江苏省扬州市2016-2017学年文科高二数学下学期期末考试试卷
江苏省扬州市 2016-2017 学年高二下学期期末数 学试卷（文科）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题 卷相应位置） 1．已知集合 A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则 A∩B={﹣1，0}．
考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：由 A 与 B，求出两集合的交集即可． 解答： 解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={﹣1，0}， 故答案为：{﹣1，0}． 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．命题：“?x∈R，3 ＞0”的否定是?x0∈R，使得 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑．
x
≤0．
分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可． 解答：
x
解：根据全称命题的否定是特称命题，得；
命题：“?x∈R，3 ＞0”的“”的否定是：
“?x0∈R，使得
≤0”．
故答案为：?x0∈R，使得
≤0．
1
点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题 与特称命题的关系是什么，是基础题．
3．已知复数 z=（1﹣i）i（i 为虚数单位），则|z|=
．
考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数模的计算公式即可求得复数 z 的模． 解答： ∴|z|= 故答案为： 解：z=（1﹣i）i=1+i， = ． ，
点评：本题考查复数求模，属于基础题．
4．计算
÷
=﹣20．
考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题：计算题． 分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值． 解答： 解：
=lg =﹣20 故答案为：﹣20 点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．
2
5．“α=
”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必
要不充分”、“充要”或“既 不充分也不必要”）
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑．
分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及 tanα=1 时 α 的取值情况即可判断
是 tanα=1 的什么条件．
解答：
解：
时，tanα=1；
tanα=1 时，
，所以不一定得到
；
∴
是 tanα=1 的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要． 点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据 tanα=1 能求 α．
6．正弦曲线 y=sinx 在
处的切线的斜率为
．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：求出 y=sinx 的导数，将 求． 3 代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所
解答： 即有曲线在
解：y=sinx 的导数为 y′=cosx， 处的切线的斜率为 k=cos = ．
故答案为：
．
点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正 确求导是解题的关键．
7．若直线 l1：2x+my+1=0 与直线 l2：y=3x﹣1 平行，则直线 l1 与 l2 之间的 距离为 ．
考点：两条平行直线间的距离． 专题：直线与圆． 分析：把 2 条直线平行，斜率相等，求得 m 的值；再把 2 条直线的方程中未知 数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式求得两条平行直线间 的距离公式． 解答： 解：∵直线 l1：2x+my+1=0 与直线 l2：y=3x﹣1
平行，∴﹣ =3，∴m=﹣ ， 故直线 l1：6x﹣2y+3=0，直线 l2：6x﹣2y﹣2=0． 根据它们相互平行，可得 3m=﹣2，∴m=﹣ ，
则直线 l1 与 l2 之间的距离为
=
，
故答案为：
．
4
点评：本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数 必需相同，属于基础题．
8．若函数 y=f（x）为定义在 R 上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数， 则不等式 f（lnx）＜f（1）的解集为（e，+∞）．
考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化求解即可． 解答：
解：∵y=f（x）为定义在 R 上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数
， ∴y=f（x）在 R 上的为减函数， 则不等式 f（lnx）＜f（1）等价为 lnx＞1， 即 x＞e， 故不等式的解集为（e，+∞）， 故答案为：（e，+∞） 点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是 解决本题的关键．
9．设数列{an}满足 a1=3，an+1=an ﹣2nan+2，n=1，2，3，?，通过计算 a2，a3， a4，试归纳出这个数列的通项公式 an=2n+1．
2
考点：数列的概念及简单表示法． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：先由递推公式求 a2，a3，a4，再猜想通项公式； 解答：
2
解：∵a1=3，an+1=an ﹣2nan+2，
2
∴a2=a1 ﹣2a1+2=9﹣6+2=5， 5
a3=a2 ﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7， a4=a3 ﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9， 即 a2=5，a3=7，a4=9， 由归纳推理猜想 an=2n+1． 故答案为：2n+1． 点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出 a2， a3，a4 是解决本题的关键．
2
2
10．已知集合 A={（x，y）|y≤
x}，集合 B={（x，y）|（x﹣a） +y ≤3}，
2
2
若 A∩B=B，则实数 a 的取值范围为[2， +∞）．
考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：先根据集合 A、B 的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的 距离从而求出 a 的范围． 解答： 解：集合 B={（x，y）|（x﹣a） +y ≤3}，
2 2
∴集合 B 是以（a，0）为圆心，以 为半径的圆， 若 A∩B=B，画出图象， 如图示：
，
显然，直线和圆相切时是临界值，
6
∴圆心（a，0）到直线的距离 d= 解得：a=2， ∴a≥2， 故答案为：[2，+∞）．
=
，
点评：本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思 想，是一道中档题．
11．把函数 y=sin2x 的图象沿
x 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）后得到函数 y=
f（x）图象，对于函数 y=f（x）有以下四个判断： ①该函数的解析式为 y=2sin（2x+ ）；
②该函数图象关于点（
）对称；
③该函数在[
]上是增函数；
④函数 y=f（x）+a 在[
]上的最小值为
，则
．
其中，正确判断的序号是②④．
考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；命题的真假判断与应用． 专题：三角函数的图像与性质．
7
分析：根据函数 y=Asin（ωx+?）的图象变换规律求得 f（x）=2sin（2x+ ，由此可得①不正确．求出函数的对称中心为（ ﹣ ，0），可得②正确．
）
求出函数的单调增区间为[kπ﹣ x∈[0，
，kπ+
]，k∈z，可得③不正确．由于当 +a= ，可得 a 的值，可得④正
]时，求得 f（x）+a 的最小值为﹣
确． 解答： 解：把函数 y=sin2x 的图象沿
x 轴向左平移
个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）后，得到函 ）=2sin（2x+ ）的图象，由于 f（x）=2sin（2x+
数 y=f（x）=2sin2（x+
），故①不正确．
令 2x+
=kπ，k∈z，求得 x=
﹣
，k∈z，故函数的图象关于点（
﹣
，0）对称，故函数的图象关于点（
，0）对称，故②正确．
令 2kπ﹣
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，可得
kπ﹣
≤x≤kπ+
，k∈z，故函数的增区间为[kπ﹣
，kπ+
]，k∈z
， 故函数在[ ]上不是增函数，故 ③不正确． 8
当 x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，故当 2x+
=
时，f（x）取得最小值
为﹣
，函数 y=f（x）+a 取得最小值为﹣ ，故④正确．
+a=
，
故 a=﹣2
故答案为 ②④．
点评：本题主要考查函数 y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，复合三角函数的单调性、对称 性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
12．已知
cosxsin（2π﹣x），若 f（x）=
，0≤x≤π，则 x 的值为
．
考点：三角函数中的恒等变换应用． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：由已知及三角函数中的恒等变换应用化简可得：f（x）=cosx+sinx+
inxcosx= ①，设 t=sinx+cosx，则 t∈[﹣ ， ]，两边平方整理可得：sin
s
xcosx=
，把①化为：t+
=
，整理可解得 t=
，既有 sin（x+
）= ，由 解答：
≤x+
≤
可得 x+
=
，从而可解得 x 的值．
解：∵
cosxsin（2π﹣x）=cosx+sinx
+
sinxcosx=
①，
9
设 t=sinx+cosx=
sin（x+
），则 t∈[﹣
，
]，两边平方整理可得：sin
xcosx=
，
故①化为：t+
=
，整理可得：2
t +4t﹣3
2
=0，可解得：t=
或
﹣
（舍去），
∵t=sinx+cosx=
sin（x+
）=
，
解得：sin（x+
）= ，
∵0≤x≤π，
≤x+
≤
，
∴x+
=
，解得：x=
．
故答案为：
．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质， 考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13．已知函数 f（x）=
．若存在 x1，x2，当 1≤x1＜x2＜3
时，f（x1）=f（x2），则
的取值范围是（ ，
]．
考点：分段函数的应用． 10
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用． 分析：作函数 f（x）的图象，结合图象可得 + ≤x1＜ ；化简
=
=1+
；从而求取值范围．
解答：
解：作函数 f（x）=
的图象如下，
f（ ）=
+1=1+
；
故令 x+ =1+
得，x=
+ ；
故
+ ≤x1＜ ；
又∵ ＜ ≤
=
=
=1+
；
﹣1；
＜1+
≤
；
故答案为：（ ，
]． 11
点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．
14．若实数 x，y 满足
=0，其
中 e 为自然对数的底数，则（cos6x） 的值为﹣ ．
y
考点：对数的运算性质． 专题：计算题． 分析：令 y=3，求出：cos （3x），从而求出 cos（6x）的值，代入（cos6x）
y 2
求出即可． 解：令 y=3，得： ﹣ln3+1﹣1+ln3=0，
解答：
∴2cos （3x）+
2
=1，
解得：cos （3x）= ，∴cos（6x）=2cos （3x）﹣1=﹣
2
2
∴（cos6x） =
y
=﹣ ，
故答案为：﹣ ． 点评：本题考查了对数的运算，令 y=3，求出：cos （3x）的值是解题的关键， 本题是一道中档题．
2
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤）
12
15．已知 sinα=
，sin（α﹣β）=
，且 0＜β＜α＜
．
（Ⅰ）求 tan2α 的值； （Ⅱ）求角 β 的值．
考点：两角和与差的正弦函数． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：（Ⅰ）由同角的平方关系求得 cosα，进而求得 tanα，再由二倍角的 正切公式，即可得到结果； （Ⅱ）先求 cos（α﹣β），再由 cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，运用两角差 的余弦公式，注意到 β 的范围，计算得到结果． 解答： 解：（Ⅰ）∵sinα= ，0＜α＜ ，
∴cosα=
= ，
即有 tanα=
=4
，
则 tan2α=
=
=﹣
；
（Ⅱ）由 0＜β＜α＜
，得 0＜α﹣β＜
，
又 sin（α﹣β）=
，则 cos（α﹣β）=
=
，
则 cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β） = + = ，
由于 0＜β＜
， 13
故有
．
点评：本题考查三角函数的求值，考查同角公式、二倍角公式和两角和差公 式及运用，考查运算能力，注意角的变换，属于中档题．
16．设命题 p：函数 f（x）=lg（x +ax+1）的定义域为 R；命题 q：函数 f（x）=x
2
2
﹣2ax﹣1 在（﹣∞，﹣1]上单调递减．
（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数 a 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为 M；命题 p 为真命题时，a 的取值集合为 N．当 M∪N=M 时，求实数 m 的取值范围．
考点：复合命题的真假． 专题：简易逻辑．
分析：（1）先分别求出 p 真，q 真时的 x 的范围，再通过讨论 p 真 q 假或 p 假 q 真的情况，从而求出 a 的范围；（2）根据 M、N 的关系，得到不等式组，解出即 可．
解答： 解：（1）若 p 真：即函数 f（x）的定义域为 R ∴x +ax+1＞0 对?x∈R 恒成立，∴△=a ﹣4＜0，解得：﹣ 2＜a＜2，若 q 真，则 a≥﹣1， ∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p 真 q 假或 p 假 q 真 ∵ 或 ，解得：﹣2＜a＜﹣1 或 a≥2．
2 2
（2）∵M∪N=M∴N?M，
∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2） ∴ ，解得：2≤m≤3．
点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档 题． 14
17．已知函数 f（x）=sin x﹣2sinxcosx+3cos x． （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）当 时，求函数 f（x）的值域；
2
2
（3）当 x∈（﹣
，﹣
）时，设经过函数 f（x）图象上任意不同两点的直
线的斜率为 k，试判断 k 值的符号，并证明你的结论．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数 的图象． 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆．
分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（x）=﹣ si
n（2x﹣
）+2，利用周期公式即可求得函数 f（x）的最小正周期；
（2）由
，可得
，由正弦函数的图象和性质
可求
，从而可得函数 f（x）的值域；
（3）由
，可得
，由正弦函数的
图象可知 f（x）在
上是减函数，可得经过任意两点（x1，f
（x1））和（x2，f（x2））的直线的斜率 k= 解答： （本题满分为 15 分）
＜0．
15
解：f（x）=sin x﹣2sinxcosx+3cos x=cos2x﹣sin2x+2=﹣
2
2
sin（2x﹣
）+2
， （或 （1）T=π； ? （2）∵ 时，∴ ，则 ）；?
∴f（x）的值域为 （3）k 值的符号为负号； ∵ ，∴
?
，
∴f（x）在
上是减函数．?
∴当
，且 x1＜x2 时，都有 f（x1）＞f（x2），
从而经过任意两点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的直线的斜率 k= ＜0． ?
点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法， 正弦函数的图象和性质，直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．
18．如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 A 点落在边 BC 上的 E 处，折痕的两端点 M、N 分 别在线段 AB 和 AD 上（不与端点重合）．已知 AB=2，BC= 16 ，设∠AMN=θ．
（1）用 θ 表示线段 AM 的长度，并求出 θ 的取值范围； （2）试问折痕 MN 的长度是否存在最小值，若存在，求出此时 cosθ 的值； 若不存在，请说明理由．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）先设出 AM，结合图象的对称性得到方程 cos（x﹣2θ）= 出即可，再根据 AM、AB、AN、AD 的关系得到不等式组，解出即可； （2）先求出 MN，通过换元得到 ，设 ，解
，通过求导得到函数的单调性，从而求出 MN 的 最小值． 解答： 解：（1）设 AM=x，由图形的对称性可知：AM=ME=x，∠BME=π﹣2θ， ∵BM=2﹣x，∴cos（x﹣2θ）= ，整理得：x= = ，
∵
又∵
，即
，
∴
，
，解得：
；
17
（2）在 Rt△AMN 中， ，
，
令
，
∴
，
设
，
∴h′（t）=1﹣3t =﹣3（t+
2
）（t﹣
），
令 h′（t）=0，则 t= 或 t=﹣ （舍）， 列表得： t h′（t） h（t） 增 ∴h（t）max=h（ ）= ， + 极大值 （ 0 减 ， ﹣ ）
∴当 cosθ=
时，MN 有最小值为
．
点评：本题考查了三角函数问题，考查导数的应用，考查转化思想，换元思 想，是一道中档题．
19．（16 分）已知圆 O：x +y =r （r＞0），与 y 轴交于 M、N 两点且 M 在 N 的上方．
2
2
2
若直线 y=2x+ 与圆 O 相切． 18
（1）求实数 r 的值； （2）若动点 P 满足 PM= PN，求△PMN 面积的最大值． ．试探究直线 AB
（3）设圆 O 上相异两点 A、B 满足直线 MA、MB 的斜率之积为 是
否经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
考点：直线和圆的方程的应用；圆的切线方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）由直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到 r=1； （2）设点 P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理可得 P 的轨迹为圆，可 得点 P 到 y 轴的距离最大值为 ，再由三角形的面积公式可得最大值；
（3）设 A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出 直线方程，运用直线的斜率公式计算即可得到 m 的值，进而判断直线 AB 是否 经过定点． 解答： 解：（1）∵直线 y=2x+ 与圆 O 相切， =1
∴圆心 O（0，0）到直线 2x﹣y+ ∴r=1；
=0 的距离为 d=
（2）设点 P（x，y），点 M（0，1），N（0，﹣1），MN=2； ∵PM=
2
PN，
2 2 2 2 2
∴x +（y﹣1） =3[x +（y+1） ]，即 x +y +4y+1=0， ∴点 P 在圆心为（0，﹣2），半径为 的圆上， ∴点 P 到 y 轴的距离最大值为 ， ∴△PMN 的面积的最大值为 ×2× （3）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1 +y1 =1，x2 +y2 =1， ①若直线 AB 的斜率不存在，则 x1=x2，y1=﹣y2，则
2 2 2 2
=
．
19
kMA?kMB=
?
=
?
=
=1
与直线 MA、MB 的斜率之积为
矛盾；
②设直线 AB：y=kx+m，则
2 2 2
∴（1+k ）x +2kmx+m ﹣1=0， ∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
则 y1+y2=
，y1y2=
，
∵kMA?kMB=
∴
?
=
=
=
化简得：
=
，解得 m=2+ ）．
，
∴直线 AB 过定点（0，2+
综上：直线 AB 过定点（0，2+
）．
点评：本题考查直线和圆的位置关系：相切和相交，考查圆的方程的求法和直线 方程联立圆的方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，属于中档题．
20．（16 分）已知函数 f（x）=x ﹣5x+1，g（x）=e ． （1）求函数 y= 的极小值；
2
x
（2）设函数 y=f′（x）+a?g（x）（a∈R），讨论函数在（﹣∞，4]上的零 点的个数； 20
（3）若存在实数 t∈[0，2]，使得对任意 x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]?g （x）≤x 恒成立，求正整数 m 的最大值．
考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：导数的综合应用．
分析：（1）令 h（x）= 值即可得出；
=
（x∈R），利用导数研究其单调性极
（2）对 a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（3）不等式[xf（x）+t]?g（x）≤x，化为[x（x ﹣5x+1）+t]?e ≤x．由存在实 数 t∈[0，2]，使得对任意 x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]?g（x）≤x 恒成立
2 x
，?存在实数 t∈[0，2]，使得对任意 x∈[1，m]，t≤
得对任意 x∈[1，m]，0≤
3 2 x 2
﹣（x ﹣5x +x）?使
3
2
﹣（x ﹣5x +x），化为 e （x ﹣5x+1）﹣1≤0．利
用导数研究其单调性极值即可得出．
解答：
解：（1）令 h（x）=
=
（x∈R），则 h′（x）=
= 令 h′（x）=0，解得 x=1，6．列出表格： x （﹣∞，1） ﹣ h（x） 单调递减 0 + 1 （1，6） 0
﹣
，
6
（6，+∞）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
由表格可知：当 x=1 时，函数 h（x）取得极小值，h（1）=
x
．
x
（2）令 u（x）=f′（x）+a?g（x）=（2x﹣5）+ae ，u′（x）=2+ae ， 21
①当 a≥0 时，u′（x）＞0，函数 u（x）在（﹣∞，4]上单调递增， 又 x→﹣∞时，u（x）→﹣∞，u（4）=3+ae ＞0，因此函数 u（x）有且只有 一个零点． ②当 a＜0 时，令 u′（x）=0，解得 x0= ．
4
当 a＜﹣
时，x0＜4．x＜x0，u′（x）＞0，函数 u（x）在（﹣∞，x0）上单调
递增；x0＜x＜4 时，u′（x）＜0，函数 u（x）在（﹣∞，x0）上单调递减．
此时 x0 为函数 u（x）的极大值点，u（x0）=2x0﹣7=
﹣7．
当 x0= 时，u（x0）=0，此时函数在（﹣∞，4]上有且只有一个零点 ．
当 x0＜ 时，u（x0）＜0，此时函数 u（x）在（﹣∞，4]上无零点．
当 ＜x0＜4 时，u（x0）＞0，此时函数在（﹣∞，x0）上有且只有一个零点， 由于 u（4）=3+ae ． ③当 a≤ 时，u（4）≤0 时，此时函数在（x0，4]上有且只有一个零点；
4
当
＜a＜
时，u（4）＞0 时，此时函数在（x0，4]上无零点．
当 a=﹣
时，x0=4．u′（x）＞0，此时函数 u（x）在（﹣∞，4）上单调递增
，且 u（0）=﹣5+a＜0，u（4）=3+ae ＞3﹣2=1＞0，∴此时存在一个零 点．当﹣ 上单调 递增，且 u（0）=﹣5+a＜0，u（4）=3+ae ＞3﹣2=1＞0，∴此时存在一个零 点．
4
4
＜a＜0 时，x0＞4．u′（x）＞0，此时函数 u（x）在（﹣∞，4]
22
（3）不等式[xf（x）+t]?g（x）≤x，化为[x（x ﹣5x+1）+t] ?e ≤x．（*） ∵存在实数 t∈[0，2]，使得对任意 x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]?g（x） ≤x 恒成立，
2
x
∴（*）?存在实数 t∈[0，2]，使得对任意 x∈[1，m]，t≤
﹣（x ﹣5x +x）
3
2
．
∴（*）?使得对任意 x∈[1，m]，0≤
﹣（x ﹣5x +x），化为 e （x ﹣5x+1）
3
2
x
2
﹣1≤0． 令 v（x）=e （x ﹣5x+1）﹣1，x∈[1，m]． v′（x）=e （x ﹣3x﹣4）=e （x﹣4）（x+1）． 令 v′（x）＞0，解得 x＞4，此时函数 v（x）单调递增；令 v′（x）＜0，解得 1 ≤x＜4，此时函数 v（x）单调递减． ∴当 x=4 时，函数 v（x）取得极小值，v（4）=﹣3e ﹣1＜0，
又 v（1）=﹣3e﹣1＜0，v（5）=e ﹣1＞0， 因此整数 m 的最大值为 4．
5 4 x 2 x x 2
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等 价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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