黑龙江省虎林高级中学高中数学课件第一讲 1.平面直角坐标系(第一课时) 选修4-4_图文

1.平面直角坐标系 第一课时 我们知道, 通过直角坐标系 , 平面上的点与坐标 ?有序实数对?、曲线与方程建立了联 系, 从而实 现了数与形的结合 .根据几何对象的特征, 选择 适当的坐标系, 建立它的方程 , 通过方程研究它 的性 质及其他几何图形的关 系 , 这就是研究几 何问题的坐标系 . 由于实现问题的复杂性, 有时在直角坐标系下 建立几何图形的方程并 不方便.为便于用代 数 方法研究几 何图形, 需要建立不同坐标系 .在建 立某些几何图形的方程 时, 用极坐标系、柱坐 标系和球坐标系会更加 方便. 下面我们先回顾直角坐 标 系中解 决实际问题 的过程. 思考:声响定位问题 某信息中心接到其正东、正西、正北 方向三个观测点的报告:正西、正北两个 观测点同时听到一声巨响,正东观测点听 到巨响的时间比其他两个观测点晚4s,已 知各观测点到中心的距离都是1020m,试 确定该巨响的位置。(假定当时声音传播 的速度为340m/s,各相关点均在同一平面 上) y P B C o A x 以信息中心为原点O,以BA方向为x轴,建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点, 则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设 P ( x,y )为巨响为生点,由 B 、 C 同时听 到巨响声,得 |PC|=|PB| ,故 P 在 BC 的垂直平分 线PO上,PO的方程为y=-x,因A点比B点晚4s 听到爆炸声, y 故|PA|- |PB|=340×4=1360 B P C o A x 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的 x y 双曲线 上, ? ? 1 2 2 a b 2 2 a ? 680 , c ? 1020 ? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 故双曲线方程为 2 ? ? 1 ( x ? 0) 2 680 5 ? 340 用y=-x代入上式,得 x ? ?680 5, ∵|PA|>|PB|, ? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P(?680 5 ,680 5 ),故PO ? 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10m 处. 解决此类应用题的关键: 坐标法 1、建立平面直角坐标系 2、设点(点与坐标的对应) 3、列式(方程与坐标的对应) 4、化简 5、说明 例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线,建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。 y 解: 以△ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线x轴,建立直角 坐标系,由已知,点A、B、F的 坐标分别为 C E c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). O (A) F B x x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为( ,). 2 2 由b2 ? c2 ? 5a2,可得到 | AC |2 ? | AB |2 ? 5 | BC |2 , 即 x ? y ? c ? 5[( x ? c) ? y ]. 2 2 2 2 2 整理得 因为 2x ? 2 y ? 2c ? 5cx ? 0. 2 2 2 x y c BE ? ( ? c, ), CF ? ( ? x, ? y ), 2 2 2 x c y2 所以 BE CF ? ( ? c)( ? x) ? ? 0. 2 2 2 因此,BE与CF互相垂直. P4探究 你能建立不同的直角坐标系解决这 个问题吗?比较不同的直角坐标系下解 决问题的过程,建立直角坐标系应注意 什么问题? 建系时,根据几何特点选择适当的直角 坐标系。 (1)如果图形有对称中心,可以选对 称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对 称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在 坐标轴上。 练习: P8 1,3 课堂小结: (1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; 作业: P8 2 预习: 极坐标系(书本P9-P11)

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