2019北京海淀高三(上)期末数学(文)

专注北京高考升学

2019 北京海淀高三(上)期末 数 学(文)
2019.01

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点的坐标为 2 2
(B) (? 2 , 0) (C) (?1, 0) (D) (?4, 0)

(A) (?2, 0)

(2)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,且 a1 , a2 ,6 成等差数列,则 a4 ? (A) 6 (B) 8 (C) 16 (D) 32

(3)若 lg a ? 2 lg 2 ? 1 ,则 a ? (A) 4 (B) 10 (C) 20 (D) 40

(4)已知向量 a ? (2, 0), b ? (t ,1) ,且 a ? b ?| a | ,则 a ? b ? (A) (1,1) (B) (1, ?1) (C) ( ?1,1) (D) (?1, ?1)

(5)直线 y ? kx ? 1 被圆 x2 ? y 2 ? 2 截得的弦长为 2 ,则 k 的值为 (B) ?

(A) 0

1 2

(C) ?1

(D) ?

2 2

(6)已知函数 f ( x) ? x ?

a ,则“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上存在零点”的 x
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

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(7)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x, g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则下列结论中正确的是 (A)函数 f ( x) 的值域与 g ( x ) 的值域不同 (B)存在 x0 ,使得函数 f ( x) 和 g( x) 都在 x0 处取得最值 (C)把函数 f ( x) 的图象向左平移

π 个单位,就可以得到函数 g ( x) 的图象 2

(D)函数 f ( x) 和 g( x) 在区间 (0, ) 上都是增函数 (8)已知集合 I ? {1,2,3,4,5,6} , A ? {(s, t ) | s ? I , t ? I } . 若 B ? A ,且对任意的 (a, b) ? B,( x, y) ? B ,均有

π 2

(a ? x)(b ? y) ? 0 ,则集合 B 中元素个数的最大值为
(A) 5 (B) 6 (C) 11 第二部分(非选择题 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9 )抛物线 C : y 2 ? 4 x 的准线方程为 . . (D) 13 共 110 分)

(10)执行如图所示的程序框图,当输入的 M 值为 7 , n 值为 2 时,输出的 S 值为

开始 输入 M , n
k ? 0, S ? 0

k ? k ?1 S?M
是 输出 S 结束 否

S ? S ?n

(11)某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥的体积是



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(12)在 △ ABC 中, a ? 2 , b ? 2 ,且 sin 2 A ? sin B ,则 cos A ? , ?C ? .

? y ? x, ? (13)设关于 x , y 的不等式组 ? x ? 4, 表示的平面区域为 ? ,若 A(1, ?2), B(3, 0), C(2, ?3) 中有且仅有两个点在 ? ? y ? kx ? 2 ?

内,则 k 的最大值为



(14)已知函数 f ( x) ? e | x ?t | , g ( x) ? ? x ? e , h( x) ? ma x{ f ( x), g ( x)} ,其中 ma x{a, b} 表示 a , b 中最大的数. (Ⅰ) 若 t ? 1 ,则 h(0) ? ;

(Ⅱ)若 h( x) ? e 对 x ? R 恒成立,则 t 的取值范围是_________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15)(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) . (Ⅰ) 求 a2 , a3 , a4 的值和 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2log2 an ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(16)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos 2 x . (Ⅰ) 比较 f ( ),f ( ) 的大小; (Ⅱ) 当 a ? ? 6 时,求函数 f ( x) 的最小值.

π 6

π 2

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(17)(本小题满分 13 分) 为迎接 2022 年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核. 记

X 表示学生的考核成绩,并规定 X ? 85 为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽
取了 30 名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图: 5 6 7 8 9 0 0 2 1 0 1 1 3 1 2 1 4 7 4 1 6 3 6 5 3 3 8 2 0 5 7 9 8 1 7

(Ⅰ) 从参加培训的学生中随机选取 1 人,请根据图中数据,估计这名学生考核成绩为优秀的概率; (Ⅱ)从图中考核成绩满足 X ? [80, 89] 的学生中任取 2 人,求至少有一人考核优秀的概率; (Ⅲ)记 P ? a ?

X ? b ? 表示学生的考核成绩在区间 [a, b] 内的概率,根据以往培训数据,规定当

? X ? 85 ? P? ? 1 ? ? 0.5 时培训有效. 请你根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由. ? 10 ?
(18)(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 ABCD ? 平面 PCD , 底面 ABCD 为梯形, AB ? CD , AD ? DC . (Ⅰ)求证: A B ? 平面 PCD ; (Ⅱ)求证: AD ? 平面 PCD ; (Ⅲ)若 M 是棱 PA 的中点,求证:对于棱 BC 上任意一点 F ,

MF 与 PC 都不平行.

(19)(本小题满分 14 分)

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已知点 B (0, ?2) 和椭圆 M : (Ⅰ) 求椭圆 M 的离心率; (Ⅱ) 当 k ?

x2 y 2 ? ? 1 . 直线 l : y ? kx ? 1 与椭圆 M 交于不同的两点 P, Q . 4 2

1 时,求 ?PBQ 的面积; 2

(Ⅲ)设直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 C ,当 C 为 PB 中点时,求 k 的值 .

(20)(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

a ? x2 ,其中 a ? 0 . ex

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (?1, f (?1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证: 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? .

2 e

数学试题答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A 2. C 3. D 4.B 5. A 6. C 7.C 8.B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. x ? ?1

10. 8

11.

4 3

12.

2 π , 2 4

13. 0

14.

e, t ? ?1

说明:第 11,14 题第一空 3 分,第二空 2 分

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三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解:(Ⅰ)因为 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) 所以 a2 ? a1 ? 2 ? 4 , a3 ? a2 ? 4 ? 8 , a4 ? a3 ? 8 ? 16 因为 an ? an ?1 ? 2n ?1 (n ? 2)

an ?1 ? an ? 2 ? 2n ? 2 an ? 2 ? an ?3 ? 2n ?3
……

a3 ? a2 ? 22 a2 ? a1 ? 21
把上面 n ? 1 个等式叠加,得到

an ? a1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ? 2
所以 an ? 2n (n ? 2) 又 n ? 1 时, a1 ? 2 符合上式,所以 an ? 2n (Ⅱ)因为 bn ? 2log 2 an ? 1 ? 2log 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 所以 bn ? bn ?1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? 2 所以 {bn } 是首项为 b1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列 所以 S n ?

n(b1 ? bn ) ? n2 2 π 6 a 1 π ? , f ( ) ? a ?1 2 2 2

16. 解:(Ⅰ)因为 f ( ) ?

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所以 f ( ) ? f ( ) ? (a ? 1) ? ( ? ) ?

π 2

π 6

a 2

1 2

a 3 ? 2 2

当 a ? ?3 时, f ( ) ? f ( )

π 2 π 2

π 6 π 6

当 a ? ?3 时, f ( ) ? f ( )

当 a ? ?3 时, f ( ) ? f ( ) (Ⅱ)当 a ? ?6 时,

π 2

π 6

f ( x) ? ?6sin x ? cos 2 x

? ?6sin x ? (1 ? 2sin 2 x)
? 2sin 2 x ? 6sin x ? 1

3 11 ? 2(sin x ? ) 2 ? 2 2
设 t ? sin x, 所以 t ? [?1,1] 所以 y ? 2(t ? )2 ?

3 2

11 3 ,其对称轴为 t ? 2 2

因为 t ?

3 ?1 , 2

所以当 t ? 1 时,函数取得最小值 ?5 . 17. 解:(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件 A 由茎叶图中的数据可以知道, 30 名同学中,有 7 名同学考核优秀 所以所求概率 P ( A) 约为

7 30

(Ⅱ)设从图中考核成绩满足 X ? [80,89] 的学生中任取 2 人,至少有一人考核成绩优秀为事件 B

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因为表中成绩在 [80,89] 的 6 人中有 2 个人考核为优 所以基本事件空间 ? 包含 15 个基本事件,事件 B 包含 9 个基本事件 所以 P( B) ?

9 3 ? 15 5 X ? 85 ? 1 的成绩有 16 个, 10

(Ⅲ)根据表格中的数据,满足

? X ? 85 ? 16 8 所以 P ? ? 1? ? ? ? 0.5 ? 10 ? 30 15
所以可以认为此次冰雪培训活动有效 18.证明: (Ⅰ)因为 AB ? CD

CD ? 平面 PCD AB ? 平面 PCD
所以 AB ? 平面 PCD (Ⅱ)法一: 因为平面 ABCD ? 平面 PCD 平面 ABCD ? 平面 PCD ? CD

AD ? CD , AD ? 平面 ABCD
所以 AD ? 平面 PCD 法二: 在平面 PCD 中过点 D 作 DH ? CD ,交 PC 于 H 因为平面 ABCD ? 平面 PCD 平面 ABCD ? 平面 PCD ? CD 官方微信公众号:bj-gaokao 官方网站:www.gaokzx.com 咨询热线:010-5751 5980 微信客服:gaokzx2018

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DH ? 平面 PCD
所以 DH ? 平面 ABCD 因为 AD ? 平面 ABCD 所以 DH ? AD 又 AD ? PC , PC ? DH ? H 所以 AD ? 平面 PCD (Ⅲ)法一: 假设存在棱 BC 上点 F ,使得 MF ? PC 连接 AC ,取其中点 N 在 ?PAC 中,因为 M , N 分别为 PA, CA 的中点,所以 MN ? PC 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以 MF 与 MN 重合 所以点 F 在线段 AC 上,所以 F 是 AC , BC 的交点 C 即 MF 就是 MC 而 MC 与 PC 相交,矛盾,所以假设错误,问题得证 法二: 假设存在棱 BC 上点 F ,使得 MF ? PC ,显然 F 与点 C 不同 所以 P, M , F , C 四点在同一个平面 ? 中 所以 FC ? ? , PM ? ? 所以 B ? FC ? ? , A ? PM ? ? 所以 ? 就是点 A, B, C 确定的平面 ABCD ,且 P ? ? 这与 P ? ABCD 为四棱锥矛盾,所以假设错误,问题得证

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19.解:(Ⅰ) 因为 a 2 ? 4, b 2 ? 2 ,所以 a ? 2, b ? 2 , c ? 2

所以离心率 e ?

c 2 ? a 2

(Ⅱ)设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 若k ?

1 1 ,则直线 l 的方程为 y ? x ? 1 2 2

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 2 由? ,得 3x2 ? 4 x ? 4 ? 0 ?y ? 1 x ?1 ? 2 ?
解得 x1 ? ?2, x2 ?

2 3 1 1 2 | AB | (| x1 | ? | x2 |) ? ? 3 ? ( ? 2) ? 4 2 2 3

设 A(0,1) ,则 S?PBQ ? (Ⅲ)法一: 设点 C ( x3 , y3 ) ,

x ? x3 ? 1 ? ? 2 因为 P ( x1 , y1 ) , B(0, ?2) ,所以 ? ? ? y ? 2 ? y1 3 ? 2 ?
又点 P ( x1 , y1 ) , C ( x3 , y3 ) 都在椭圆上,

? x12 y12 ?1 ? ? 4 2 ? 所以 ? x 2 ?2 ? y1 2 1 ) ?( ) ( 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 4

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? 14 ? 14 x1 ? x ?? ? ? ? ? 1 2 2 解得 ? 或? ?y ? ? 1 ?y ? ? 1 1 1 ? ? 2 2 ? ?
所以 k ? ?

3 14 3 14 或k ? 14 14

法二: 设 C ( x3 , y3 ) 显然直线 PB 有斜率,设直线 PB 的方程为 y ? k1 x ? 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 , 得 (2k12 ? 1) x2 ? 8k1 x ? 4 ? 0 2 ?y ? k x ? 2 1 ?

? ? 2 ?? ? 16(2k1 ? 1) ? 0 ? 8k1 ? 所以 ? x1 ? x3 ? 2k12 ? 1 ? ? 4 ? x1 x3 ? 2 2k1 ? 1 ? ?
又 x3 ?

1 x1 2 ? 14 ? x1 ? ? 2 ? ?k ? 3 14 1 ? 14 ?

? 14 ? x1 ? ? ? 2 解得 ? ?k ? ? 3 14 1 ? 14 ? ? 14 x1 ? ? ? ? 2 所以 ? ?y ? ? 1 1 ? 2 ?



? 14 x1 ? ? ? 2 或 ? ?y ? ? 1 1 ? 2 ?

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所以 k ?

3 14 3 14 或k ?? 14 14

20.解:(Ⅰ)因为 f ( x) ?

a ? x2 ex

所以 f '( x ) ?

x2 ? 2 x ? a ex x 2 ? 2x ? 3 ex

当 a ? 3 时, f '( x ) ?

所以 f '(?1) ? 0 ,而 f (?1) ? 2e 曲线 y ? f ( x ) 在 ( ?1, f ( ?1)) 处的切线方程为 y ? 2e (Ⅱ)法一:

因为 f '( x ) ?

x2 ? 2 x ? a ,令 f '( x) ? 0 ex

得 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a 显然当 a ? 0 时, x1 ? 0, x2 ? 2 所以 x , f '( x) , f ( x) 在区间 (0, ??) 上的变化情况如下表:

x

(0, x2 )

x2
0 极小值

( x2 , ??)

f '( x) f ( x)

?

+

]

Z

所以 f ( x) 在区间 (0, x2 ) 上单调递减,在 ( x2 , ?? ) 单调递增, 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上的最小值为 f ( x2 ) ,所以只需证明 f ( x2 ) ? ?

2 e

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因为 x22 ? 2 x2 ? a ? 0 ,所以 f ( x2 ) ?

a ? x22 ?2 x2 ? x2 e x2 e

设 F ( x) ?

?2 x ,其中 x ? 2 ex ?2(1 ? x) 2( x ? 1) ? ex ex

所以 F '( x) ?

当 x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在区间 (2, ??) 单调递增, 因为 x2 ? 2 ,所以 f ( x2 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? ? ,问题得证 法二:

2 e

因为 a ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ( x ) ?

a ? x2 ? x2 ? x ex e

设 F ( x) ?

? x2 ,其中 x ? 0 ex x2 ? 2 x x( x ? 2) ? ex ex

所以 F '( x) ?

所以 x , F '( x) , F ( x) 的变化情况如下表:

x

(0, 2)
?

2
0 极小值

(2, ??)
+

F '( x) F ( x)

]

Z

所以 F ( x) 在区间 (0, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增, 所以函数 F ( x) 在 x ? 2 时取得最小值 F (2) ? ?

4 4 2 2e ? 4 ?0 ,而 ? 2 ? (? ) ? 2 e e e e2

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所以 x ? 0 时 F ( x) ? ?

2 e

所以 f ( x) ? F ( x) ? ? ,问题得证 法三:

2 e

a ? x2 2 a ? x2 2 ? ? ? ?0” 因为“对任意的 x ? 0 , ”等价于“对任意的 x ? 0 , ex e ex e
即“ x ? 0 ,

2e x ? e(a ? x 2 ) ? 0 ”,故只需证“ x ? 0 时, 2e x ? e (a ? x 2 ) ? 0 ” x +1 e

设 g ( x) ? 2e x ? e(a ? x 2 ) ,其中 x ? 0 所以 g '( x) ? 2e x ? 2ex 设 h( x) ? g '( x) , h '( x) ? 2e x ? 2e , 令 h '( x) ? 0 ,得 x ? 1 所以 x , h '( x) , h( x) 的变化情况如下表:

x

(0,1)
?

1
0 极小值

(1, ??)
+

h '( x) h( x)

]

Z

所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极小值,而 h(1) ? 2e ? 2e ? 0 所以 h( x) ? 0 所以 x ? 0 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ?? ) 上单调递增,得 g( x) ? g (0) 而 g (0) ? 2 ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 问题得证

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