www.6288ks.com:高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质课件4 苏教版选修11_图文

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复习:

1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的
动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是:

当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
y2 x2 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

3.椭圆中a,b,c的关系是:

a2=b2+c2

二、椭圆

简单的几何性质

1、范围:ax22 ? 1,

y2 b2

?

1得:

-a≤x≤a, -b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组y成的矩形中
B2

A1
F1

b
oc

a

A2

F2

B1

椭圆的对称性

Y

P1(-x,y)

P(x,y)

O

X

P2(-x,-y)

2、对称性:
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;
(心3对)称把。x换成-x,同时把y换成-yy方程不变,图象关于原点成中
B2

A1
F1

b
oc

a

A2

F2

B1

3、椭圆的顶点

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点?

令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? y

*顶点:椭圆与它的对称轴

B2 (0,b)

的四个交点,叫做椭圆的

顶点。

A1

*长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。

b

a

oc

F2

B1 (0,-b)

A2 (a,0)

a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

根据前面所学有关知识画出下列图形

(1)

x2 y2 ? ?1

25 16

(2) x2 ? y2 ? 1 25 4

y

4 B2
3

2

A1

1

A2

-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x

-2

-3

-4 B1

y

4

3 2

B2

A1

1

A2

-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x

-2 -3

B1

-4

4、椭圆的离心率

离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? c

叫做椭圆的离心率。

a

[1]离心率的取值范围:0<e<1

[2]离心率对椭圆形状的影响:

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭

圆就越扁

2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆

[3]e与a,b的关系:
e?c ? a

a2 ? b2

b2

? 1?

a2

a2

标准方程 范围

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)

|x|≤ a,|y|≤ b

对称性

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成
中心对称

顶点坐标

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

焦点坐标

(c,0)、(-c,0)

半轴长
离心率
a、b、c的 关系

长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e? c a
a2=b2+c2

标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e? c a
a2=b2+c2

x2 b2

?

y2 a2

? 1(a

?b

?

0)

|x|≤ b,|y|≤ a

同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)

同前

同前

同前

例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,

它的长轴长是: 10 。短轴长是: 8 。

3

焦距是: 6

。 离心率等于:5



焦点坐标是: (?3, 0) 。顶点坐标是:(?5, 0) (0, ?4。)

外切矩形的面积等于:

80



解题的关键:1、将椭圆方程转化为标

准方程

x2 ? y 2 ? 1 明确a、b

25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置

练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6

它的长轴长是:2 6 。短轴长是:
焦距是: 2 5 .离心率等于:
焦点坐标是: (0,? 。5)顶点坐标是:

。2



30 6

(0,。? 6)

外切矩形的面积等于: 4 6 。

(?1, 0)

其标准方程是 x2 ? y2 ? 1 16
a ? 6 b ?1 则c ? a2 ?b2 ? 5

例2.过适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点P(?3,、0) Q(0;, ?2)

3

(2)长轴长等于 20,离心率等于 .5

解:(1)由题意, a ? 3 ,b又?∵2长轴在

x

轴上,所以,椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 .
(2)由已知,2a ? 20 ,e ? c ? 3 9 4
a5

∴ a ?10 ,c ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64 ,

所以椭圆的标准方程为 x2 ? y或2 ? 1
100 64

y2 ?.x2 ? 1
100 64

例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴 上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P(3, 0),求椭圆的方程。

答案: x2 ? y 2 ? 1 9

x2 ? y2 ? 1 9 81

分类讨论的数学思想

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。


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