不等式的解集为( 1 ,1); a

当 a=1 时,不等式的解集为 ? 。

当 0<a<1 时,不等式的解集为(1, 1 ); a

当 a>1 时,不等式的解集为( 1 ,1);…………………………………14 分 a

17. 设每天应配制甲种饮料 x 杯,乙种饮料 y 杯,获利 z 元.

?9x ? 4 y ? 3600



????34xx

? 5y ? 2000 ?10 y ? 3000

??x ? N

?? y ? N

……………6 分

目标函数为:z=0.7x+1.2y

作出可行域:

……………10 分

作直线 l:0.7x+1.2y=0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 C,且与原点距 离最大,此时 z=0.7x+1.2y 取最大值.

解方程组

?4x ??3x

? ?

5y ? 2000, 10y ? 3000,

得点 C 的坐标为(200,240).

答:每天应配制甲种饮料 200 杯,乙种饮料 240 杯,能使该咖啡馆获利最大. …………………16 分

18.(1) 在平面 ABC 内过 A 作 BC 的平行线,过 B 作 AC 的平行线,交于点 D, 连 B1D,可得 B1C1AD 是平行四

边形,B1D 平行 C1A,连 CD,可得△B1CD 是正△,故异面直线 AC1 与 CB1 所成的角是 60o. ………8 分

(2) 解:取 A1B1 的中点 M,连 AM , MC1 ,

∵ △A1B1C1 是正三角形,∴ MC1⊥A1B1,

又∵ AA1⊥平面 A1B1C1,

∴ AA1⊥MC1,

∴ MC1⊥平面 ABB1A1

∴ ∠C1AM 就是直线 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.

在 Rt △AMC1 中,
C1

AC1 ?

AA12 ? A1C12 ?

3a , C1M ?

3 a, 2

A1

M

B1



s i n?C1AM

? C1M AC1

?

1 2



?C1 AM

? 30



C

A

B

直线 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 30 .…………16 分

? ? 19. c2 ? ?a ? b?2 ? c2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2ab ? a2 ? b2 ? c2

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2ab cos C
?c2 ? (a ? b)2 ? 2ab(1? cos C) 又 S ? 1 absin C
2 ?sin C ? 4(1? cosC)

sin2 C ? cos2 C ? 1

?17 cos2 C ? 32cos C ?15 ? 0 ? cos C ? 15 或cos C ?(1 舍去)………… 10 分 17

(2)由上知 cos C ? 15 ?sin C ? 8 ,

17

17

?S ? 1 absin C ? 4 ab ? 4 a(2 ? a) ? ? 4 (a ?1)2 ? 4

2

17 17

17

17

a?b ? 2?0 ? a ? 2

?当a ? 1,b ? 1时,的最大值为 4 . 17

………… 16 分

(或 ab ? ( a ? b)2 ? 1亦可) 2

20. 解(1) Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2,

又Sn-Sn?1=an,(n ? 2, n ? N *)

………… 2 分

?an ? 2an ? 2an?1, . an ? 0,

? an an?1

?

2, (n

?

2, n ? N *),即数列?an?是等比数列。

a1 ? S1,?a1 ? 2a1 ? 2,   即a1=2,      ?an ? 2n…………………………………………………………4分

点P(bn ,bn?1)在直线y=x+2上,?bn?1=bn+2

?bn?1 ?bn ? 2,即数列?bn?是等差数列,又b1=1,?bn ? 2n ?1 7分

(2) cn=(2n ?1)2n ,

?Tn=a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ? (2n ?1)2n , ……9 分

?2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ? (2n ? 3)2n ? (2n ?1)2n?1

因此: ?Tn ? 1? 2+(2 ? 22+2 ? 23+ +2 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1

即: ?Tn ? 1? 2 ? (23 ? 24 ? ? 2n?1)? (2n ?1)2n?1

?Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6

……………………14分

Tn ? 167,即:(2n ? 3)2n?1 ? 6 ? 167, 于是(2n ? 3)2n?1 ? 161

又由于当n ? 4时,(2n ? 3)2n?1 ? (2? 4-3)25=160,

当n ? 5时,(2n ? 3)2n?1 ? (2? 5-3)26=448,

故满足条件T n

?

167的最大正整数n为4……………………16分


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