初高中数学衔接知识 第三讲 三角形与圆(含答案)

第三讲 三角形与圆

3.1

相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图 3.1-2,l1 // l2 // l3 ,有

AB DE AB DE = ? .当然,也可以得出 .在运用该定理解决 BC EF AC DF

问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成比例. 例1 如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,

且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF .

例 2 在 ? ABC 中, D, E 为边 AB, AC 上的点, DE // BC , 求证:

AD AE DE ? ? . AB AC BC

平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例.

例3

在 V ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,求证:

AB BD = . AC DC

例 3 的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的 两边之比).

-1-

练习 1 1 .如图 3.1-6 , l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的是 ( )

AD = DF CE = C. DF
A.

CE BC AD BC

B.

AD = BE AF = D. DF

BC AF BE CE
图 3.1-6

2.如图 3.1-7, DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF .

图 3.1-7

3.如图,在 V ABC 中,AD 是角 BAC 的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.

图 3.1-8

-2-

3.1.2.相似形
我们学过三角形相似的判定方法, 想一想, 有哪些方法可以判定两个三角形相似?有哪 些方法可以判定两个直角三角形相似? 例6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ^ BC于D . 求证: (1) AB = BD ?BC , AC = CD ?CB ; (2) AD = BD ?CD 练习 2 1.如图 3.1-15,D 是 V ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点作 DE//BC 交 AC 于 E.已知 AD:DB=2:3,则 SV ADE : S四边形BCDE 等于( A. 2 : 3 B. 4 : 9 C. 4 : 5 D. 4 : 21 图 3.1-15 2. 若一个梯形的中位线长为 15, 一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是 3 : 2 , 则梯形的上、下底长分别是__________. 3.已知: V ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 V A ' B ' C ' 的最大边长是 15,求 )
2 2 2

? A ' B ' C ' 的面积 SV A ' B 'C ' .

4.已知:如图 3.1-16,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1) 请判断四边形 EFGH 是什么四边形,试说明理由; (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、BD 满 足什么条件时,EFGH 是菱形?是正方形? 图 3.1-16

-3-

习题 3.1
1. 如图 3.1-18 , V ABC 中, AD=DF=FB , AE=EG=GC , FG=4,则( A.DE=1,BC=7 C.DE=3,BC=5 ) B.DE=2,BC=6 D.DE=2,BC=8 图 3.1-18

2. 如图 3.1-19,BD、CE 是 V ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、 CE 的中点,则 PQ : BC 等于( A.1:3 C.1:5 B.1:4 D.1:6 图 3.1-19 )

3. 如图 3.1-20, Y ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,DE 交 BC 于点 F,已知 BE:AB=2:3, SVBEF = 4 ,求 SVCDF .

图 3.1-20

4. 如图 3.1-21, 在矩形 ABCD 中, E 是 CD 的中点,BE ^ AC 交 AC 于 F , 过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G , 求 证 :

AG 2 = AF ?FC .
图 3.1-21

-4-

3.2

三角形

3.2.1 三角形的“四心”

三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的 内部,恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知 求证 D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 图 3.2-3

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心 . 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相 等.(如图 3.2-5)

图 3.2-5

例 2

已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,且 I

在 V ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ,求证: AE = AF =

b+ c- a . 2

三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定 在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部. (如图 3.2-8)

图 3.2-8

-5-

例 4 求证:三角形的三条高交于一点. 已知 求证

V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, AD 与 BE 交于 H 点.
C H^ AB .

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是 三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各 边的垂直平分线的交点.

练习 1 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.

2. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内切圆的半 径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的 半径是___________. 并请说明理由.

练习 2 1. 直角三角形的三边长为 3,4, x ,则 x = ________.

2. 等腰三角形有两个内角的和是 100° ,则它的顶角的大小是_________. 3. 已知直角三角形的周长为 3 ? 3 ,斜边上的中线的长为 1,求这个三角形的面积.

-6-

习题 3.2
A组 1. 已知:在 ? ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 120o , AD 为 BC 边上的高,则下列结论中,正 确的是() A. AD ?

3 AB 2

B. AD ?

1 AB 2

C. AD ? BD

D. AD ?

2 BD 2

2. 三角形三边长分别是 6、8、10,那么它最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.8

3. 如 果 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 等 于 腰 长 的 一 半 , 那 么 这 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 等 于 _________. 4. 已知: a, b, c 是 ? ABC 的三条边, a ? 7, b ? 10 ,那么 c 的取值范围是_________。

8 ,且 a 是整数,则 a 的值是_________。 5. 若三角形的三边长分别为 1、a、

3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系

设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆,怎样判断直线 l 和圆 O 的位置关系?

图 3.3-1

-7-

观察图 3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为:当圆心到直线的距离 d > r 时,直线 和圆相离,如圆 O 与直线 l1 ;当圆心到直线的距离 d = r 时,直线和圆相切,如圆 O 与直线

l2 ;当圆心到直线的距离 d < r 时,直线和圆相交,如圆 O 与
直线 l3 . 在直线与圆相交时,设两个交点分别为 A、B.若直线经过圆 心,则 AB 为直径; 若直线不经过圆心,如图 3.3-2,连结圆心 O 和 弦 AB 的 中 点 M 的 线 段 OM 垂 直 于 这 条 弦 AB . 且 在

R tV O M A 中, OA 为圆的半径 r , OM 为圆心到直线的距离 d , MA 为弦长 AB 的一半,
根据勾股定理,有

图 3.3-2

r2 - d 2 = (

AB 2 ) . 2

当直线与圆相切时,如图 3.3-3 , PA, PB 为圆 O 的切线,可得

PA ? PB , OA ? PA. ,且在 Rt ? POA 中, PO2 ? PA2 ? OA2 .
如图 3.3-4, PT 为圆 O 的切线, PAB 为圆 O 的割线,我们可以证
2 得 ? PAT ?? PTB ,因而 PT ? PA ? PB .

图 3.3-3

图 3.3-4 例1 度。 如图 3.3-5,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是 ? AB 的中点,求弦 BD 的长

-8-

例 2 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 ,且这两条线的距离为 3.求这个圆的半 径. 设圆 O1 与圆 O2 半径分别为 R, r ( R ? r ) ,它们可能有哪几种位置关系?

图 3.3-7

观察图 3.3-7,两圆的圆心距为 O1O2 ,不难发现:当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相内切,如 图(1) ;当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相外切,如图(2) ;当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相内含,如 图(3) ;当 R ? r ? O1O2 ? R ? r 时,两圆相交,如图(4) ;当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相外 切,如图(5). 例 3 设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2, O1O2 ? 4 , A, B 为两圆的交点,试求两圆的公 共弦 AB 的长度.

-9-

练习 1 1.如图 3.3-9, ⊙O 的半径为 17cm, 弦 AB=30cm, AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为 D、 C, 求弦 AC 和 BD 的长。

图 3.3-9

2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半径等于 5cm, 求梯形 ABCD 的面积。

3. 如 图 3.3-10 , ⊙O 的 直 径 AB 和 弦 CD 相 交 于 点 E ,

AE ? 1cm, EB ? 5cm, ?DEB ? 60o , 求 CD 的长。
图 3.3-10

4.若两圆的半径分别为 3 和 8,圆心距为 13,试求两圆的公切线的长度.

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3.3.2 点的轨迹
在几何中, 点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形, 它是符合某个条件的所有点 组成的.例如,把长度为 r 的线段的一个端点固定,另一个端点绕这个定点旋转一周就得到 一个圆,这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ;同时,到定点的距离等于 r 的所有点 都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有 两层意思: (1) 图形是由符合条件的那些点组成的, 就是说, 图形上的任何一点都满足条件; (2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符合条件的任何一点都在图形上. 下面,我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论,可以得出: (1) 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆. 我们学过,线段垂直平分线上的每一点,和线段两个端点的距离相等;反过来,和线段 两个端点的距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹: (2) 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理,同样可以得到另一个轨迹: (3) 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线. 练习 2 1.画图说明满足下列条件的点的轨迹: (1) 到定点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹; (2) 到直线 l 的距离等于 2cm 的点的轨迹; (3) 已知直线 AB // CD ,到 AB 、 CD 的距离相等的点的轨迹.

2.画图说明,到直线 l 的距离等于定长 d 的点的轨迹.

- 11 -

习题 3.3 1. 已知弓形弦长为 4,弓形高为 1,则弓形所在圆的半径为( A. 3 B. )

5 2

C.3

D.4

2. 在半径等于 4 的圆中,垂直平分半径的弦长为( A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3



3. AB 为⊙O 的直径,弦 CD ? AB ,E 为垂足,若 BE=6,AE=4,则 CD 等于( ) A. 2 21 B. 4 6 C. 8 2 D. 2 6

4. 如图 3.3-12 ,在⊙O 中, E 是弦 AB 延长线上的一点,已知 OB=10cm,OE=12cm ,

?OEB ? 30o , 求 AB。

图 3.3-12

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参考答案

第二讲 三角形与圆 3.1 相似形 练习 1 1.D

DE AD x 5 10 10 ? ,? ? , x ? ,即 BF ? . BC AB x?2 8 3 3 AB BD 5 35 ? ? ,? BD ? cm. 3.? AC DC 4 9 AB BD ? ? F得 AC ? 4 . 作 CF // AB 交 AD 于 F , 则 , 又 ?A F C? ? F A E CF DC AB BD ? AC ? CF , ? . AC DC EG CE ? , 即 5 . 作 EG // AB 交 BC 于 G , ?? CEG ?? CAB,? AB AC AC CE DB DF AC ? ? ,? ? . AB EG EG EF AB
2.设 BF ? x,?

练习 2 1. C 2.12,18

1 15 ? 3 ? 4 ? 6,? S? A ' B 'C ' ? ( ) 2 ? 6 ? 54. 2 5 1 4. (1)因为 EH // BD //FG, 所以 EFGH 是平行四边形; (2)当 AC ?BD 时, EFGH 为 2
3.? S? ABC ? 菱形;当 AC ? BD, AC ? BD 时, EFGH 为正方形. 5. (1)当 CD ? AC ? BD 时, ? ACP ?? PDB ; (2) ?APB ? 120 .
2 o

习题 3.1 1.B 2.B 3. S? CDF ? 9

2 4 . BF 为 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 上 的 高 , BF ? AF ? FC , 又 可 证

AG ? BF , ? AG 2 ? AF ? FC .
3.2 三角形

- 13 -

练习 1 1.证略 练习 2 1.5 或 7 2. 20 或 80
o
o

2.(1)

2S a?b?c ; (2) . a?b?c 2

3.C
2 2

4.设两直角边长为 a , b ,斜边长为 2,则 a ? b ? 1 ? 3 ,且 a ? b ? 4 ,解得 ab ? 3 ,

?S ?

1 ab ? 2 3 . 2

5.可利用面积证.

习题 3.2 A组 1.B 3.3 圆 练习 1 1 .取 AB 中点 M,连 CM , MD,则 CM ? AB, DM ? AB,且 C ,O,M ,D 共线, 2. D 3. 120
o

4. 3 ? c ? 17

5.8

OM ? 172 ? 152 ? 8, CM ? 25, DM ? 9, AC ? 5 34cm, BD ? 3 34cm .
2. O 到 AB, CD 的距离分别为 3cm,4cm, 梯形的高为 1cm 或 7cm, 梯形的面积为 7 或 49 cm . 3. 半径为 3cm,OE=2cm.,OF= 3, CD ? 2 6cm .4.外公切线长为 12,内公切线长为 4 3 . 练习 2 1.(1)以 A 为圆心,3cm 为半径的圆; (2)与 l 平行,且与 l 距离为 2cm 的两条平行线; ( 3) 与 AB 平行,且与 AB,CD 距离相等的一条直线. 2.两条平行直线,图略. 习题 3.3 1.B 2.A 3.B 4.AB=8cm.
2

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