湖北省八校2017届高三数学下学期第二次联考试题理

湖北省八校 2017 届高三数学下学期第二次联考试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目 要求的. 1.已知复数 z ? A.第一象限

(?1 ? i)(2 ? i) ,则 z 在复平面内对应的点在 ?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ,集合 A ? {2, 4,5} , B ? {1,3,5,7} ,则 (CU A) ∩ B ? A. {7} B. {3,5} C. {1,3, 6, 7} D. {1,3, 7}

3.下列选项中说法正确的是 A.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真” 的必要条件. B.若向量 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为锐角. C.若 am ? bm ,则 a ? b .
2 2

r r

r r

r

r

D.“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”.
2

2

4.若等差数列 {an } 的公差为 2 ,且 a5 是 a2 与 a6 的等比中项,则该数列的前 n 项和 Sn 取最小值时,

n 的值等于
A. 7 5.过双曲线 B. 6 C.5 D.4

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左焦点的直线交双曲线 的左支于 A , B 两点,且 | AB |? 6 ,这样 4 b2

的直线可以作 2 条,则 b 的取值范围是 A. (0, 2] B. (0, 2) C. (0, 6] D. 0, 6

?

?
? ?

6.已知若 e1 , e 2 是夹角为 90 的两个单位向量,则 a ? 3e1 ? e2 , b ? 2e1 ? e2 的夹角为
?

?

?

?

?

?

?

A. 120

?

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

1

7. a ?

1 ? ? ax ? ? ? ? ? cos x ? dx ,则 ? 2ax ? ?
2 0

?

9

展开式中, x3 项的系数为

A. ?

21 2

B. ?

63 8

C.

63 8

D.

63 16

8.右图是求样本 x1,x2,?,x10 平均数 x 的程序框图,图中空白框中应填入 的内容为 A.S=S+ xn B.S=S+

xn n xn 10

C.S=S+ n

D.S=S+

9. 设 F 为 抛 物 线 x2 ? 4 y 的 焦 点 , A, B, C 为 该 抛 物 线 上 三 点 , 若

??? ? ??? ? ??? ? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC 的值为
A.3 B.6 C.9 D.12

10.函数 y ? f ? x ? 的定义域是 R,若对于任意的正数 a,函数 g ? x ? ? f ? x ? a ? ? f ? x ? 都是其定义 域 上的减函数,则函数 y ? f ? x ? 的图象可能是

11.公元前 3 世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直径(d)的立 方成正比”,此即 V ? kd 。与此类似,我们可以得到:
3

(1)正四面体(所有棱长都相等的四面体)的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即 V ? ma ;
3

(2)正方体的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即 V ? na ;
3

(3)正八面体(所有棱长都相等的八面体)的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即 V ? ta ;
3

2

那么 m : n : t = A. 1: 6 2 : 4 12.记 f ( n) 为 最 接 近 B. 2 :12 :16 C.

2 :1: 2 12

D. 2 : 6 : 4 2

n (n ? N ? ) 的 整 数 , 如: f (1) ? 1 , f (2) ? 1 , f (3) ? 2 , f (4) ? 2 ,
1 1 1 1 ? ? ?L ? ? 4034 ,则正整数 m 的值为 f (1) f (2) f (3) f ( m)

f (5) ? 2 ,??,若
A. 2016 ? 2017

B. 2017

2

C. 2017 ? 2018

D. 2018 ? 2019

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点 ( ? ,0) 中心对称,那么|φ |的最小值为

2 3

.

14.袋中有大小质地完全相同的 2 个红球和 3 个黑球,不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为 事件 A , “摸得的两球同色”为事件 B ,则 概率 P ? B | A? 为 .

15.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的外接球的表面积为 .

?2 x ? y ? 4 ? ? 2 2 16.已知动点 P( x, y ) 满足: ? x ? 0 ,则 x ? y ? 6 x 的最小值 ? 2 2 ? ?( x ? 1 ? x)( y ? 1 ? y ) ? 1
为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 0<A<

? 7 ,a=6,且△ABC 的面积 S ? 3 ,求△ABC 的周长. 2 3

18. (本小题满分 12 分) 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取 100 名市民,按 年龄(单位:岁)进行

3

统计的频数分布表和频率分布直方图如下:

分组(岁) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 合计

频数

x y
35 30 10 100

(Ⅰ)求频率分布表中 x、y 的值,并补全频率分布直方图; (Ⅱ)在抽取的这 100 名市 民中,按年龄进行分层抽样,抽取 20 人参加国产手机用户体验问卷调 查,现从这 20 人中随机选取 2 人各赠送精美礼品一份,设这 2 名市民中年龄在[35,40)内的人数

X,
求 X 的分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,

AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=1,M 为 PD 的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面 ACM; (Ⅱ)设直线 AM 与平面 ABCD 所成的角为 α ,二面角 M—AC—B 的大小 为 β ,求 sinα ·cosβ 的值.

20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1 (a>0 )的焦点在 x 轴上. 2 a 8 ? a2
2 a ,求椭圆 E 的方程; 5

(Ⅰ)若椭圆 E 的离心率 e ?

(Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为直线 x+y= 2 2 与椭圆 E 的一个公共点;
uuu r uuu r 直线 F2P 交 y 轴于点 Q,连结 F1P.问当 a 变化时, F1 P 与 F1Q 的夹角是否为定值,若是定值,

4

求出该定值;若不是定值,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=x -a ( a>0,且 a≠1) ,g(x)= f ?( x) , (其中 f ?( x) 为 f(x)的导函数).
2

x

(Ⅰ)当 a=e 时,求 g(x)的极大值点; (Ⅱ)讨论 f(x)的零点个数.

请考生在(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.
1 2 2 将圆 x +y =1 上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,得曲线 C. 3

(Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l:3x+y+1=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 标 系,求过线段 P1 P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等 式选讲. 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c 的最大值为 10. (Ⅰ)求 a ? b ? c 的值; (Ⅱ)求
1 2 2 2 ? a ?1? ? ?b ? 2? ? ? c ? 3? 的最小值,并求出此时 a, b, c 的值. 4

5

2017 届八校二联理数参考答案 一、选择题

CDABD

CADBB AC

二、填空题 13.

? 6

14.

1 4

15. 41?

16. ?

40 9
3 , (3 分) 2

17.解: (1)由正弦定理得 2sinAsinB= 3 sin B ? sin A ? ∵0<A<π ,∴ A ?
1 2

?
3

2 或 ? ;????????(5 分) 3
3 7 28 bc ? 3 , ∴ bc ? , (7 分) 4 3 3

(2)∵ S ? bc sin A ?

由余弦定理得, a2 ? 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos

?
3

? (b ? c)2 ? 3bc ? b ? c ? 8. (11 分)

故△ABC 的周长 l=a+b+c=14??????..(12 分) 18.由图知,P(25≤x<30)=0.01×5=0.05,故 x=100×0.05=5; (2 分)

P(30≤x<35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2
故 y=100×0.2=20, 其 (4 分)

频率 0.2 ? ? 0.04 ????(6 分) 组距 5

(2)∵各层之间的比为 5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2,且共抽取 20 人, ∴年龄在[35,40)内层抽取的人数为 7 人. (8 分)

X 可取 0,1,2, P( X ? 0) ?
P ( X ? 2) ?

2 C13 C1 C1 78 91 ? , P( X ? 1) ? 13 2 76 ? , 2 190 C20 190 C20

C72 21 ? , 故 X 的分布列为 2 190 C20

(10 分) 0 1
91 190

X P
故 Ex ?
91 21 133 ?1 ? ?2 ? 190 190 190

2
21 190

78 190

(12 分)

19.(1)证明:连结 OM,在△PBD 中,OM∥PB,OM ? 平面 ACM,PB ? 平面 ACM, 故 PB∥平面 ACM; (4 分)

6

(2)取 DO 的中点 N,连结 MN,AN,则 MN∥PO,∵PO⊥平面 ABCD,∴MN⊥平面 ABCD, 故∠MAN=α 为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.
1 5 1 1 1 5 , AN ? DO ? ∵ MN ? PO ? ,在 Rt△ADO 中, DO ? 12 ? ( ) 2 ? ,在 Rt△AMN 中, 2 2 2 2 2 4

AM ? (

5 2 1 2 3 ) ?( ) ? , 4 2 4

∴ sin ? ?

MN 2 ? , AM 3

(8 分)

取 AO 的中点 R,连结 NR,MR,∵NR∥AD,∴NR⊥OA,MN⊥平面 ABCD, 由三垂线定理知 MR⊥AO,故∠MRN 为二面角 M—AC—B 的补角,即为π -β .
1 1 2 ∵ NR ? , MN ? , ∴ cos(? ? ? ) ? ? ? cos ? , (11 分) 2 2 2

∴ sin ? gcos ? ? ?

2 . 3

(12 分)
2a 2 ? 8 2 ? a得 a 5

20. 解: (1)由题知 c2 ? a 2 ? (8 ? a 2 ) ? 2a 2 ? 8 ,由 e ?

a4 - 25a2+100=0,故 a2=5 或 20(舍) ,故椭圆 E 的方程为
(2)设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),则 c =2a -8,
?x ? y ? 2 2 ? 2 4 联立 ? 得 8x -4 2a 2 x+a =0, 2 2 2 2 2 2 ? ?(8 ? a ) x ? a y ? a (8 ? a )
2 2

x2 y 2 (4 分) ? ? 1; 5 3

2 2 2 2 (7 分) a , a , y0 ? 2 2 ? 4 4 y ? cy0 ?cy0 ), 直线 PF2 的方程为 y ? 0 ( x ? c ) ,令 x=0,则 y ? ,即点 Q 的坐标为 (0, x0 ? c x0 ? c x0 ? c uuu r uuu r ?cy0 ), F1 P ? ( x0 ? c, y0 ) , (9 分) 故 F1Q ? (c, x0 ? c

即 (2 2 x ? a 2 )2 ? 0 ,故 x0 ?

1 2 2 2 c[ a 4 ? (2a 2 ? 8) ? (2 2 ? a ) ] 2 2 2 uuu r uuu r cy0 c[( x0 ? c 2 ) ? y0 ] 8 4 故 F1QgF1P ? c( x0 ? c) ? ? ? ? 0 (11 分) x0 ? c x0 ? c x0 ? c

uuu r uuu r ? 故 F1Q 与 F1 P 的夹角为定值 . 2

(12 分)

x x 21.(1)g(x)=2x-e , g ?( x) =2-e =0 ? x ? ln 2 ,

当 x<ln2 时, g ?( x) >0;当 x>ln2 时, g ?( x) <0,故 g ( x) 的极大值点为 ln2; (4 分) (2)(Ⅰ)先考虑 a>1 时,f(x)的零点个数,当 x≤0 时,f(x)为单减函数, (5 分)
f ? ?1? ? 1 ? 1 ? 0 ;f(0)=-1<0,由零点存在性定理知 f(x)有一个零点; a

当 x>0 时,由 f(x)=0 得

7

x2 ? a x ? 2ln x ? x ln a ? ln a ?

2ln x 2ln x 2(1 ? ln x) ,令 h( x) ? . , 则h?( x) ? x x x2

由 h?( x) =0 得,x=e,当 0<x<e 时, h?( x) >0;当 x>e 时, h?( x) <0,
2 故 h(x)max=h(e)= , h ?1? ? 0, 且 h ? x ? ? 0 总成立,故 h ? x ? 的图像如下图, e

由数形结合知,
2 2 ①若 ln a ? 即 a ? e e 时,当 x>0 时,f(x)无零点,故 x∈R 时,f(x)有一个零点; e 2 2 ②若 ln a ? 即 a ? e e 时,当 x>0 时,f(x)有一个零点,故 x∈R 时,f(x)有 2 个零点; e

③若 0 ? ln a ?

2 即 1 ? a ? e e 时,当 x>0 时,f(x)有 2 个零点,故 x∈R 时,f(x)有 3 个零点.(9 分) e 1 ? 1 ,同上可知, a

2

(Ⅱ)再考虑 0<a<1 的情形,若 0<a<1,则 当 当
2 ? 1 ? e e 即 0<a< e e 时,f(x)有一个零点; a 2 ? 1 ? e e 即 a= e e 时,f(x)有 2 个零点; a
2 2

当1 ?

2 ? 1 ? e e 即 e e <a<1 时,f(x)有 3 个零点.(11 分) a

2

综合上述,
2

①当 a ? e e 或 0<a< e e 时,f(x)有一个零点;
2

?

2

②当 a= e e 或 a= e e 时,f(x)有 2 个零点;
2

?

2

③当 1<a< e e 或 e e <a<1 时,f(x)有 3 个零点.(12 分) 22.解: (1)由坐标变换公式 ?
1 ? ? x? ? x 2 2 2 2 3 得 x ? 3x?, y ? y ? 代入 x +y =1 中得 9 x? ? y? ? 1 , ? ? y? ? y

?

2

1 ? ? x ? cos ? 故曲线 C 的参数方程为 ? ; (5 分) 3 ? y ? sin ? ?

1 1 1 (2)由题知, P 1 (? ,0) ,P2(0,1),P1 P2 线段中点 M (? , ? ) , 3 6 2
kP1P2 ? ?3 ,故 P1 P2 线段中垂线的方程为 y ?

1 1 1 ? ( x ? ) (8 分) 2 3 6

即 3x-9y-4=0,即极坐标方程为 3? cos ? ? 9? sin ? ? 4 ? 0. (10 分) 23. 解 : ( 1 ) Q f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c ? b ? ? ?a ? ? c ? b ? a ? c, 当 且 仅 当 x ? b 时 等 号 成 立 , 又
a ? 0, b ? 0,? a ? b ? a ? b,? f ? x ? 的最大值为 a ? b ? c, 又已知 f ? x ? 的最大值为 10, 所以 a ? b ? c ? 10. (4

8

分) (2)由(1)知 a ? b ? c ? 10, 由柯西不等式得
2 ?? a ? 1 ?2 ?? a ? 1 ? ? 2 2? 2 2 2 2 ? b ? 2 ? c ? 3 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? b ? 2 ? 1 ? c ? 3 ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 6 ? ? 16, 即 ?? ? ? ? ?? 2 ? 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?

1 8 2 2 2 ? a ? 1? ? ?b ? 2? ? ? c ? 3? ? , (7 分) 4 3

当且仅当

a ?1 b ? 2 c ? 3 11 8 11 即 a ? , b ? , c ? 时等号成立。 (10 分) ? ? 4 1 1 3 3 3

9


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