高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2空间中的平行关系(2)课堂探究新人教B版必修2

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1.2.2 空间中的平行关系 2

课堂探究 探究一 平面与平面平行的判定定理
平面与平面平行判定的四种常用证明方法: (1)(定义法)证明两个平面没有公共点,通常采用反证法. (2)(利用判定定理)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,证明时应遵循 先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作 辅助线. (3)(转化为线线平行)平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条直线分别平行,则 α ∥β . (4)(利用平行平面的传递性)若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ . 【典型例题 1】 如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1,D 是 BC 上一点,且 A1B∥平面 AC1D,D1 是 B1C1 的中点.

求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. 思路分析:由 A1B∥平面 AC1D? 平面 A1BC∩平面 AC1D=ED,A1B∥ED? D 为 BC 中点? 得 出结论. 证明:如图所示,连接 A1C 交 AC1 于点 E,

因为四边形 A1ACC1 是平行四边形,
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所以 E 是 A1C 的中点,连接 ED, 因为 A1B∥平面 AC1D, 平面 A1BC∩平面 AC1D=ED, 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点, 所以 D 是 BC 的中点. 又因为 D1 是 B1C1 的中点, 所以 BD1∥C1D,A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D, 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D. 探究二 平面与平面平行的性质定理 1.平面与平面平行的性质定理实际给出了判定两条直线平行的一种方法,应用时需要 作(找)出第三个平面与已知的两个平行平面的交线,从而说明两交线平行.类似于线面平行 的性质定理,是以平面为媒介证明线线平行的.该定理可以简单地概括为:面面平行? 线线 平行. 2.两个平面平行除了具有上述性质外,还有以下结论,这些结论在证题中经常遇到. (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等. (3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).
【典型例题 2】 如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 为 CC1 的中点,求证:AC∥平面 DB1E.
证明:取 B1B 的中点 F,连接 EF,FC,FA,
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因为 E,F 为中点, 所以 EF BC, 又因为 BC AD, 所以 EF AD, 所以四边形 EFAD 为平行四边形, 所以 AF∥DE, 又因为 E,F 为中点,且 C1C B1B, 有 CE B1F, 所以四边形 CEB1F 为平行四边形, 所以 B1E∥FC, 因为 B1E∩DE=E,CF∩AF=F, 所以平面 ACF∥平面 DB1E, 因为 AC? 平面 ACF, 所以 AC∥平面 DB1E. 【典型例题 3】 如图,已知 α ∥β ,点 P 是平面 α ,β 外的一点(不在 α 与 β 之间), 直线 PB,PD 分别与 α ,β 相交于点 A,B 和 C,D.

(1)求证:AC∥BD.

(2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长. 解:(1)证明:因为 PB∩PD=P,

所以不妨设直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ ,则 α ∩γ =AC,β ∩γ =BD. 又 α ∥β ,所以 AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD,

所以 PA = PC ,所以 4 = 3 ,

AB CD

5 CD

所以 CD= 15 (cm), 4

所以 PD=PC+CD= 27 (cm). 4
探究三 探索型问题

解探索型问题常用策略:

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(1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或条件增删需确定, 或条件正误需判断.
(2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、 分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况去证明结论.
【典型例题 4】 如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,AB∥CD,E,F 分别为 PC,PD 的中点, 在底面 ABCD 内是否存在点 Q,使平面 EFQ∥平面 PAB?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在, 说明理由.
解:存在.点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上,理由如下: 取 AD,BC 的中点 G,H,连接 FG,HE,GH.
因为 F,G 分别为 DP,DA 的中点,所以 FG∥PA.
因为 FG ? 平面 PAB,PA? 平面 PAB,
所以 FG∥平面 PAB. 因为 AB∥CD,EF∥CD,EF∥AB,
而 EF ? 平面 PAB,AB? 平面 PAB,
所以 EF∥平面 PAB. 因为 EF∩FG=F,所以平面 EFG∥平面 PAB. 又 GH∥CD,所以 GH∥EF. 所以平面 EFG 即平面 EFGH. 所以平面 EFGH∥平面 PAB. 又点 Q∈平面 ABCD,所以点 Q∈(平面 EFGH∩平面 ABCD).所以点 Q∈GH. 所以点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上.
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