直线与方程知识点总结与典型习题分类练习解析(精品)

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GFJW0901

02 直线与方程
【知识点】
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ; 在。
? ?

?

?

当 ? ? 90 ,180
?

?

?

? 时, k ? 0 ;

当 ? ? 90 时, k 不存
?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1? , ? x2 , y2 ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式:

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴 a b 的截距分别为 a, b 。

⑤一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)

1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: ○ 注意:○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ;

方程组有无数解 ?
1

l1 与 l 2 重合

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(8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2) 则 | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (9) 点到直线距离公式: 一点 P ? x0 , y 0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C 2 2
A ?B

(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

(11)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(二)垂直直线系 垂 直 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

B0 x ? A0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(三)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ) 过两条直线 l1 为

y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程

,其中直线 l2 不在直线系中。 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数)

【课堂讲解与练习】
直线的方程 3 3 3 1.设 a,b,c 是互不相等的三个实数,如果 A(a,a ) 、B(b,b ) 、C(c,c )在同一直线 上,求证:a+b+c=0. 证明 ∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kAC, ∴
a 3 ? b3 a 3 ? c3 ,化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2, ? a?b a?c
2 2

∴b -c +ab-ac=0, (b-c) (a+b+c)=0, ∵a、b、c 互不相等,∴b-c≠0,∴a+b+c=0. 2.(2009·宜昌调研)若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 ( A.
1 2 y 的最大值为 x

) B.
3 3

C.

3 2

D. 3

答案 D 3.(1)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (2)过点 A(8,6)引三条直线 l1,l2,l3,它们的倾斜角之比为 1∶2∶4,若直线 l2 的方 程是 y= x,求 直线 l1,l3 的方程. 解 (1)①当直线 l 在 x、y 轴上的截距都为零时,设所求的直线方程为 y=kx, 将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=- ,此时,直线方程为 y=- x, 即 2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为
2
y x ? =1,将(-5,2)代入所设方 2a a 2 5 2 5 3 4

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程,解得 a=- , 此时,直线方程为 x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
3 ? 1 ? cos ? (2)设直线 l2 的倾斜角为 ? ,则 tan ? = .于是 tan = = 4 2 sin ? 1 2

1?

4 5 ?1, 3 3 5

3 4 ? 24 ,所以所求直线 l 的方程为 y-6= 1 (x-8), ? tan2 ? = 1 3 7 1 ? tan 2 ? 1 ? ( 3 ) 2 4 2 tan ? 2?

即 x-3y+10=0,l3 的方程为 y-6=

24 (x-8),即 24x-7y-150=0. 7

4.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12, 求直线 l 的方程. 解 方法一 设直线 l 的方程为
x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

∴A(a,0),B(0,b), ∴? ?3 2
?ab ? 24, ? a ? b ? 1. ?

解得 ?

?a ? 6, ?b ? 4.
x 6 y =1,即 2x+3y-12=0. 4

∴所求的直线方程为 ? 方法二

设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3),
2 ,令 x=0,得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3k. k 2 3

令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3? ? 2? k?
2 3

∴ ? 3 ? ? (2-3k)=24.解得 k=- .∴所求直线方程为 y-2=- (x-3).即 2x+3y-12=0. 9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1) 、 (2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交 点,求 m 的取值范围. 解 方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点. kAP= 则?1 ? 1 ?1 ? 2 3 =-2,kAQ= = , 0 ?1 0?2 2 1 3 1 ≥ 或- ≤-2, m 2 m 2 3 1 2

∴- ≤m≤ 且 m≠0.又∵m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,∴所求 m 的取值范围 是- ≤m≤ . 方法二 过 P、Q 两点的直线方程为 y-1=
2 ?1 1 4 (x+1),即 y= x+ ,代入 x+my+m=0, 2 ?1 3 3 2 3 1 2

整理,得 x=-

7m 7m . 由已知-1≤≤2, m?3 m?3

解得- ≤m≤ .

2 3

1 2

两直线方程 2 例 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

3

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解 (1)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x -3,l2:y=
? a 1
a 2 1 x -(a+1), 1? a

? ? l1∥l2 ? ? ? 2 1? a

?? 3 ? ?(a ? 1) ?



解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a ( a-1)-1×2=0,由 A1C2-A2C1 ≠0,得 a(a -1)-1×6≠0,
?a (a ? 1) ? 1 ? 2 ? 0 ∴l1∥l2 ? ? ? 2
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ? ? ? a=-1, 2 ? ?a (a ? 1) ? 6
2

? ?a (a ? 1) ? 1 ? 6 ? 0

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立.
a 1 1 2 ? a? x-3,l2:y= =-1 ? a= . x -(a+1), 由 ? ? ? · 2 1? a 1? a 3 ? 2? 2 3

当 a≠1 时,l1:y=方法二

由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0 ? a= .

例 3 (12 分)已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段 长为 5,求直线 l 的方程. 解 方法一 若直线 l 的斜率不存在, 则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1,l2 的交点分别是 A(3,-4) ,B(3,-9) , 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 若直线 l 的斜率存在时,则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1,分别与直线 l1,l2 的方程联立, 由?
? y ? k ( x ? 3) ? 1 ? 3k ? 2 1 ? 4k ? ,解得 A ? , ?. ? k ?1 k ?1 ? ?x ? y ? 1 ? 0

8分 由?
? y ? k ( x ? 3) ? 1 ? 3k ? 7 1 ? 9k ? ,解得 B ? , ?, x ? y ? 6 ? 0 ? k ?1 k ?1 ? ?
2 2

由两点间的距离公式,得
? 3k ? 2 3k ? 7 ? ? 1 ? 4k 1 ? 9k ? ? ? ? ? +? ? =25, k ? 1 ? ? k ?1 k ?1 ? ? k ?1

解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 设直线 l 与 l1,l2 分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 ① 6分 2 2 又(x1-x2) +(y1-y2) =25 ② 联立①②可得 ?
? x1 ? x 2 ? 5 ?x ? x ? 0 或? 1 2 , y ? y ? 0 2 ? 1 ? y1 ? y 2 ? 5

10 分 由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0°和 90°,
4

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故所求的直线方程为 x=3 或 y=1. 例 4 求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程. 解 方法一 由?
? y ? 2x ? 3 ?y ? x ?1

知直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1) ,

∴设直线 l2 的方程为 y+1=k(x+2),即 kx-y+2k-1=0. 在直线 l 上任取一点(1,2) ,由题设知点(1,2)到直线 l1、l2 的距离相等, 由点到直线的距离公式得
k ? 2 ? 2k ? 1 12 ? k 2
1 2

=

2?2?3 2 2 ? (?1) 2



解得 k= (k=2 舍去),∴直线 l2 的方程为 x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点 P(x,y), 则在直线 l1 上必存在一点 P1(x0,y0)与点 P 关于直线 l 对称. 由题设:直线 PP1 与直线 l 垂直,且线段 PP1 的中点
? x ? x0 y ? y 0 P2 ? ? 2 , 2 ? ? y0 ? y ? x ? x ? 1 ? ?1 ?x ? y ? 1 ? ? 0 ? 在直线 l 上.∴ ,变形得 ? 0 , ? ? y ? y x ? x ? ? y0 ? x ? 1 ? 0 0 ? ?1 ? 2 ? 2

代入直线 l1:y=2x+3,得 x+1=2×(y-1)+3,整理得 x-2y=0.所以所求直线方程为 x-2y=0. 分类例题解析 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 1 已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( A. 60° B. 30° C. 60°或 120° D. 30°或 150° 变式训练: ).

设直线 l 过原点,其倾斜角为 ? ,将直线 l 绕原点沿逆时针方向旋转 45°,得到直线 l1 , 则 l1 的倾斜角为( A. ) 。 B.

? ? 45?

? ? 135?

C. 135? ? ?

D. 当 0°≤α<135°时为 ? ? 45? ,当 135°≤α<180°时,为 ? ? 135?

题型 二 求直线的斜率 例 2 如图所示菱形 ABCD 中∠BAD=60°, 求菱形 ABCD 各边和两条对 角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练: 已知过两点 A(m 2 ? 2, m 2 ? 3) , B (3 ? m 2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°,求实 数 m 的值.
5

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题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例 3 右图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( ). A .k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2 拓展 一 三点共线问题 例 4 已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

变式训练: 若三点 P(2,3) ,Q(3, a ) ,R(4, b )共线,那么下列成立的是( ). A. a ? 4, b ? 5 B. b ? a ? 1 C. 2 a ? b ? 3 D. a ? 2b ? 3 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点, 求直线 l 的 斜率 k 的取值范围.

变式训练: 已知 A(2, ?3), B (?3, ?2) 两点, 直线 l 过定点 P (1,1) 且与线段 AB 相交, 求直线 l 的斜率 k 的 取值范围.

拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数 x 、 y 满足 2 x ? y ? 8, 当 2≤ x ≤3 时,求

y 的最大值与最小值。 x

变式训练: 利用斜率公式证明不等式:

a?m a ? (0 ? a ? b 且 m ? 0) b?m b

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【典型例题】 题型 一 两条直线平行关系

6

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例 1 已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) , l2 经过点 R(-2, 判断 l1 与 l2 是否平行?

3 5 ) 、 S( 0, ) ,试 2 2

变式训练: 经过点 P (?2, m) 和 Q(m, 4) 的直线平行于斜率等于 1 的直线, 则 m 的值是 ( A. 4 B.1 C.1 或 3 D.1 或 4 题型 二 两条直线垂直关系 例 2 已知 ?ABC 的顶点 B (2,1), C (?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标.

) .

变式训练: (1) l1 的倾斜角为 45°, l2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直?

(2)直线 l1 , l2 的斜率是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 l1与l2 的位置关系是 题型 三 根据直线的位置关系求参数

.

例 3 已知直线 l1 经过点 A(3,a)、B(a-2,-3),直线 l2 经过点 C(2,3) 、D(-1,a-2), (1)如果 l1 // l2 ,则求 a 的值; (2)如果 l1 ⊥ l2 ,则求 a 的值

题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用 例 4 四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B (?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) ,试判断四边 形 ABCD 的形状.

变式训练:已知 A(1,1) ,B(2,2) ,C(3,-3) ,求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD.

探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐 标.

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探点 二 分类讨论思想 例 6 ?ABC 的顶点 A(5, ?1), B (1,1), C (2, m) ,若 ?ABC 为直角三角形,求 m 的值.

3.2.1

3.2 直线的方程 直线的点斜式方程

【典型例题】 题型 一 求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程: (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4; (2)经过点 B (3, ?1) ,倾 斜角是 30? .

例 2

倾斜角是 135? ,在 y 轴上的截距是 3 的直线方程是

.

变式训练: 1. 已知直线 l 过点 P(3, 4) ,它的倾斜角是直线 y ? x ? 1 的两倍,则直线 l 的方程为

2. 已知直线 l 在 y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的 方程.

3. 将直线 y ? x ? 3 ? 1 绕它上面一点( 1 , 3 )沿逆时针方向旋转 15° ,得到的直线方程 是 . 题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? 3, l2 的方程为 y ? 4 x ? 2 ,直线 l 与 l1 平行且与 l2 在 y 轴上的截距相同,求直线 l 的方程。

探究 一 直线恒过定点或者象限问题 例 4. 已知直线 y ? kx ? 3k ? 1 . (1)求直线恒经过的定点; (2)当 ?3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围.

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探究 二 直线平移 例 5 已知直线 l:y=2x-3 ,将直线 l 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 4 个单位后得到 的直线方程为__________________ 3.2.2 直线的两点式方程 【典型例题】 题型 一 求直线方程 例 1 已知△ ABC 顶点为 A(2,8), B (?4, 0), C (6, 0) ,求过点 B 且将△ ABC 面积平分的直线方 程.

变式训练: 1.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ). A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 2.已知 2 x1 ? 3 y1 ? 4, 2 x2 ? 3 y2 ? 4 ,则过点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 的直线 l 的方程是( ). A. 2 x ? 3 y ? 4 B. 2 x ? 3 y ? 0 C. 3x ? 2 y ? 4 D. 3x ? 2 y ? 0 例 2 求过点 P(3, 2) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练:已知直线 l 过点(3,-1) ,且与两轴围成一个等腰直角三角形,则 l 的方程为 题型 二 直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买 行李票,行李费用 y(元)是行李重量 x(千克)的一次函数,其图象如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并说明自变量 x 的取值范围; (2)如果某旅客携带了 75 千克的行李,则应当购买多少元行李票?
y元 10 6 o 60 80 x(千克)

探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线 l 过点 (?2,3) ,且与两坐标轴构成面积为 4 的三角形,求直线 l 的方程.

探究 二 有关光的反射 例 5 光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2, 6) ,求射入 y 轴后的反射线的方程.

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变式训练:已知点 A(?3,8) 、 B(2, 2) ,点 P 是 x 轴上的点,求当 AP ? PB 最小时的点 P 的 坐标.

3.2.3 直线的一般式方程 【典型例题】 题型 一 灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2) ; (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 2 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3; (4)经过两点 P 、 P2 (5,-4) . 1 (3,-2) 2

题型 二 直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程,并把它化成一般式、斜截式、截距式:过点 A( ?5, 6), B ( ?4,8) .

题型 三 直线一般式方程的性质 例 3 直线方程 Ax ? By ? C ? 0 的系数 A、B、C 分别满足什么关系时,这条直线分别有以下 性质? (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与 x 轴相交; (3)只与 y 轴相交; (4)是 x 轴所在 直线; (5)是 y 轴所在直线.

变式训练:已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 。 (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限, 求 a 的取值范围。

题型 四 运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线 l1 : x ? my ? 2m ? 2 ? 0 , l2 : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何值时: (1) l1 ? l2 ; (2) l1 // l2 .

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变式训练: (1)求经过点 A(3, 2) 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (2)求经过点 B(3, 0) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程.

题型 五 综合运用 例 5 已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得: (1)l1 和 l2 相交; (2)l1⊥l2; (3)l1//l2; (4)l1 和 l2 重合.

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 【典型例题】 题型 一 求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标. (1)直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0; (2)直线 l1: nx ? y ? n ? 1 , l2: ny ? x ? 2n .

题型 二

三条直线交同一点

例 2 若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0,kx ? y ? 2 ? 0 相交于一点,则 k 的值等于

变式训练:1.设三条直线: x ? 2 y ? 1, 2 x ? ky ? 3,3kx ? 4 y ? 5 交于一点,求 k 的值

2.试求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程.

题型 三 求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 的 直线方程.

11

卓越个性化教学讲义
变式训练:已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1 和 l2 的交点,且与直线 l3: 3x-2y+4=0 垂直的直线 l 的方程.

题型 四

两点间距离公式应用

例 4 已知点 A(?2, ?1), B (a,3) 且 | AB |? 5 ,则 a 的值为

变式训练: 在直线 2 x ? y ? 0 上求一点 P ,使它到点 M (5,8) 的距离为5,并求直线 PM 的方程.

题型 五 三角形的判定 例 5 已知点 A(1, 2), B (3, 4), C (5, 0) ,判断 ?ABC 的类型.

探究 一 直线恒过定点问题 例 6 已知直线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1 . 求证:无论 a 为何值时直线总经过第一象限.

变式训练:若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,求直线 l 的倾 斜角的取值范围.

探究 二 利用对称性求最值问题(和最小,差最大) 例 7 直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值.

12

卓越个性化教学讲义
变式训练:已知 M (1, 0)、N (?1, 0) ,点 P 为直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上的动点.求 PM 2 ? PN 2 的最 小值,及取最小值时点 P 的坐标.

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 拓展:点关于点、直线对称点的求法 【典型例题】 题型 一 利用点到直线距离求参数 例 1 已知点 (a, 2) (a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a=( A. 2 B.- 2 C. 2 ? 1 题型 二 利用点到直线距离求直线的方程 D. 2 ? 1

).

1 10 例 2 求过直线 l1 : y ? ? x ? 和 l2 : 3x ? y ? 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 3 3

变式训练: 直线 l 过点 P(1,2),且 M(2,3),N(4,-5)到 l 的距离相等,则直线 l 的方程是

题型

三 利用平行直线间的距离求参数

例 3 若两平行直线 3 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 6 x ? ay ? c ? 0 之间的距离为

2 13 c?2 ,求 的值. 13 a

变式训练:两平行直线 5 x ? 12 y ? 3 ? 0与10 x ? 24 y ? 5 ? 0 间的距离是( A.

).

2 13

B.

1 13

C.

1 26

D.

5 26

题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程 例 4 与直线 l : 5 x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且与 l 的距离 2 的直线方程是

13

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题型 五 点、直线间的距离的综合运用 例 5 已知点 P 到两个定点 M(-1,0) 、N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的 距离为 1.求直线 PN 的方程.

探究 一 例 6

与直线有关的对称问题

△ABC 中, A(3,3), B (2, ?2), C (?7,1) . 求∠A 的平分线 AD 所在直线的方程.

变式训练:1.与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点(1,-1)对称的直线方程是 2.求点 A(2,2)关于直线 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点坐标

探究

二 与距离有关的最值问题

例 7 在函数 y ? 4 x 2 的图象上求一点 P,使 P 到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,并求这个最短 的距离.

变式训练:在直线 l : 3 x ? y ? 1 ? 0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大。 (2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小。

14

卓越个性化教学讲义
【作业】
一.选择题 1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. A. 过点 P ( ?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( )

) D.

2x ? y ? 1 ? 0

B.

2x ? y ? 5 ? 0

C.

x ? 2y ? 5 ? 0

x ? 2y ? 7 ? 0
3. A. 已知过点 A( ?2, m) 和 B ( m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( )

0

B.

?8

C.

2

D.

10


4.(安徽高考)直线过点(-1,2) ,且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线的方程是( A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 ( )

5.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 则 a,b 满足 A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 C、 ? 3
2

6. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 D、 2
3

7.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( A 2 B 1 2 C 1 D
7 2



8. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2)

9. (上海文,15)已知直线 l1 : ( k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2( k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平 行,则 k 得值是( A. 1或3 ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

10、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 o D、K1﹤K3﹤K2

) L3 L2 x L1

11.(北京卷) “m= 的( )

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直” 2
(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 )

(A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

12、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
15

卓越个性化教学讲义
C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 ) C. ab<0, bc>0 D. ab 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,则( A. ab>0, bc>0 <0,bc<0 14.(北京文) “m= B. ab>0, bc<0

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直” 2
( ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

的 A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

15. 如果直线 l 经过两直线 2x - 3y + 1 = 0 和 3x - y - 2 = 0 的交点,且与直线 y = x 垂直,则原点到直线 l 的距离是( A. 2 B. 1 ) C. )

2

D、2 2

16. 原点关于 x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为(

2? ?4 A. ? , - ? 5 5 ? ? 二、填空题
1.

? 2 4? B. ? - , ? ? 5 5?

?4 2? C. ? , ? ?5 5?

4? ?2 D. ? , - ? 5 5 ? ?

点 P (1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________.

2.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线,则 a 的值为( ) 3.经过两直线 11x+3y-7=0 和 12x+y-19=0 的交点,且与 A(3,-2) ,B(-1,6)等距离 的直线的方程是 。 4.(全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的 长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15 其中正确答案的序号是 三.解答题 1.已知两条直线 l1 : x ? 1 ? m ? y ? 2 ? m, l2 : 2mx ? 4 y ? ?16 . (1)相交 2. (2)平行 (3)垂直
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?

.(写出所有正确答案的序号)

?

m 为何值时, l1与l2 :

求 经 过 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 的 交 点 且 平 行 于 直 线

2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程.

3.求平行于直线 x ? y ? 2 ? 0, 且与它的距离为 2 2 的直线方程。

16

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4.已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0 与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行, 求 l1, l2 之间的距离为 5 时 的直线 l1 的方程.

5.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。

6.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形, 并且两截距之差为 3 的直线的方程。

7. (本题 12 分) 经过点 A(3,0)且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程。

8. (本题 12 分) 已知△ABC 三边所在直线方程为 AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0, CA:2x+y-2=0 求 AC 边上的高所在的直线方程.

9. (本题 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为

2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 . 求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的
坐标;

10. (本题 14 分) 过点(2,3)的直线L被两平行直线L1:2x-5y+9=0与 L2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线L的 方程

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卓越个性化教学讲义
11.(本题 14 分) 过点 P ( 4,1) 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A 、 B , 当 ?AOB ( O 为原点)的面积 S 最小时,求直线 l 的方程,并求出 S 的最小值

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求经过点 A ( ? 2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程

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13.

一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3 x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点,当 P
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点为 (0, 0) 时,求此直线方程

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14.把函数 y ? f ? x ? 在 x ? a 及 x ? b 之间的一段图象近似地看作直线,设 a ? c ? b , 证明: f ? c? 的近似值是: f ? a ? ?

y

(c,f(c)) A(a,f(a))

o

c?a ? f ?b ? ? f ? a ? ? b?a
B(b,f(b)) C(c,yc)

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x

15. 直线 y ? ?

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等 3 1 2

边△ ABC ,如果在第一象限内有一点 P ( m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等, 求 m 的值
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