高考物理重点难点例析专题3曲线运动中的动力学问题

重点难点 1.类平抛运动: 求解的方法是利用运动的合成和分解法进行分析:在初速度方向加速度为零,以初速度 做匀速直线运动;在垂直于初速度方向有一个恒定的加速度,做静止开始的匀加速直线运动, 加速度的大小由合外力决定.通常应结合运动的合成和分解的运动学规律进行求解. 2.圆周运动中的向心力:? 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是各力的合力或某力的分力 ?向心 力是按力的作用效果来命名的,故在分析做圆周运动的物体受力时,切不可在性质力上再添 加一个向心力,但对各种情况下向心力的来源应明确. 圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动,由于向心加速度表示不同, 有以下各种情况,解题时应根据已知条件进行选择.

F = m

υ

2

r

= mrω = m ? ω = mr
2

4? 2 2 2 = 4π mrf ? T2

3.圆周运动中的临界问题:? (1)没有别的物体支持的质点做圆周运动,如细绳系着的物体或沿圆环内壁运动的物体 在竖直平面内做圆周运动,在通过轨道最高点时的速度的临界值为 υ =

Rg.当 υ ≥ Rg时,

物体能通过最高点;当 υ < Rg时,物体还没有到最高点时,就脱离了轨道. (2)受别的物体约速的质点做圆周运动,如套在圆环上的物体,有轻杆或管约束的物体 在竖直平面内做圆周运动,当通过最高点时,物体通过最高点的速度可以为任何值,即 υ ≥ 0.当υ > Rg时,环、杆或管对物体的作用力方向向下;当υ = <υ < Rg时,作用力方向向上.? 规律方法 【例 1】 如图所示, 质量为 m 的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的 k 倍, 它与转台转轴 OO′相距 R,物块随转台由静止开始转动,当转速增加到一定值时,物块即将 在转台上滑动,在物块由静止到相对转台开始滑动前的这一过程中,转台对物块做的 功为 A.0 1 C.等于 kmgR 2 ( B ) 1 B.小于 kmgR 2 1 D.大于 kmgR 2

Rg时,没有作用力;当 0

训练题 如图所示,质量不计的轻质弹性杆 P 插入桌面上的小孔中,杆的另一端固定有一 个质量为 m 的小球.使小球在水平面内作半径为 R 的匀速圆周运动,且角速度为 ω ,则杆的 上端受到球对杆的作用力大小为 A.mω R
-12

( C



B.m g -ω R C.m g +ω R D.不能确定
2

2

4 2

4 2

【例 2】如图所示,线的上端固定,下端系一小球,将小球与线拉到一水平位置后从静止 开始释放,求小球的摆线运动到与水平方向成多大角度时,球获得最大的竖直分速度?(反三 角函数表示) . 【解析】设小球从线水平开始转过角度 θ 时,速度为 v,此过程中机械能守 1 2 恒,则有:mglsinθ = mυ ,得:υ 2
2

= 2glsinθ ?

此时小球受重力 mg 和线的拉力 FT,如图所示,在沿绳方向,由牛顿第二定律 有:FT-mgsinθ = m ,代入 υ 得:FT = 3mgsinθ ? 小球在竖直方向先加速后减速,当小球在竖直方向的加速度为零时,可获得 1 2 最大的竖直分速度,即:FTsinθ -mg = 0,代入 Ft 可得 sin θ = ? 3 即当 θ = arcsin( 3 )时,小球获得竖直方向最大的分速度. 3

v2 l

2

训练题如图所示,已知瓦特节速器上有固定有重球的两根棒,棒长各为 20cm,电 机在运动转时,两棒与竖直的转轴 AB 之间夹角为 60°,如图所示,求此时节速器的 转速为多少?? 答案:n=96r/min

?【例 3】如图所示,水平转台上放有质量均为 m 的两小物块 A、B,A 离转轴距离为 L,A、B 间用长为 L 的细线相连,开始时 A、B 与轴心在同一直线上,线被拉直,A、B 与水平转台间最 大静摩擦力均为重力的 μ 倍,当转台的角速度达到多大时线上出现张力 wh 当 转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑动?? 【解析】 线上刚开始出现张力时, B 受的最大静摩擦力刚好充当向心力, 即: μ mg = mω (2L) ,得 ω =
2

μ g ? 2L

当 A 所受摩擦力达到最大静摩擦力时,A 开始滑动,设此时线中张力为 F, 由牛顿第二定律,?对 A 有:μ mg-F = mω ′ L? 对 B 有:F+μ mg = mω ′ (2L)? 由上述两式有:ω ′ = 即当转台的角速度达到 滑动.? 2μ g ? 3L μ g 时,线上开始出现张力,当角速度达到 2L 2μ g 时,A 开始 3L
2 2

-2-

训练题如图所示,细绳一端系看质量 M = 0.6kg 的物体静止于水平面,另一端通过光滑 小孔吊着质量 m = 0.3kg 的物体,M 的中点与圆孔距离为 0.2m,设 M 和水平 面间的最大静摩擦力为 2N,现使此平面绕中心轴线转动,问角速度 ω 在什 么范围 m 会处于静止状态?(取 g = 10m/s ) 答案:2。9r/s≤ω ≤6。5r/s
2

能力训练 1.如图,一轻杆一端固定在 O 点,另一端固定一小球,在竖直平面内做圆周运动,通过 最高点时,由于球对杆有作用,使杆发生了微小形变,关于杆的形变量与球在最高点时 的速度大小关系,正确的是 ( C )? B.形变量越大,速度一定越小? D.速度为零,可能无形变?

A.形变量越大,速度一定越大? C.形变是为零,速度一定不为零?

2.如图所示,水平转盘上的 A、B、C 三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立 方体物块;B、C 处物块的质量相等,为 m,A 处物块的质量为 2m;A、B 与轴 O 的距离相等, 为 r,C 到轴 O 的距离为 2r,转盘以某一角速度匀速转动时,A、B、C 处的物 块都没有发生滑动现象,下列说法中正确的是( ABC A.C 处物块的向心加速度最大 B.B 处物块受到的静摩擦力最小? C.当转速增大时,最先滑动起来的是 C 处的物块 D.当转速继续增大时,最后滑动起来的是 A 处的物块? 3.两个正、负点电荷,在库仑力的作用下,它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周 运动,以下说法中正确的是( BC ) B.它们做匀速圆周运动的角速度相等 D.它们的运动半径与电荷量成反比? )?

A.它们所受的向心力大小不相等 C.它们的线速度与其质量成反比?

4.如图所示,在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上,离轴心 r = 20cm 处放置一小物 块 A,其质量 m = 2kg,A 与盘面间的静摩擦力的最大值为其重力的 k 倍(k = 0.5) ,试求: (1)当圆盘转动的角速度 ω = 2rad/s,物块与圆盘间的摩擦力为多大?方向如何? (2)若使 A 与盘面间不发生相对滑动,则圆盘转动的最大角速度是多大? (取 g = 10m/s ) 答案:⑴ f ? m? r ? 2 ? 2 ? 0.2 N ? 1.6 N 方向为指向圆心。
2 2
2 ⑵ kmg ? m? m r
2

?m ?

kg ? 5rad/s r

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5.如图一条不可伸长的轻绳长为 L,一端用手握住,另一端系一质量为 m 的小球,今使 手握的一端在水平桌面上做半径为 R,角速度为 ω 的匀速圆周运动,且使绳始终与半径为 R 的圆相切,小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动,若人手做功的功率为 P,求: (1)小球做匀速圆周运动的线速度大小; (2)小球在运动过程中受到的摩擦力的大小. 答案: (1)v=(R +L )
2 2 2 1/2

(2)f=P/ω (R +L )

2

1/2

6.光滑水平面上,一个质量为 2kg 的物体从静止开始运动,在前 5s 受到一个沿正东方 向大小为 4N 的水平恒力作用;以第 5s 未开始改为一个沿正北方向大小为 2N 的水平恒力作用 了 10s,求物体在这 15s 内的位移和 15s 末的速度. 答案: (1)s=135m ,方向东偏北θ =arctan2/5 (2)v=14.1m/s ,方向东偏北α =45
0

7.铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的.弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高 度差 h 的设计不仅与 r 有关,还取决于火车在弯道上的行驶速率.下图表格中是铁路设计人 员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道的高度差 h. 弯道半径 r/m 内外轨高度差 h/mm 660 50 330 100 220 150 165 200 132 250 110 300

(1)根据表中数据,试导出 h 和 r 关系的表达式,并求出当 r=440m 时,h 的设计值; (2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内外轨道均不向车轮施加侧向 压力,又已知我国铁路内外轨的间距设计值为 L=1435mm,结合表中数据,算出我国火车的转 弯速率 v(以 km/h 为单位,结果取整数;路轨倾角很小时,正弦值按正切值处理) (3)随着人们生活节奏加快,对交通运输的快捷提出了更高的要求.为了提高运输力,国 家对铁路不断进行提速,这就要求铁路转弯速率也需要提高.请根据上述计算原理和上述表 格分析提速时应采取怎样的有效措施? 答案: (1)分析表中数据可得,每组的 h 与 r 之乘积均等于常数 C=660m×50×10 m=33m 因此
-3 2

h·r=33(或 h=33

当 r=440m 时,有:

1 ) r 33 h= m=0.075m=75mm 440

(2)转弯中,当内外轨对车轮没有侧向压力时,火车的受力如图所示.由牛顿第二定律得:

mg tan ? ? m

v2 r

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因为θ 很小,有: tan ? ? sin ? ? 得: v ?

h L

ghr L

代入数据得:v=15m/s=54km/h (3)有效措施有:a.适当增大内外轨的高度差 h;b.适当增大铁路弯道的轨道半径 r. 8.水平放置的木柱,横截面为边长等于 a 的正四边形 ABCD;摆长 l =4a 的摆,悬挂在 A 点(如图 1—14 所示) ,开始时质量为 m 的摆球处在与 A 等高的 P 点,这时摆线沿水平方向伸 直;已知摆线能承受的最大拉力为 7mg;若以初速度 v0 竖直向下将摆球从 P 点抛出,为使摆球能始终沿圆弧运动,并最后击中 A 点.求 v0 的许可值范 围(不计空气阻力) . 答案: 摆球先后以正方形的顶点为圆心, 半径分别为 R1=4a, R2=3a, R3=2a,

R4=a 为半径各作四分之一圆周的圆运动.
当摆球从 P 点开始,沿半径 R1=4a 运动到最低点时的速度 v1,
2 2 ? mv0 ? 4mga 根据动量定理 mv1

1 2

1 2



当摆球开始以 v1 绕 B 点以半径 R2=3a 作圆周运动时,摆线拉力最大,为 Tmax=7mg,这时摆 球的运动方程为 Tmax ? mg ?
2 mv1 3a



由此求得 v0 的最大许可值为 v0 ≤ 10 ga . 当摆球绕 C 点以半径 R3=2a 运动到最高点时,为确保沿圆周运动, 到达最高点时的速度 v3 ≥ gR3 ? 2 ga (重力作向心力)
2 2 ? mv0 ? ?mga 由动能定理 mv3

1 2

1 2

2 得v0 ? v3 ? 2 ga ≥ 4 ga

∴ 4 ga ≤ v0 ≤ 10 ga

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