江苏省扬州市2016-2017学年文科高二数学下学期期末考试试卷

江苏省扬州市 2016-2017 学年高二下学期期末数 学试卷(文科)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题 卷相应位置) 1.已知集合 A={x|x≤0},B={﹣1,0,1,2},则 A∩B={﹣1,0}.

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={x|x≤0},B={﹣1,0,1,2},

∴A∩B={﹣1,0}, 故答案为:{﹣1,0}. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.命题:“?x∈R,3 >0”的否定是?x0∈R,使得 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑.

x

≤0.

分析:根据全称命题的否定是特称命题,直接写出该命题的否定即可. 解答:
x

解:根据全称命题的否定是特称命题,得;

命题:“?x∈R,3 >0”的“”的否定是:

“?x0∈R,使得

≤0”.

故答案为:?x0∈R,使得

≤0.

1

点评:本题考查了全称命题与特称命题的应用问题,解题时应熟记全称命题 与特称命题的关系是什么,是基础题.

3.已知复数 z=(1﹣i)i(i 为虚数单位),则|z|=



考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数模的计算公式即可求得复数 z 的模. 解答: ∴|z|= 故答案为: 解:z=(1﹣i)i=1+i, = . ,

点评:本题考查复数求模,属于基础题.

4.计算

÷

=﹣20.

考点:有理数指数幂的化简求值;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题:计算题. 分析:利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值. 解答: 解:

=lg =﹣20 故答案为:﹣20 点评:本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则.

2

5.“α=

”是“tanα=1”的充分不必要条件.(填“充分不必要”、“必

要不充分”、“充要”或“既 不充分也不必要”)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑.
分析:根据充分条件、必要条件的概念,以及 tanα=1 时 α 的取值情况即可判断

是 tanα=1 的什么条件.

解答:

解:

时,tanα=1;

tanα=1 时,

,所以不一定得到





是 tanα=1 的充分不必要条件.

故答案为:充分不必要. 点评:考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念,以及根据 tanα=1 能求 α.

6.正弦曲线 y=sinx 在

处的切线的斜率为



考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:求出 y=sinx 的导数,将 求. 3 代入,由特殊角的三角函数值,即可得到所

解答: 即有曲线在

解:y=sinx 的导数为 y′=cosx, 处的切线的斜率为 k=cos = .

故答案为:



点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率,主要考查导数的几何意义,正 确求导是解题的关键.

7.若直线 l1:2x+my+1=0 与直线 l2:y=3x﹣1 平行,则直线 l1 与 l2 之间的 距离为 .

考点:两条平行直线间的距离. 专题:直线与圆. 分析:把 2 条直线平行,斜率相等,求得 m 的值;再把 2 条直线的方程中未知 数的系数化为相同的,再利用两条平行直线间的距离公式求得两条平行直线间 的距离公式. 解答: 解:∵直线 l1:2x+my+1=0 与直线 l2:y=3x﹣1

平行,∴﹣ =3,∴m=﹣ , 故直线 l1:6x﹣2y+3=0,直线 l2:6x﹣2y﹣2=0. 根据它们相互平行,可得 3m=﹣2,∴m=﹣ ,

则直线 l1 与 l2 之间的距离为

=



故答案为:



4

点评:本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用,注意未知数的系数 必需相同,属于基础题.

8.若函数 y=f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在区间(﹣∞,0]上是减函数, 则不等式 f(lnx)<f(1)的解集为(e,+∞).

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化求解即可. 解答:
解:∵y=f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在区间(﹣∞,0]上是减函数

, ∴y=f(x)在 R 上的为减函数, 则不等式 f(lnx)<f(1)等价为 lnx>1, 即 x>e, 故不等式的解集为(e,+∞), 故答案为:(e,+∞) 点评:本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是 解决本题的关键.

9.设数列{an}满足 a1=3,an+1=an ﹣2nan+2,n=1,2,3,?,通过计算 a2,a3, a4,试归纳出这个数列的通项公式 an=2n+1.

2

考点:数列的概念及简单表示法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:先由递推公式求 a2,a3,a4,再猜想通项公式; 解答:
2

解:∵a1=3,an+1=an ﹣2nan+2,

2

∴a2=a1 ﹣2a1+2=9﹣6+2=5, 5

a3=a2 ﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7, a4=a3 ﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9, 即 a2=5,a3=7,a4=9, 由归纳推理猜想 an=2n+1. 故答案为:2n+1. 点评:本题主要考查数列的通项公式的猜想,根据数列的递推关系求出 a2, a3,a4 是解决本题的关键.
2

2

10.已知集合 A={(x,y)|y≤

x},集合 B={(x,y)|(x﹣a) +y ≤3},

2

2

若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围为[2, +∞).

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:先根据集合 A、B 的关系,画出满足条件的平面区域,结合点到直线的 距离从而求出 a 的范围. 解答: 解:集合 B={(x,y)|(x﹣a) +y ≤3},
2 2

∴集合 B 是以(a,0)为圆心,以 为半径的圆, 若 A∩B=B,画出图象, 如图示:



显然,直线和圆相切时是临界值,

6

∴圆心(a,0)到直线的距离 d= 解得:a=2, ∴a≥2, 故答案为:[2,+∞).

=



点评:本题考查了集合之间的关系,考查点到直线的距离公式,数形结合思 想,是一道中档题.

11.把函数 y=sin2x 的图象沿
x 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y=

f(x)图象,对于函数 y=f(x)有以下四个判断: ①该函数的解析式为 y=2sin(2x+ );

②该函数图象关于点(

)对称;

③该函数在[

]上是增函数;

④函数 y=f(x)+a 在[

]上的最小值为

,则



其中,正确判断的序号是②④.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;命题的真假判断与应用. 专题:三角函数的图像与性质.

7

分析:根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律求得 f(x)=2sin(2x+ ,由此可得①不正确.求出函数的对称中心为( ﹣ ,0),可得②正确.



求出函数的单调增区间为[kπ﹣ x∈[0,

,kπ+

],k∈z,可得③不正确.由于当 +a= ,可得 a 的值,可得④正

]时,求得 f(x)+a 的最小值为﹣

确. 解答: 解:把函数 y=sin2x 的图象沿

x 轴向左平移

个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后,得到函 )=2sin(2x+ )的图象,由于 f(x)=2sin(2x+

数 y=f(x)=2sin2(x+

),故①不正确.

令 2x+

=kπ,k∈z,求得 x=



,k∈z,故函数的图象关于点(



,0)对称,故函数的图象关于点(

,0)对称,故②正确.

令 2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

,k∈z,可得

kπ﹣

≤x≤kπ+

,k∈z,故函数的增区间为[kπ﹣

,kπ+

],k∈z

, 故函数在[ ]上不是增函数,故 ③不正确. 8

当 x∈[0,

]时,2x+

∈[



],故当 2x+

=

时,f(x)取得最小值

为﹣

,函数 y=f(x)+a 取得最小值为﹣ ,故④正确.

+a=



故 a=﹣2

故答案为 ②④.
点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,复合三角函数的单调性、对称 性,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.

12.已知

cosxsin(2π﹣x),若 f(x)=

,0≤x≤π,则 x 的值为



考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:由已知及三角函数中的恒等变换应用化简可得:f(x)=cosx+sinx+
inxcosx= ①,设 t=sinx+cosx,则 t∈[﹣ , ],两边平方整理可得:sin

s

xcosx=

,把①化为:t+

=

,整理可解得 t=

,既有 sin(x+

)= ,由 解答:

≤x+



可得 x+

=

,从而可解得 x 的值.

解:∵

cosxsin(2π﹣x)=cosx+sinx

+

sinxcosx=

①,

9

设 t=sinx+cosx=

sin(x+

),则 t∈[﹣



],两边平方整理可得:sin

xcosx=



故①化为:t+

=

,整理可得:2

t +4t﹣3

2

=0,可解得:t=





(舍去),

∵t=sinx+cosx=

sin(x+

)=



解得:sin(x+

)= ,

∵0≤x≤π,

≤x+





∴x+

=

,解得:x=



故答案为:



点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质, 考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

13.已知函数 f(x)=

.若存在 x1,x2,当 1≤x1<x2<3

时,f(x1)=f(x2),则

的取值范围是( ,

].

考点:分段函数的应用. 10

专题:计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析:作函数 f(x)的图象,结合图象可得 + ≤x1< ;化简
=

=1+

;从而求取值范围.

解答:

解:作函数 f(x)=

的图象如下,

f( )=

+1=1+



故令 x+ =1+

得,x=

+ ;



+ ≤x1< ;

又∵ < ≤

=
=

=1+



﹣1;

<1+





故答案为:( ,

]. 11

点评:本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用,属于中档题.

14.若实数 x,y 满足

=0,其

中 e 为自然对数的底数,则(cos6x) 的值为﹣ .

y

考点:对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:令 y=3,求出:cos (3x),从而求出 cos(6x)的值,代入(cos6x)
y 2

求出即可. 解:令 y=3,得: ﹣ln3+1﹣1+ln3=0,

解答:

∴2cos (3x)+

2

=1,

解得:cos (3x)= ,∴cos(6x)=2cos (3x)﹣1=﹣

2

2

∴(cos6x) =

y

=﹣ ,

故答案为:﹣ . 点评:本题考查了对数的运算,令 y=3,求出:cos (3x)的值是解题的关键, 本题是一道中档题.
2

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤)

12

15.已知 sinα=

,sin(α﹣β)=

,且 0<β<α<



(Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求角 β 的值.

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:(Ⅰ)由同角的平方关系求得 cosα,进而求得 tanα,再由二倍角的 正切公式,即可得到结果; (Ⅱ)先求 cos(α﹣β),再由 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)],运用两角差 的余弦公式,注意到 β 的范围,计算得到结果. 解答: 解:(Ⅰ)∵sinα= ,0<α< ,

∴cosα=

= ,

即有 tanα=

=4



则 tan2α=

=

=﹣



(Ⅱ)由 0<β<α<

,得 0<α﹣β<



又 sin(α﹣β)=

,则 cos(α﹣β)=

=



则 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β) = + = ,

由于 0<β<

, 13

故有



点评:本题考查三角函数的求值,考查同角公式、二倍角公式和两角和差公 式及运用,考查运算能力,注意角的变换,属于中档题.

16.设命题 p:函数 f(x)=lg(x +ax+1)的定义域为 R;命题 q:函数 f(x)=x
2

2

﹣2ax﹣1 在(﹣∞,﹣1]上单调递减.

(1)若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式(x﹣m)(x﹣m+5)<0(m∈R)的解集为 M;命题 p 为真命题时,a 的取值集合为 N.当 M∪N=M 时,求实数 m 的取值范围.

考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑.
分析:(1)先分别求出 p 真,q 真时的 x 的范围,再通过讨论 p 真 q 假或 p 假 q 真的情况,从而求出 a 的范围;(2)根据 M、N 的关系,得到不等式组,解出即 可.

解答: 解:(1)若 p 真:即函数 f(x)的定义域为 R ∴x +ax+1>0 对?x∈R 恒成立,∴△=a ﹣4<0,解得:﹣ 2<a<2,若 q 真,则 a≥﹣1, ∵命题“p∨q”为真,“p∧q”为假∴p 真 q 假或 p 假 q 真 ∵ 或 ,解得:﹣2<a<﹣1 或 a≥2.
2 2

(2)∵M∪N=M∴N?M,

∵M=(m﹣5,m),N=(﹣2,2) ∴ ,解得:2≤m≤3.

点评:本题考查了集合之间的关系,考查复合命题的性质,本题是一道中档 题. 14

17.已知函数 f(x)=sin x﹣2sinxcosx+3cos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 时,求函数 f(x)的值域;

2

2

(3)当 x∈(﹣

,﹣

)时,设经过函数 f(x)图象上任意不同两点的直

线的斜率为 k,试判断 k 值的符号,并证明你的结论.

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数 的图象. 专题:三角函数的图像与性质;直线与圆.
分析:(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=﹣ si

n(2x﹣

)+2,利用周期公式即可求得函数 f(x)的最小正周期;

(2)由

,可得

,由正弦函数的图象和性质

可求

,从而可得函数 f(x)的值域;

(3)由

,可得

,由正弦函数的

图象可知 f(x)在

上是减函数,可得经过任意两点(x1,f

(x1))和(x2,f(x2))的直线的斜率 k= 解答: (本题满分为 15 分)

<0.

15

解:f(x)=sin x﹣2sinxcosx+3cos x=cos2x﹣sin2x+2=﹣

2

2

sin(2x﹣

)+2

, (或 (1)T=π; ? (2)∵ 时,∴ ,则 );?

∴f(x)的值域为 (3)k 值的符号为负号; ∵ ,∴

?



∴f(x)在

上是减函数.?

∴当

,且 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),

从而经过任意两点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的直线的斜率 k= <0. ?

点评:本题考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法, 正弦函数的图象和性质,直线的斜率公式的应用,属于基本知识的考查.

18.如图,折叠矩形纸片 ABCD,使 A 点落在边 BC 上的 E 处,折痕的两端点 M、N 分 别在线段 AB 和 AD 上(不与端点重合).已知 AB=2,BC= 16 ,设∠AMN=θ.

(1)用 θ 表示线段 AM 的长度,并求出 θ 的取值范围; (2)试问折痕 MN 的长度是否存在最小值,若存在,求出此时 cosθ 的值; 若不存在,请说明理由.

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)先设出 AM,结合图象的对称性得到方程 cos(x﹣2θ)= 出即可,再根据 AM、AB、AN、AD 的关系得到不等式组,解出即可; (2)先求出 MN,通过换元得到 ,设 ,解

,通过求导得到函数的单调性,从而求出 MN 的 最小值. 解答: 解:(1)设 AM=x,由图形的对称性可知:AM=ME=x,∠BME=π﹣2θ, ∵BM=2﹣x,∴cos(x﹣2θ)= ,整理得:x= = ,



又∵

,即







,解得:



17

(2)在 Rt△AMN 中, ,















∴h′(t)=1﹣3t =﹣3(t+

2

)(t﹣

),

令 h′(t)=0,则 t= 或 t=﹣ (舍), 列表得: t h′(t) h(t) 增 ∴h(t)max=h( )= , + 极大值 ( 0 减 , ﹣ )

∴当 cosθ=

时,MN 有最小值为



点评:本题考查了三角函数问题,考查导数的应用,考查转化思想,换元思 想,是一道中档题.

19.(16 分)已知圆 O:x +y =r (r>0),与 y 轴交于 M、N 两点且 M 在 N 的上方.

2

2

2

若直线 y=2x+ 与圆 O 相切. 18

(1)求实数 r 的值; (2)若动点 P 满足 PM= PN,求△PMN 面积的最大值. .试探究直线 AB

(3)设圆 O 上相异两点 A、B 满足直线 MA、MB 的斜率之积为 是

否经过定点,若经过,请求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

考点:直线和圆的方程的应用;圆的切线方程. 专题:直线与圆. 分析:(1)由直线和圆相切的条件:d=r,计算即可得到 r=1; (2)设点 P(x,y),运用两点的距离公式,化简整理可得 P 的轨迹为圆,可 得点 P 到 y 轴的距离最大值为 ,再由三角形的面积公式可得最大值;

(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),讨论直线 AB 的斜率不存在和存在,设出 直线方程,运用直线的斜率公式计算即可得到 m 的值,进而判断直线 AB 是否 经过定点. 解答: 解:(1)∵直线 y=2x+ 与圆 O 相切, =1

∴圆心 O(0,0)到直线 2x﹣y+ ∴r=1;

=0 的距离为 d=

(2)设点 P(x,y),点 M(0,1),N(0,﹣1),MN=2; ∵PM=
2

PN,
2 2 2 2 2

∴x +(y﹣1) =3[x +(y+1) ],即 x +y +4y+1=0, ∴点 P 在圆心为(0,﹣2),半径为 的圆上, ∴点 P 到 y 轴的距离最大值为 , ∴△PMN 的面积的最大值为 ×2× (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 +y1 =1,x2 +y2 =1, ①若直线 AB 的斜率不存在,则 x1=x2,y1=﹣y2,则
2 2 2 2

=



19

kMA?kMB=

?

=

?

=

=1

与直线 MA、MB 的斜率之积为

矛盾;

②设直线 AB:y=kx+m,则
2 2 2

∴(1+k )x +2kmx+m ﹣1=0, ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

则 y1+y2=

,y1y2=



∵kMA?kMB=



?

=

=

=

化简得:

=

,解得 m=2+ ).



∴直线 AB 过定点(0,2+

综上:直线 AB 过定点(0,2+

).

点评:本题考查直线和圆的位置关系:相切和相交,考查圆的方程的求法和直线 方程联立圆的方程,运用韦达定理,以及直线的斜率公式,属于中档题.

20.(16 分)已知函数 f(x)=x ﹣5x+1,g(x)=e . (1)求函数 y= 的极小值;

2

x

(2)设函数 y=f′(x)+a?g(x)(a∈R),讨论函数在(﹣∞,4]上的零 点的个数; 20

(3)若存在实数 t∈[0,2],使得对任意 x∈[1,m],不等式[xf(x)+t]?g (x)≤x 恒成立,求正整数 m 的最大值.

考点:利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用.

分析:(1)令 h(x)= 值即可得出;

=

(x∈R),利用导数研究其单调性极

(2)对 a 分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
(3)不等式[xf(x)+t]?g(x)≤x,化为[x(x ﹣5x+1)+t]?e ≤x.由存在实 数 t∈[0,2],使得对任意 x∈[1,m],不等式[xf(x)+t]?g(x)≤x 恒成立
2 x

,?存在实数 t∈[0,2],使得对任意 x∈[1,m],t≤
得对任意 x∈[1,m],0≤
3 2 x 2

﹣(x ﹣5x +x)?使

3

2

﹣(x ﹣5x +x),化为 e (x ﹣5x+1)﹣1≤0.利

用导数研究其单调性极值即可得出.

解答:

解:(1)令 h(x)=

=

(x∈R),则 h′(x)=

= 令 h′(x)=0,解得 x=1,6.列出表格: x (﹣∞,1) ﹣ h(x) 单调递减 0 + 1 (1,6) 0




6

(6,+∞)

单调递减

极小值

单调递增

极大值

由表格可知:当 x=1 时,函数 h(x)取得极小值,h(1)=
x


x

(2)令 u(x)=f′(x)+a?g(x)=(2x﹣5)+ae ,u′(x)=2+ae , 21

①当 a≥0 时,u′(x)>0,函数 u(x)在(﹣∞,4]上单调递增, 又 x→﹣∞时,u(x)→﹣∞,u(4)=3+ae >0,因此函数 u(x)有且只有 一个零点. ②当 a<0 时,令 u′(x)=0,解得 x0= .
4

当 a<﹣

时,x0<4.x<x0,u′(x)>0,函数 u(x)在(﹣∞,x0)上单调

递增;x0<x<4 时,u′(x)<0,函数 u(x)在(﹣∞,x0)上单调递减.

此时 x0 为函数 u(x)的极大值点,u(x0)=2x0﹣7=

﹣7.

当 x0= 时,u(x0)=0,此时函数在(﹣∞,4]上有且只有一个零点 .

当 x0< 时,u(x0)<0,此时函数 u(x)在(﹣∞,4]上无零点.

当 <x0<4 时,u(x0)>0,此时函数在(﹣∞,x0)上有且只有一个零点, 由于 u(4)=3+ae . ③当 a≤ 时,u(4)≤0 时,此时函数在(x0,4]上有且只有一个零点;
4



<a<

时,u(4)>0 时,此时函数在(x0,4]上无零点.

当 a=﹣

时,x0=4.u′(x)>0,此时函数 u(x)在(﹣∞,4)上单调递增

,且 u(0)=﹣5+a<0,u(4)=3+ae >3﹣2=1>0,∴此时存在一个零 点.当﹣ 上单调 递增,且 u(0)=﹣5+a<0,u(4)=3+ae >3﹣2=1>0,∴此时存在一个零 点.
4

4

<a<0 时,x0>4.u′(x)>0,此时函数 u(x)在(﹣∞,4]

22

(3)不等式[xf(x)+t]?g(x)≤x,化为[x(x ﹣5x+1)+t] ?e ≤x.(*) ∵存在实数 t∈[0,2],使得对任意 x∈[1,m],不等式[xf(x)+t]?g(x) ≤x 恒成立,

2

x

∴(*)?存在实数 t∈[0,2],使得对任意 x∈[1,m],t≤

﹣(x ﹣5x +x)

3

2



∴(*)?使得对任意 x∈[1,m],0≤

﹣(x ﹣5x +x),化为 e (x ﹣5x+1)

3

2

x

2

﹣1≤0. 令 v(x)=e (x ﹣5x+1)﹣1,x∈[1,m]. v′(x)=e (x ﹣3x﹣4)=e (x﹣4)(x+1). 令 v′(x)>0,解得 x>4,此时函数 v(x)单调递增;令 v′(x)<0,解得 1 ≤x<4,此时函数 v(x)单调递减. ∴当 x=4 时,函数 v(x)取得极小值,v(4)=﹣3e ﹣1<0,
又 v(1)=﹣3e﹣1<0,v(5)=e ﹣1>0, 因此整数 m 的最大值为 4.
5 4 x 2 x x 2

点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等 价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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